ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии					61
P (x, y)∂x	+ Q(x, y)∂x dx +		P (x, y)∂y		+ Q(x, y)∂y dy =
∂u		∂v		∂u		∂v
	˜		˜
	P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Таким образом, выражение P (u, v)du + Q(u, v)dv также сохраняет форму при переходе к новым координатам.

На основе примеров 6.1 и 6.3 легко усматривается правило преобразования формы при переходе к новым координатам.

Чтобы задать какой-то объект на всем многообразии, мы можем задать его в какой-либо локальной карте и определить правила преобразования этого объекта при переходе к другой локальной карте. Нужно требовать, чтобы объект был инвариантен (не изменялся) относительно этого преобразования. При определении дифференциальной формы мы будем следовать этой логике.

2. Определение и канонический вид дифференциальной формы

Пусть X — гладкое вещественное многообразие размерности n и x = (x1, . . . , xn) — локальные координаты в некоторой локальной карте U(x).

С каждым упорядоченным поднабором координат xI = {xi1 , . . . , xip}, определяемым мультииндексом I = (i1 . . . , ip), где i1, . . . , ip {1, . . . , n}, свяжем абстрактный символ

dxI = dxi1 · · · xin.

(6.2)

Обозначим через

∂xI = ∂(xi1 , . . . , xip) ∂yJ ∂(yj1 , . . . , yjp)

соответствующий минор матрицы Якоби для отображения

x(y) = (x1(y1, . . . , yn), . . . , xn(y1, . . . , yn))

перехода от локальной карты переменных x к локальной карте переменных y на X.

|J|=p

62	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Определение 6.1. Дифференциальной формой ω степени p на n-мерном многообразии X называется объект, который в локальных координатах x записывается в виде линейной комбинации

	′
	|XI|	(6.3)
ω(x) =	aI(x) dxI,

=p

где aI(x) = ai1,...,ip(x) — функции от x.

При этом при переходе от локальных координат x к локальным координатам y по правилу x = x(y), указанный объект ω преобразуется

по правилу				dyJ .
′			∂x		(6.4)
ω (x) −→ ω (y) =		aI (x(y)) ·	I
			∂y
=p	I =p		J
|XJ|	|X|
Здесь штрих над знаком суммы	P′ означает, что суммирование ве-

дется по всем упорядоченным мультииндексам J = (j1, . . . , jp), 1 6 j1 <

· · · < jp 6 n.

Иными словами, в новых координатах y форма ω задается в виде

	|XJ|		где bJ (y) =	|X|	∂(xi1, . . . , xip)
ω =		,					.
	bJ (y) dyJ			aI(x(y))
	=p				∂(yj1	, . . . , yjp)
				I =p

Тот факт, что форма ω задана на n-мерном многообразии отражает ее зависимость от n переменных. То, что форма имеет степень p, означает, что в символе dxI присутствует ровно p дифференциалов. Для краткости дифференциальные формы степени p также будем называть p-формами.

Пример 6.4. Произвольная 2-форма на R3 или в локальных координатах x = (x1, x2, x3) любого трехмерного многообразия имеет вид:

ω = a12(x)dx1 dx2 + a13(x)dx1 dx3 + a23(x)dx2 dx3.

Рассмотрим случай ω = dx1 dx2. По определению 6.1 при переходе к

локальным координатам y = (y1, y2, y3) получим, что

dy3 dy3. (6.5)

ω(y) =

∂x1

∂x2

dy1

dy2

+

∂x1

∂x2

dy1

dy3

+

∂x1

∂x2

∂x1

∂x2

∂x1

∂x2

∂x1

∂x2

∂y2

∂y2

∂y3

∂y3

∂y3

∂y3

∂y1

∂y1

∂y1

∂y1

∂y2

∂y2

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

63

Если aI(x) — функции класса C, то говорят, что форма ω принадлежит классу C. Например, если C = C — класс непрерывных функций, то ω —

непрерывная форма. Важными для нас являются классы k-гладких (C =

Ck, k N), бесконечно гладких (C = C∞), а также аналитических (C = Cω) коэффициентов формы. Соответственно, будут рассматриваться k-гладкие, гладкие, либо аналитические формы на X.

