ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

91

Определение 11.2. Факторпространство

HDRp (X) := Zp(X)/Bp(X)

называется группой когомологий де Рама (пространством когомологий де Рама) размерности p многообразия X.

Итак, группа когомологий HDRp (X) состоит из классов [ω] замкнутых форм степени p, причем две формы ω1 и ω2 когомологичны (ω1 ω2), т.е. лежат в одном классе, если они отличаются на точную форму, т.е. если

ω1 − ω2 = dϕ.

Заметим, что если бы последовательность (11.2) была точной, то это означало бы, что каждая замкнутая форма на X является точной и что для p > 1 все группы когомологий де Рама тривиальны, т.е. HDRp (X) = 0.

Упражнение 11.1. Доказать, что для любого многообразия X когомологии де Рама HDR0 (X) Rq, где q — количество связных компонент X.

2. Примеры

Пример 11.1 (Когомологии вещественной прямой). Вычислим HDR1 (R). Любая форма ω C1(R) имеет вид ω = f(x)dx и является замкнутой, поскольку d(f(x)dx) = 0. Из математического анализа известно, что любая 1-форма ω имеет первообразную, и значит, является точной на R.

Этот результат и есть содержание основной теоремы интегрального исчисления: если f(x) непрерывна, то для нее существует первообразная,

92	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

которая есть ни что иное, как интеграл с переменным верхним пределом

∞

Z

F (x) = f(t)dt.

0

Таким образом, C1(R) = Z1(R) = B1(R), следовательно, HDR1 (R) = 0.

Итак, на прямой R нет когомологий де Рама!

Отметим, что в многомерных областях существуют замкнутые дифференциальные формы, не имеющие первообразной. Поэтому возникает важная задача — изучить, насколько массивно множество таких форм, т.е. описать Zp с точностью до Bp. Это и позволяет рассматривать когомологии де Рама как теорию несобственного интеграла.

Пример 11.2 (Замкнутой, но не точной формы). Рассмотрим форму

xdy − ydx ω = x2 + y2 .

Это дифференциальная форма степени 1, определенная на R2 = R2 \ {0}. Заметим, что

ω = d arctg	y		на R2 \ {x = 0}
	x

и, аналогично,

ω = d −arctg	x	на R2 \ {y = 0}.
	y

Следовательно, форма ω точна в областях

R2 \ {x = 0} и R2 \ {y = 0}

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

93

(мы говорим, что ω локально точна), и значит она замкнута в их объединении R2. Разумеется, замкнутость ω легко проверить и непосредственным вычислением дифференциала.

Однако, ω не может быть точной на R2, поскольку она есть дифференциал неоднозначной функции угла θ.

Рассмотрим форму dz/z и заметим, что ω = −Im (dz/z). Действительно,

dz	=		z¯	dz =	xdx + ydy	−	i	ydx − xdy	.
z		|z|2			x2 + y2
								x2 + y2

Следовательно, у формы dz/z также нет однозначной первообразной.

94	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Лекция 12 ´

Теорема Пуанкаре. Гомотопическая инвариантность групп когомологий

Определение звездной области. Теорема Пуанкаре. Гомото-

пически эквивалентные многообразия. Теорема о гомотопи-

ческой инвариантности.

1. Индуцированные гомоморфизмы пространств дифференциальных форм

Каждое отображение f : X → Y индуцирует встречное (контравариантное) отображение дифференциальных форм

f : Cp(Y ) → Cp(X)

по правилу: если

	|XI|	aI(y)dyI
	ωy =
	=p
— это дифференциальная форма на Y в			локальных	координатах	y =
(y1, . . . , ym), то	|XI|
f (ωy) =		где	y(x) = ψ ◦ f ◦ ϕ−1(x)
	aI (y(x)) dyI(x),
	=p
есть дифференциальная форма на		X в	локальных	координатах	x =

(x1, . . . , xn).

Обозначим через Ckp(Y ) и Ckp(X) — множество форм степени p класса

Ck, соответственно на X и на Y , и рассмотрим диаграмму:

Ckp(Y ) −−f→ Ckp(X)

d	d	(12.1)
y	y

Ckp−+11(Y ) −−f→ Ckp−+11(X)

Предложение 12.1. Диаграмма (12.1) коммутативна, т.е. df = f d.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

95

Доказательство. Следует из свойства инвариантности формы дифференциала, согласно которому (dωy)x = dωx, а также того, что в правиле преобразования дифференциальной формы при переходе от одних координат к другим не используется взаимнооднозначность x(y) и равенство размерностей X и Y . Поскольку ωx = f ωy, имеем: f (dωy) := (dωy)x = dωx = d(f wy), т.е. f и d коммутируют, что и т.д.

