ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

131

2. Усиленная теорема де Рама

Напомним, что, согласно теореме де Рама, имеет место изоморфизм

HDRp (X) HCHp (X) HCHp (U),

где U = {Uα} — ациклическое покрытие X.

Здесь мы докажем следующий усиленный вариант теоремы де Рама для гладких полиэдров.

Теорема 18.1. Пусть полиэдр X – гладкое многообразие. Тогда абстрактная группа когомологий со значениями в поле вещественных чисел R полиэдра X изоморфна группе когомологий де Рама этого полиэдра:

HDRp (X) Hp(X, R).

(18.3)

Замечание 18.1. В качестве симплициального комплекса K берется любая триангуляция X. Под абстрактной группой когомологий Hp(X, R) мы понимаем группу Hp(K, R) пространство которого |K| = X. Таким образом, на первый взгляд абстрактная группа когомологий зависит от способа триангуляции X, но поскольку группа когомологий HDRp (X) не зависит от способа триангуляции, то в частности, из этой теоремы мы получаем свойство инвариантности относительно способа триангуляции.

Доказательство. Пусть дана произвольная триангуляция полиэдра X.

Каждой вершине aα поставим в соответствие открытое множество (окрестность точки aα), которое называется звездой вершины aα, обозначается st(aα), и определяется как объединение относительных внутренностей всех симплексов триангуляции X, содержащих aα в качестве вершины. Возьмем покрытие из звезд каждой вершины aα, и обозначим его {Uα = st(aα)}.

Заметим, что на многообразии X каждая звезда гомеоморфна звездной области, так как внутренность каждого симплекса является звездным множеством, а поскольку X – многообразие, то звезда является открытым

132	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

множеством в исходной топологии этого пространства. Таковыми же являются всевозможные пересечения Uα0... αp = Uα0 ∩· · ·∩Uαp, поэтому по лемме Пуанкаре, покрытие {Uα = st(aα)} многообразия X является хорошим.

Заметим, что каждому симплексу (aα0, . . . , aαp), натянутому на вершины aα0, . . . , aαp, соответствует пересечение звезд:

(aα0 , . . . , aαp) −→ Uα0...αp = st(aα0) ∩ ... ∩ st(aαp).

(18.4)

В то же время, каждое пересечение звезд st(aα0) ∩ · · · ∩ st(aαp) не пусто тогда и только тогда, когда набор вершин aα0 , . . . , aαp составляет симплекс. Действительно, если симплекс, натянутый на вершины aα0, . . . , aαp принадлежит триангуляции X, то каждая из звезд st(aαj ), j = 0, . . . , p содержит относительную внутренность этого симплекса, а тогда и пересечение звезд st(aα0 ) ∩ · · · ∩ st(aαp) содержит относительную внутренность указанного симплекса. Более того, пересечение звезд содержит относительные внутренности всех симплексов, имеющие гранью данный симплекс.

Покажем, что если пересечение звезд из правой части (18.4) непустое, то набор вершин aα0 , . . . , aαp составляет симплекс, а само пересечение звезд состоит из объединения внутренностей всех симплексов, имеющих гранью данный симплекс. Для этого возьмем любую точку из пересечения st(aα0 ) ∩ · · · ∩ st(aαp), она является внутренней точкой для симплексов с вершинами aα0, . . . , aαp, но так как каждая точка принадлежит внутренности лишь одного из симплексов (по условию триангуляции), то эта точка обязательно принадлежит внутренности симплекса, содержащего все указанные вершины.

Далее, если точка принадлежит пересечению st(aα0) ∩ · · · ∩ st(aαp), то она содержится в каждой из звезд st(aα0), . . . , st(aαp), а это в свою очередь означает принадлежность этой точки каждому из симплексов которые имеют своими вершинами aα0, . . . , aαp. Таким образом мы получили, что рассматриваемая точка принадлежит объединению внутренностей всех симплексов, которые имеют гранью симплекс с вершинами aα0 , . . . , aαp.

Например, на рисунке вершины a и b составляют 1-симплекс (a, b) и

пересечение звезд st(a) ∩ st(b) состоит из (a, b) и внутренностей треуголь-

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

133

ников abd и abe; в то же время звезды st(a) и st(c) не пересекаются, потому что a и c не составляют симплекс.

e

b

a

c

d

Рис. st(a) ∩ st(b) ̸=

Докажем, что

Hp(X, R) HCHp (U),

что согласно теореме де Рама будет означать справедливость изоморфизма (18.3). Для доказательства заметим, что всякий линейный функционал на векторном пространстве однозначно определяется своими значениями на базисе. Следовательно, всякий функционал f на Cp однозначно определяется своими значениями на симплексе

f(σ(p)) = f(aα0, . . . , aαp) := ωα0...aαp R.

Таким образом, в силу (18.4) мы получаем взаимно-однозначное соответствие между Cp′ и CCHp – группой коцепей Чеха:

	. . .		C′	∂	′	C	′	∂ ′	C′		. . .
		←−		←−				←−		←−
			p+1				p		p−1
			↕			↕			↕
	. . . ←− CCHp+1			δ				δ
				←− CCHp				←− CCHp−1 ←− . . . .

