ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

161

Пример 22.4. Пусть M = C2 \ {0}. По теореме Хартогса

O(C2 \ {0}) = O(C2).

Выберем покрытие U1 = {z1 ̸= 0}, U2 = {z2 ̸= 0}; оно также ациклично:

U

=

U

=

×

;

U ∩ U

=

×

.

1

2

C

C

C

C

1 2

Группа C1({U1, U2}, O) = O(U1 ∩ U2) состоит из рядов Лорана

∞

X

f(z1, z2) = amnz1mz2n,

m,n=−∞

группа O(U1) — из рядов

X

f(z1, z2) = bmnz1mz2n,

m≥0

а группа O(U2) — из рядов

X

f(z1, z2) = cmnz1mz2n.

n≥0

Таким образом,

δC0({U1, U2}, O) = O(U1) + O(U2)

не содержит рядов Лорана с членами z1mz2n, где m, n < 0; отсюда видно, что dim H1(C2 \ {0}, O) = ∞.

162	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Лекция 23 ´

Применение теории когомологий к вычислению топологических зарядов в теории инстантонов полей Янга-Милса

Специальное вычисление объема проективного пространства. Интегралы, представляющие топологические заряды инстантонов. Цепи и коцепи, ассоциированные с покрытием. Резольвента сингулярного цикла, соответствующая покрытию многообразия. Дуальная формула для цепей и коцепей. Преобразование 2n-мерного интеграла по компактному комплексному многообразию к n-мерному интегралу от голоморфной формы.

В теории инстантонов полей Янга-Милса возникают интегралы вида

Zn	P (z, z¯)		(23.1)
		dz dz,¯
	Q(z, z¯)
C

которые выражают топологические заряды инстантонов. Здесь P и Q –

полиномы от z и z¯.

Такие интегралы удобнее записывать не по Cn, а по некоторым его компактификациям в виде комплексно аналитических многообразий X размерности n : где ω – продолжение рациональной формы из (23.1).

1. Вычисление объема CP2 в метрике Фубини-

Штуди

Вычислим нетрадиционным способом объем проективного пространства CP2 в метрике Фубини-Штуди. С точностью до постоянного множителя соответствующая форма объема имеет в аффинных координатах (z1, z2) C2z CP2 вид

ω = dz1 dz¯1 dz2 dz¯2

(1 + z1z¯1 + z2z¯2)3

	∆ Кратное интегрирование. Когомологии						163
	Эта форма имеет первообразную в C2 :
	ϕ0 =	1		(¯z2dz1 − z¯1dz2) dz1 dz2				.
		2
						(1 + z1z¯1 + z2z¯2)2
	¯						имеет бистепень (2,1).
	причем dϕ0 = ∂ϕ0 = ω, так как форма ϕ0
	С помощью замены z1	=			1	, z1 = v2	найдем первообразную для ω в
					v1
						v1

другой аффинной координатной окрестности C2v и запишем ее в переменных z1, z2 :

1dz1 dz2 dz¯2

ϕ1	=										.
								2
	2 z1(1 + z1z¯1						+ z2z¯2)
Затем, производя замену z1					= u1	, z1	=		1	, найдем первообразную в
					u2			u2

третьей аффинной координатной окрестности C2u и снова запишем ее в переменных z1, z2 :

1 dz1 dz2 dz¯1

ϕ2 = −2 z2(1 + z1z¯1 + z2z¯2)2 .

Теперь заметим, что координатные окрестности

U0 C2z, U1 C2v, U2 C2u

покрывают CP2. В то же время, CP2 покрывают три единичных бидиска в каждой из карт Uj. В карте U0 эти бидиски запишутся в виде