2. Теорема Пуанкаре

Аналогом утверждения, что любая непрерывная функция f(x) имеет

x

R

первообразную F (x) = f(t)dt для дифференциальных форм многих пере-

0

менных является теорема Пуанкаре.

В многомерной ситуации аналогом отрезка будет выпуклая или, в более общем случае, звездная область.

Определение 12.1. Область G Rn называется звездной относительно центра x0 G, если вместе с каждой точкой x G область G

содержит отрезок [x0, x].

Без ограничения общности можно считать, что x0 = 0, в этом случае звездность области G означает, что x G точка t · x G, t [0, 1].

Область звездная

Область не звездная

Теорема 12.1 (Пуанкаре). Если p > 1, то любая замкнутая форма ω Cp(G) в звездной области G точна. При этом существует линейный оператор A : Cp(G) → Cp−1(G), называемый оператором гомотопии,

96	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

такой, что

Ad + dA = I,

(12.2)

где I — тождественный оператор в Cp(G).

Теорема Пуанкаре выражает, что если G — звездная область, то группы когомологий де Рама HDRp (G) тривиальны для p > 1.

Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из (12.2). Действительно, Adω + dAω = ω для любой формы ω Cp(G). Если ω Zp(G)

т.е. dω = 0, то A(dω) = 0 в силу линейности A, и (12.2) будет иметь вид dAω = ω. Следовательно, ω — точная и ее первообразная равна Aω. Т.о. оператор A позволяет находить первообразную формы, если она существует.

Построим теперь оператор A и докажем (12.2). Рассмотрим отображение f : G × [0, 1] → G по правилу f(x, t) = tx. Это отображение корректно определено, поскольку G — звездная, и значит tx G.

Для произвольной дифференциальной формы

X

ω = aI(x)dxI

|I|=p

из Cp(G) рассмотрим форму

X

f ω = aI(tx)d(txi1) · · · d(txip) = ω1(t, x) + dt ω0(t, x)

|I|=p

из Cp(G×[0, 1]), в которой дифференциальные формы ω0(t, x) степени (p−1)

и ω1(t, x) = P tp · aI(tx)dxI степени p не содержат dt. Положим

|I|=p

Aω = Z0	1
	ω0(t, x)dt,	(12.3)

где интеграл означает, что в дифференциальной форме интегрируются все коэффициенты. Вычислим теперь Adω. Для этого найдем сначала f (dω) =

∆ Кратное интегрирование. Когомологии									97
d(f ω):	+ ∂t1 dt − dt				dxω0	+ ∂t0 dt
d(f ω) = d (ω1 + dt ω0) = dxω1									=
			∂ω				∂ω
= dxω1 + dt	∂t1			− dxω0	,
		∂ω

где через dx обозначен полный дифференциал по переменным x. Тогда

1 1 1

Adω = Z0		∂t1				а dAω = dx Z0	ω0dt = Z0	dxω0dt,	(12.4)
				− dxω0 dt,
		∂ω
откуда
				1	∂t	dt = ω1|01 = ω1(x, 1) − ω1(x, 0).			(12.5)
	Adω + dAω = Z0
					∂ω1
Из вида формы ω1				имеем ω1(x, 0) = 0 и ω1(x, 1) = ω(x), что и доказывает
свойство (12.2).

3. Совпадение групп когомологий у гомотопически эквивалентных многообразий

Пусть X, Y — гладкие многообразия, а f0 и f1 — отображения из X в Y , f0, f1 C1.

Определение 12.2. Говорят, что отображения f0 и f1 гомотопны (и обозначают f0 f1), если существует гладкое отображение F : X ×

[0, 1] → Y , такое, что F (x, 0) = f0(x), F (x, 1) = f1(x).

Отображения f0, f1 : X → Y индуцируют встречные отображения дифференциальных форм f0 , f1 : Cp(Y ) → Cp(X).

Теорема 12.2. Если отображения f0, f1 : X → Y гомотопны, то они индуцируют равные гомоморфизмы групп когомологий де Рама, т.е.

f0 = f1 : HDRp (Y ) → HDRp (X), k = 0, 1, 2, . . .

При этом существует оператор гомотопии A : Cp(Y ) → Cp−1(X) со свойством

Adω + dAω = f1 ω − f0 ω для любой ω Cp(Y ).