Пример 6.5. Форма

ydx − xdy ω(x, y) = x2 + y2

степени 1 принадлежит классу C = Cω на проколотой плоскости X =

R2 \ {0}.

Определение 6.1 формальное. Мы могли бы пытаться вывести правило преобразования формы при переходе к другой локальной карте, используя известное выражение для dx(y) и перемножая дифференциалы по правилу умножения многочленов. В этом случае форма ω = dx1 dx2 из примера 6.4 при переходе к координатам y будет преобразовываться следующим

образом: dx1 dx2 = dx1(y) dx2(y) =

=

∂y1 dy1 +

∂y2 dy2 +

∂y3 dy3 ∂y1 dy1 + ∂y2 dy2 + ∂y3 dy3

=

∂x1

∂x1

∂x1

∂x2

∂x2

∂x2

∂x1

∂x2

∂x1

∂x2

(6.6)

=

dy1

dy1

+

dy1

dy2

+ . . . .

∂y1

∂y1

∂y1

∂y2

Закончив раскрывать скобки в (6.6) и вычислив якобианы в (6.5), мы сразу увидим, что для того, чтобы получить правую часть равенства (6.5), надо потребовать, чтобы:

a) dy1 dy1 = 0;

b) dy1 dy2 = −dy2 dy1;

c) функция выносилась за знак " ".

Эти правила были найдены Э. Картаном и представляют из себя формальный алгоритм действия с символом " ". Обычно они постулируются

64	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

аксиоматически. Покажем, что правила a)–c) следуют из определения 6.1 дифференциальной формы.

Рассмотрим форму ω = dxI = dxi1 · · · dxip и замену координат, состоящую в том, что в упорядоченном наборе из p координат k-тая и m-тая координаты меняются местами. Более точно:

xi = yi если i ̸= k, m; xk = ym, xm = yk, i = 1, . . . , n.

Форма ω = dxI в результате этой замены преобразуется к виду

∂xi1

. .... .

∂xi1

dy

ω(x(y)) :=

′

∂xI

dy

J

=

′

∂y...i1

∂y...ip

J

.

J =p ∂yJ

J =p

∂xip

. . .

∂xip

|X|

|X|

∂yi1

∂yip

Матрица Якоби указанной замены переменных имеет вид:

	0 1 . . .	m	k	. . . 0
		0 . . .	0
	1 0 . . .	0 . . . 0		. . . 0
	. . . . . .
m	0 0 . . .	0 . . .	1	. . . 0
	. . . . . .
k	0 0 . . .	1 . . .	0	. . . 0
	. . . . . .
	0 0 . . .	0 . . .	0	. . . 1

	Заметим, что если мультииндексы I и J не совпадают, то ∂xI = 0. В
							∂yJ
случае, когда I = J, возможны три варианта:
1)	∂xI
	Если m, k ̸I то ∂yJ = 1.
		∂xim					∂xI
2)	Если m I, k ̸I, то		= 0, l = 1, . . . , p, следовательно,				∂yJ = 0.
		∂yjl
3)	Если m, k I, то после перестановки k-го и m-го столбцов матрица
переходит в единичную, т.е.			∂xI		ε(I,J)	, где ε — четность подстановки
			∂yJ = (−1)
			j1	, . . . , jp!	=	J!.
			i1	, . . . , ip		I

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

65

Таким образом, форма ω = dxI преобразуется в форму ω = (−1)ε(I,J)dyJ , где ε — четность подстановки JI . По определению замены x = x(y), из этого вытекает, что

dxi1 · · · dxip = (−1)ε(I,J)dxj1 · · · dxjp.

(6.7)

В частности, dxi dxj = −dxj dxi и dxi dxi = 0.