Докажем, что выписанные комплексы абстрактных коцепей и коцепей Чеха изоморфны. Итак, вертикальные соответствия состоят в следующем:

134 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Cp′ f
↕
ω= (ωα0...αp) CCHp .
Достаточно показать, что ∂ ′f ←→ δω. Пусть σ(p+1)		= (aα0, . . . , aαp+1) при-
надлежит Cp+1. В силу цепочки равенств
p+1
Xi	(−1)i(aα0	,...,[i],..., aαp+1 ) =
∂ ′f, σ(p+1) = f, ∂σ(p+1) = f,
=0

p+1

X

=(−1)iωα0...[i]...αp+1 = (δω)α0...αp+1,

i=0

получаем изоморфизм Hp(X, R) HCHp (U) HCHp (X). Теорема доказана.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

135

Лекция 19 ´

Интегралы по цепям, теорема двойственности де Рама

Определение интеграла по дифференцируемой цепи, формула Стокса для интегралов по цепям. Формулировка теоремы двойственности де Рама. Алгебраические факты из теории линейных пространств. Описание границ цепей через действие на абстрактных коциклах. Доказательство теоремы двойственности де Рама.

1. Интегралы по дифференцируемым сингулярным цепям

Напомним определение сингулярного симплекса.

Определение 19.1. Сингулярным p-симплексом в многообразии X называют пару σ = (∆p, g), где ∆p — это стандартный симплекс, а g : ∆p → X — произвольное непрерывное отображение.

Отображение g может понижать размерность, в частности, отображать симплекс в одну лишь точку, поэтому применяют термин "сингулярный".

Сингулярный симплекс σ называется дифференцируемым, если

g : ∆p → X— дифференцируемое отображение.

Как правило, сингулярный симплекс σ отождествляют с самим отображением g : ∆p → X стандартного симплекса ∆p в X.

Определение 19.2. Сингулярной p-цепью h называется всякая конечная линейная комбинация сингулярных p-симплексов σj:

X

h = mjσj,

j

где mj Z (Q, R или C).

136	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Как корректно определить ориентацию? Кривую можно ориентировать

впорядке возрастания аргумента, но как придать ориентацию поверхности? Обычно смотрят, как ведет себя внешняя нормаль к поверхности. Но

вслучае с листом Мебиуса направление нормали вообще нельзя задать, поскольку это неориентируемая поверхность. Можно возразить, что в рамках данной теории мы не будем интегрировать по таким поверхностям. Но если рассматривать "тонкую" например двумерную поверхность в R4? Касательная плоскость к такой поверхности 2-мерная, ортогональное к ней подпространство тоже 2-мерное, чем же тогда ориентировать?

Ориентацию многообразия X удобно определять выбором порядка следования координат. Пусть выбран такой порядок t1, . . . , tp. Тогда всякий другой порядок tj1, . . . , tjp определяет ту же самую ориентацию, если перестановки 1, . . . , p и j1, . . . , jp имеют одинаковую четность, и противоположную ориентацию, если эти перестановки имеют разные четности.

Ориентация X автоматически определяет ориентацию вложенного сим-

плекса ∆p X, а также ориентацию всякого сингулярного симплекса g : ∆p → X.

Границей сингулярного симплекса σ = (∆p, g) называется цепь

p

	Xi
∂σ =	∆p(i), g|∆p(i)	,
	=0

равная сумме сужений g на ориентируемые грани ∆(pi) симплекса ∆p. Теперь мы можем дать основное определение. Пусть ориентация σ вы-

брана порядком t1, . . . , tp.

Определение 19.3. Интегралом дифференциальной формы

X′

ω = aI(x) dxI

|I|=p

класса C0 по сингулярному симплексу σ = (∆p, g) называется риманов

интеграл	ω = Z	I =p′aI(g(t)) ∂(t)
Z				dt1 . . . dtp.	(19.1)
		|X|	∂(gI(t))
σ	∆p

∆ Кратное интегрирование. Когомологии	137
Интеграл ω по цепи h = Pmjσj	определяется по линейности:

ZZ

X

ω = mj ω.

h σj

Формула Стокса для интегралов по цепям приобретает следующий вид.

Теорема 19.1. Предположим, что ω — дифференциальная p-форма класса C1 на многообразии X и пусть h — дифференцируемая сингулярная

(p + 1)-цепь в X. Тогда

ZZ

ω = dω.

∂h h

2. Теорема двойственности де Рама

Пусть X — многообразие класса C∞. Через cp будем обозначать дифференцируемые p-мерные цепи на X с вещественными коэффициентами, т.е. элементы векторного пространства Cp(X), а через ωp – дифференциальные формы степени p из пространства Ωp(X). Напомним также, что Zp (X), Bp (X) – это подгруппы циклов и границ в Cp (X), а Zp (X), Bp (X) – подпространства замкнутых и точных форм в Ωp(X).

Теорема 19.2 (двойственность де Рама).