I1 = {z : |z1| ≤ 1, |z2| ≤ 1},

I2 = {z : |z1| ≥ 1, |z2| ≤ |z1|},

I3 = {z : |z1| ≤ |z2|, |z2| ≥ 1},

Таким образом, CP2 будучи 4-циклом, представляются цепью

CP2 = I¯0 + I¯1 + I¯2,

где I¯j – замыкание в CP2 множеств Ij, j = 0, 1, 2, причем каждая клет-

¯
ка Ij Uj.
Таким образом
Z	ω = Z2	ω = z Z		1	ω + z Z	1	ω + z	Zz	2	ω,
CP2	C	| 1	|≤		| 1|≥		|	1|≤|		|
		|z2	|≤1		|z2|≤|z1|		|z2|≥1

164 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

и по формуле Стокса получаем						Z
Z	z Z=1	z Z			z		(ϕ3 − ϕ2).
CP2	ω =	(ϕ1 − ϕ2) +		(ϕ1 − ϕ3) +
	| 1|	| 2	|	=1	| 1	| |	2|
						= z
	|z2|≤1	|z1|≤1			|z2|≥1

Теперь заметим, что

d(ϕi − ϕj) = dϕi − dϕj = ω − ω = 0,

т.е. формы ϕi −ϕj регулярны в Ui ∩Uj и замкнуты там. Заметим, что ϕi −ϕj

имеют первообразные в Ui ∩ Uj : ϕi − ϕj = dψij, где

ψ =

1

z¯2dz1 dz2

,

01

−2 z1(1 + z1z¯1 + z2z¯2)

ψ02 =

1

z¯1dz1 dz2

,

2 z2(1 + z1z¯1 + z2z¯2)

ψ21 =

1

dz1 dz2

,

2 z1z2(1 + z1z¯1 + z2z¯2)

Применяя повторно формулу Стокса, получим:

Z

Z

z Z=1

z Z=1

z

dψ21 =

ω =

dψ01 +

dψ02 +

CP2

| 1|

| 2|

| 1

| |

2|

= z

|z2|≤1

|z1|≤1

|z2|≥1

= z Z=1 (ψ01 − ψ02 − ψ21) = − z Z=1

dz1 dz2

= 4π2,

z1z2

| 1|

| 1|

|z2|=1

|z2|=1

где знаки в предпоследнем равенстве были выбраны с учетом того какую ориентацию индуцируют грани клеток Ik на {|z1| = 1, |z2| = 1}.

В итоге получаем

Z

ω = 4π2.

CP2

R

Отметим, что интеграл ω мы свели к вычету формы

CP2

dz1 dz2 , z1z2

голоморфной в U0 ∩ U1 ∩ U2.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

165

2. О преобразовании интегралов по компактным аналитическим многообразиям к вычетам

Покажем, что разобранный выше пример является типичным для опре-

деленного класса интегралов по компактным комплесным многообразиям.

Пусть U = {Uα}αA открытое покрытие компактного комплексного многообразия X размерности n (A - конечное упорядоченное множество ин-

дексов). Положим

Uα0...αp := Uα0 ∩ . . . ∩ Uαp.

Через An,s(Uα0...αp) обозначим пространство C∞ - дифференциальных форм бистепени (n, s), и через Cp,n,s(U, A ) обозначим прямое произведение

Y

An,s(Uα0...αp).

α0<...<αp

Элементы этого произведения называются U-коцепями кратсности p и бистепени (n, s).

Определим оператор δ : Cp,n,s(U, A ) → Cp+1,n,s(U, A ) по формуле

p+1	b
Xi
(δω)α0 ...αp+1 =	(−1)iωα0...αi...αp+1	,
=0

где ω = (ωβ0, . . . , ωβp+1 ) Cp,n,q(U, A ). Оператор δ называется кограничным оператором Чеха.

Определение 23.1. U-цепь на многообразии X кратности p и размерности q это альтернированная функция γ из множества индексов Ap+1

в пространство сингулярных цепей на X размерности q, которая не обращается в ноль на конечном числе точек Aq+1 и удовлетворяет

sup γ(α0, α1, . . . , αp) Uα0,α1,...,αp,

для всех индексов α0, α1, . . . , αp.

Определение 23.2. Пусть ξ это сингулярный цикл на X размерности r.

U-резольвента ξ это последовательность ξ0, ξ1, . . . , ξr такая, что 1)ξp это U-цепь кратности p размерности r − p.