Правило (6.7) позволяет любую дифференциальную форму ω привести к каноническому виду

X′

ω = aI(x)dxI.

|I|=p

3. Сложение и внешнее умножение дифференциальных форм

Дифференциальные формы одинаковой степени можно складывать и приводить подобные, при этом dxi1 · · ·dxip играют роль базиса. Очевидно, множество дифференциальных p-форм составляют векторное пространство размерности, равной числу сочетаний из n по p. В самом деле, агрегаты dxI составляют базис, а формы

|X|	aI(x)dxI и	|XI|
ω =		ϕ = bI(x)dxI.
I =p		=p

складываются покомпонентно:

X

ω + ϕ = (aI(x) + bI(x))dxI.

|I|=p

Определение 6.2. Пусть формы ω и ϕ заданы в локальных координатах x,

|X|	|XJ|
ω = aI(x)dxI,	ϕ = bJ (x)dxJ .
I =p	=q

Их внешним произведением называется дифференциальная форма степени p + q вида

ω ϕ :=	|I|=X| |
	aI(x)bJ (x)dxI dxJ ,

p, J =q

где dxI dxJ = dxi1 · · · dxip dxj1 · · · dxjp.

66 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Пример 6.6. Пусть ϕ = dx1 dx2 − dx2 dx3, ω = dx1 + dx2 + dx3. Тогда по правилу умножения многочленов имеем: ϕ ω = dx1 dx2 dx1 − dx2 dx3 dx1 + dx1 dx2 dx2 −dx2 dx3 dx2 + dx1 dx2 dx3 −dx2 dx3 dx3. Но dx1 dx2 dx2 = dx2 dx3 dx3 = dx1 dx2 dx1 = 0, поскольку содержат одинаковые дифференциалы. Остальные слагаемые сокращаются и значит

ϕ ω = 0.

Свойства внешнего произведения дифференциальных форм

1.ω ϕ = (−1)p qϕ ω, p = deg ω, q = deg ϕ.

2.Если a1(x),. . . , ap(x) — гладкие функции, то внешнее произведение их дифференциалов преобразуется по правилу

X′ ∂(a1, . . . , ap)

da1(x) · · · dap(x) = |J|=p ∂(xj1 , . . . , xjp)dxj1 · · · dxjp,

где

daj(x) = ∂aj dx1 + · · · + ∂aj dxn — обычный дифференциал. ∂x1 ∂xn

3.Если x, y — локальные координаты на многообразии, связанные соотношением x = x(y), то символ dxI, являющийся дифференциальной формой степени p, преобразуется при переходе к координатам y к

форме

dxI(y) ≡ dx1(y) · · · dxp(y).

4. Очевидные свойства:

(ω1 + ω2) ϕ = ω1 ϕ + ω2 ϕ; (ω ϕ) φ = ω (ϕ φ).

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

67

Лекция 7 ´

Дифференциал формы

Определение внешнего дифференциала формы. Свойства дифференциала в фиксированной системе координат, преобразование дифференциала формы относительно отображений. Корректность определения понятия дифференциала (инвариантность). Примеры.

1. Дифференциал формы

Определим операцию дифференцирования дифференциальных форм.

Определение 7.1. Дифференциалом формы ω степени p называется дифференциальная форма степени p + 1, которая обозначается dω, и если

ω в локальных координатах x записана в виде

X

ω = aI(x)dxI,

|I|=p

то

X

dω = daI(x) dxI.

|I|=p

Распишем подробнее dω, учитывая, что daI(x) — обычный дифференциал функции aI(x):

dω = I =p daI(x) dxI = I =p		∂x1 dx1 + · · · +		∂xn dxn	dxI =
|X|	|X|		∂aI	∂aI

n

X X ∂a

∂xI dxj dxi1 · · · dxip.

|I|=p |j|=1

j

Пример 7.1. Пусть ω = x1dx2 − x2dx1. Тогда

dω = dx1 dx2 − dx2 dx1 = 2dx1 dx2.

68	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

2. Свойства дифференциала

Изучим свойства дифференциала dω в фиксированной локальной системе координат x = (x1, . . . , xn).