1) p-цикл cp принадлежит Bp(X) тогда и только тогда, когда

Z

ωp = 0

cp

для любой дифференциальной формы ωp из ZDRp (X);

2) замкнутая p-форма ωp принадлежит BDRp (X) тогда и только тогда, когда

Z

ωp = 0

cp

для всякой цепи cp из Zp (X).

Здесь мы докажем только свойство 1). Доказательство свойства 2) будет дано позднее, когда мы рассмотрим гомологии потоков.

138	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Доказательство. Докажем прямую импликацию " " свойства 1). Пусть cp Bp(X), т.е. cp = ∂cp+1. По формуле Стокса, для замкнутой формы

ωp ZDRp (X) в силу того, что dωp = 0, получаем

Z Z Z

ωp = ωp = dωp = 0.

cp ∂cp+1 cp+1

Совершенно аналогично приходим к обоснованию импликации " " свойства 2). А именно, пусть ωp = dωp−1 BDRp (X). Снова используя формулу Стокса для cp Zp(X), получаем

Z Z Z

ωp = dωp−1 = ωp−1 = 0,

cp cp ∂cp

т.к. ∂c = 0.

Теперь заметим, что каждая p-форма ωp определяет функционал на

Cp (X) по формуле

Z

ωp =: ωp, cp ,

cp

причем этот функционал линейный, в силу аддитивности интеграла:

ωp, λ1c1p + λ2c2p = λ1 ωp, c1p + λ2 ωp, c2p .

3. Общие сведения из теории линейных пространств

Отметим, что дифференциальные p-формы можно интерпретировать как линейные функционалы на пространстве цепей Cp(X), т.е. рассматривать вложение

Ωp(X) Cp′ (X),

где Cp′ (X) — пространство линейных функционалов на Cp (X).

Начнем со следующего утверждения, в котором Bp — подпространство границ комплекса K, а Zp — подпространство абстрактных коциклов.

Предложение 19.1. p-цепь cp принадлежит Bp тогда и только тогда, когда f, cp = 0 для любого f из Zp.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

139

Очевидно, предложение 19.1 является абстрактным аналогом свойства 1) теоремы де Рама о двойственности. Для его доказательства потребуется доказать ряд лемм. Для этого воспользуемся следующим известным фактом.

Теорема 19.3. В любом линейном пространстве E существует базис (Гамеля), т.е. линейно независимая система элементов {eα}, порождающая все E.

Здесь под словом "порождающая" понимается, что любой элемент из E

представляется в виде линейной комбинации конечного числа элементов системы, а под линейной независимостью — что любой конечный набор элементов системы линейно независим.

Переходим к формулировке и доказательству лемм.

Лемма 19.1. Для любого линейного подпространства V из E существует дополнительное к нему подпространство L, т. е. такое, что

E = V u L.

Доказательство. Рассмотрим фактор-пространство E V . По Теореме 2 в нем существует базис Гамеля {eα}. Введем подпространство L из E, порожденное представителями указанных базисных элементов: L = {eα} . Из определения фактора и базиса следует, что любой элемент a из E

допускает однозначное представление в виде

X

a = cjeαj + v , v V.

j

Следовательно, L – дополнительное к V. Лемма 1 доказана.

Определение 19.4. Подпространство H E называется гиперплоскостью, если E H одномерно.

Лемма 19.2. Любое подпространство V из E представляется пересече-

нием гиперплоскостей:	\
V =	Hα.
	Hα V

140 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

V		T
Доказательство. Очевидно вложение V		Hα. Поэтому достаточно

	Hα V
доказать, что если	– не гиперплоскость и		то существует гипер-
		x / V,

плоскость H V, не содержащая x.

Итак, пусть x / V . Рассмотрим подпространство V1 = x u V . По Лемме 1 для него существует дополнительное подпространство W (т. е. такое подпространство, что ( x uV ) uW = E). Очевидно, x u(V uW ) =

E. Рассмотрим подпространство H = V u W . Очевидно, E H x , т. е. размерность фактор-пространства E H равна 1, cледовательно, H —

гиперплоскость, причём не содержащая x. Лемма 2 доказана.

Определение 19.5. Говорят, что функционал f E′ ортогонален M из

E, если f, x = 0 для любого x из M; аналогично, x из E ортогонален

M′ из E′, если f, x = 0 для любого f из M′.

Введем обозначения:

M := {f E′ : f, x = 0, x M}, M′ := {f E : f, x = 0, x M′}.

Лемма 19.3. Любая гиперплоскость в E имеет вид:

H = {x : f, x = 0}, где f E′.

Доказательство. Пусть H — гиперплоскость в E, dim E H = 1. Рассмотрим сопряженное пространство (E H)′, оно также одномерно и порождается одним элементом. Так как (E H)′ – множество функционалов на E, равных нулю на H, то получаем, что каждый такой функционал f

пропорционален одному функционалу f0, который не равен нулю тождественно и равен нулю на H. Лемма 19.3 доказана.

Лемма 19.4. Для любого подпространства V из E имеет место равенство (V ) = V .

Доказательство. Заметим, что

V := {f E′ : f, x = 0, x V } = {f : V f−1(0)}.