(12.6)

98	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Заметим, что гомоморфизм групп когомологий корректно определен. В самом деле, в силу того, что df ω = f dω, любая замкнутая форма переходит в замкнутую, а точная форма ω = dϕ — в точную форму f ω = d(f ϕ). Доказательство теоремы 12.2 аналогично доказательству теоремы Пуанкаре.

Доказательство. Так как отображения f0 и f1 гомотопны, то существует гладкая функция F : X × [0, 1] → Y . Рассмотрим индуцированное отображение F : Cp(Y ) → Cp(X × [0, 1]) и с его помощью построим оператор гомотопии A. Пусть ω = ω(y) Cp(Y ). Тогда

F ω = ω1(t, x) + dt ω0(t, x) Cp(X × [0, 1]),

причем ω0 Cp(X ×[0, 1]) и ω1 Cp−1(X ×[0, 1]) не содержат dt, а форма ω1

P

имеет вид: ω1(t, x) = aI(F (x, t)) · dxFI(x, t). Определим Aω по формуле

|I|=p

(12.3) и покажем, что A удовлетворяет соотношению (12.6). Учитывая, что

F dω = dF ω, находим, что Adω и dAω имеют вид (12.4), а их сумма

Adω + dAω определяется равенством (12.5). Из определения гомотопии и из вида формы ω1 получаем, что ω1(x, 1) = f1 ω, а ω1(x, 0) = f0 ω, что и доказывает справедливость (12.6).

Докажем первое утверждение теоремы. Из (12.6) следует, что любые две замкнутые формы ϕ0 = f0 ω и ϕ1 = f1 ω отличаются на точную форму

ϕ = d(Aω), и значит принадлежат одному и тому же классу когомологий. Теорема 12.2 доказана.

Определение 12.3. Многообразия X и Y называются гомотопически эквиваленитными, если существуют гладкие отображения f : X → Y

и g : Y → X, такие, что их композиции гомотопны тождественным отображениям, т.е. f ◦ g 1Y , g ◦ f 1X.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

99

Лекция 13 ´

Примеры гомотопически эквивалентных многообразий

Звездная область гомотопически эквивалентна одноточечно-

му многообразию. Гомотопическая эквивалентность сфере

Sn многообразия Rn+1 \{0} и комплексной квадрики, другие

примеры.

1. Гомотопическая эквивалентность звездной области и точки

Предложение 13.1. Звездная область с центром x0 гомотопически эквивалентна одноточечному многообразию.

Доказательство. Пусть G — звездная область, Y = {x0} — одноточечное многообразие. Рассмотрим отображение f : G → {x0} по правилу f(x) = x0

и отбражение g : {x0} → G, при котором x0 отображается сама в себя. Рассмотрим композицию:

(f ◦ g) (x0) = f (g(x0)) = f(x0) = x0.1{x0};

Очевидно, f ◦ g — тождественное отображение на Y . Аналогично,

(g ◦ f) (x) = g (f(x)) = g(x0) = x0,

следовательно (g ◦ f) (x) = x0 — постоянное отображение. Остается показать, что (g ◦ f) (x) гомотопически эквивалентно 1G.

В самом деле, нужную гомотопию осуществляет отображение

F : G × [0, 1] → G, F (x, t) = tx0 + (1 − t)x.

Для него F (x, 0) = x = 1G, а F (x, 1) = x0, что и т.д.

100	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

2. Гомотопическая эквивалентность Rn и Sn−1

Предложение 13.2. Пространство Rn := Rn \{0} гомотопически эквивалентно (n − 1)-мерной сфере Sn−1 = {x Rn : x = 1}.

Доказательство. Рассмотрим отображения:

f : Rn → Sn−1 и g : Sn−1 → Rn,

осуществляемые, соответственно, по правилам

x

f(x) = x и g(x) = x.

Имеем: (f ◦ g) ≡ 1Sn−1 и	x			x .
(g ◦ f) (x) = g (f(x)) = g			=
		x		x

Покажем, что последнее отображение гомотопически эквивалентно 1Rn. Действительно, указанную гомотопию осуществляет отображение

F : Rn × [0, 1] → Rn,

такое, что

x F (x, t) = tx + (1 − t) x .

Предложение 13.3 (следствие из теоремы 12.2). Если многообразия X и

Y гомотопически эквивалентны, то

HDRk (X) HDRk (Y ), k = 0, 1, 2, . . .

Доказательство. По условию существуют отображения f : X → Y и g : Y → X, такие, что

f ◦ g 1Y и g ◦ f 1X.