1.d(ϕ + ψ) = dϕ + dψ, где ϕ, ψ C1.

2.Обобщенное правило Лейбница:

d(ϕ ψ) = dϕ ψ + (−1)deg ϕϕ dψ, где ϕ, ψ C1.

3.d2ω = d(dω) = 0, где ω C2.

Свойство 1 следует из адиттивности операции взятия дифференциала функции. Докажем свойство 3 в предположении, что для функций оно уже доказано.

Доказательство. Пусть ω = P aI(x)dxI — форма степени p, ω C2, x —

|I|=p

локальные координаты на X. Тогда

d(dω) := d		daI(x) dxI	.
	|XI|
	=p

По свойству 1 эта сумма равна

X

d (daI(x) dxI) ,

|I|=p

а, согласно свойству 2, ее можно переписать как

X

d (daI(x)) dxI − daI(x) d(dxI).

|I|=p

Последнее выражение, в силу справедливости свойства 3 для функций,

P

равно −daI(x) d(dxI).

|I|=p

Итак,

X

d(dω)= −daI(x) d(dxI).

|I|=p

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

69

Осталось показать, что d(dxI) = 0. С одной стороны, это следует из определения дифференциала формы. С другой строны, это может быть установлено по индукции с помощью правил внешнего умножения. База индукции:

d(dxi1 ) := d(1) dxi1 = 0 dxi1 = 0.

Пусть d(dxI[i1]) = 0 (здесь dxI[i1] означает, что i1-й пропущен). Покажем, что d(dxI) = 0.

Действительно,

d(dxI) = d(dxi1 dxI[i1]) = d(dxi1) dxI[i1] − dxi1 d(dxI[i1]),

где первое слагаемое равно 0 как база индукции, а второе равно 0 в силу индуктивного предположения.

3. Корректность определения дифференциала

Свойства 1–3 понадобятся нам для обоснования корректности задания дифференциала относительно перехода к другой локальной карте, т.е. того, что (dωx)y = d(ωy).

Далее мы покажем, что понятие дифференциала корректно определено, т.е. что

d [ω(x)] → [dω] (y) = d [ω(x(y))] .

Это свойство называется инвариантностью формы записи дифференциала, которая выражается в коммутативности операции дифференцирования d и замены переменных при переходе к другой локальной карте.

Для любой степени p > 1 инвариантность доказывается по индукции. Теперь докажем следующее

Предложение 7.1. Определенный выше дифференциал dω формы ω в локальных координатах x = (x1, . . . , xn) есть дифференциальная форма на многообразии X, если X – многообразие класса C1, а ω C1.

70	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Доказательство. Сначала докажем равенство

dωx y = d ω(x(y))

(7.1)

для функций, .т.е. для форм u степени 0. В этом случае

du(x) y = d u(x(y)) ,

где

x = (x1, . . . , xn), u = u(x), y = (y1, . . . , yn), и x = x(y),

соответственно, локальные координаты в некоторой окрестности X, запись функции u в этих координатах, локальные координаты, действующие в другой локальной карте и соотношения соседства между этими локальными картами.

Согласно правилу замены переменных в дифференциале

d(u(x(y))) =	∂u(x(y))	dy1 + . . . +	∂u(x(y))	dyn,
	∂y1		∂yn

где

∂u	=		∂u	·	∂x1		+ . . . +		∂u	·	∂xn
∂yi		∂x1				∂yi		∂xn			∂yi

— частные производные сложной функции.

Подставим выражение для них в дифференциал и перегруппируем слагаемые:

d(u(x(y))) =	∂x1		∂y1 dy1 + +. . .			∂yn dyn + +. . .
	∂u(x(y))		∂x1			∂x1
								∂y1 dy1 + +		∂yn dyn
				+ . . . +		∂xn
					∂u(x(y))				∂xn	∂xn

d(u(x(y))) =	∂u(x(y))	dx1(y) + . . . +	∂u(x(y))	dxn(y) = (du(x))y,
	∂x1		∂xn

тем самым предположение доказано для форм степени 0.