166 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

	2)ξ =	P
		ξ0(α)
		α A	P
	3)∂ξp(α0, α1, . . . , αp) =
			ξp+1(β, α0, α1, . . . , αp).

β A

Следующий факт был замечен авторами совместно с О. Ульверт.

Теорема 23.1. Пусть X – компактное комплексное аналитическое многообразие размерности n. Пусть также U = {Uα} – ацикличное отно-

¯	покрытие X. Тогда для любой (n, n)-формы ω
сительно оператора ∂
	X	ξn					n ω,	(23.2)
	Z	ω = (−1)n Z		δ∂−1

где ξn — компонента U-резольвенты для X.

Доказательство теоремы вытекает из того, что → ¯−1 n является

ω (δ∂ ) ω

явной реализацией изоморфизма Дольбо

Hn,n(X) Hn(U, Ωn),

где Ωn – пучок ростков голоморфных форм.

Пример 23.1. Вычислим интеграл
						Z				ωF S(z1)ωF S(z2),	(23.3)
						C	×	C
		¯									¯.
где ω	F S	(t) =	dt d2t	2	– форма Фубини-Штуди на
		(1+|t| )									C

Для этого введем однородные координаты u1 : u2 на первом сомножителе C и v1 : v2 на втором сомножителе, и выберем покрытие U = {Uα}3α=0

следующим образом

U0 = {u0 ̸= 0} × {v0 ̸= 0}

U1 = {u1 ̸= 0} × {v0 ̸= 0}

U2 = {u1 ̸= 0} × {v1 ̸= 0}

U3 = {u0 ̸= 0} × {v1 ̸= 0}.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

167

Само произведение C × C = ξ это цикл интегрирования, для которого нам требуется построить U-резольвенту. Положим ξ0(i) = hi, где

h0 = {z : |z1| 6 1, |z2| 6 1} h1 = {z : |z1| > 1, |z2| 6 1} h2 = {z : |z1| > 1, |z2| > 1} h3 = {z : |z1| 6 1, |z2| > 1}.

В качестве первой компоненты U-резольвенты возьмем

ξ1 = (−h01, h03, h12, h23),

где hij = hi ∩ hj — U-цепь вещественной размерности 3 (пересечения элементов покрытия, дающие U-цепи вещественной размерности 2 или 4

не рассматриваются). Все hij ориентированы положительно в направлении возрастания |z1|, |z2|. Далее, положим

ξ2 = (0 · h012, −h013, 0 · h023, h123),

∂ξ1(0, 1) = ξ2(2, 0, 1) + ξ2(3, 0, 1) = ξ2(0, 1, 2) + ξ2(0, 1, 3) = −h013, ∂ξ1(0, 3) = ξ2(1, 0, 3) + ξ2(2, 0, 3) = −ξ2(0, 1, 3) − ξ2(0, 2, 3) = h013, ∂ξ1(1, 2) = ξ2(0, 1, 2) + ξ2(3, 1, 2) = ξ2(0, 1, 2) + ξ2(1, 2, 3) = h123, ∂ξ1(2, 3) = ξ2(0, 2, 3) + ξ2(1, 2, 3) = h123.

Таким образом, мы построили U — резольвенту ξ с ξ2 = {|z1| = 1, |z2| = 1}.

грал (23.3) равен π2.	(δ∂−	)	ω =	2			2	z1z2	.
Нетрудно проверить, что	¯ 1	2			ı			dz1 dz2		Таким образом, инте-

Тема 7. Метод разделяющих циклов в теории локальных вычетов

Лекция 24 ´

Локальные вычеты и их основные свойства

Вычет, ассоциированный с голоморфным отображением пространства Cn в себя. Формула вычета для простого нуля отображения. Алгоритм вычисления локального вычета для гиперплоских дивизоров.

1. Многомерных вычетов много даже в одной точке!

В теории функций одного комплексного переменного вычет Коши определяется двумя эквивалентными способами. А именно, если a изолированная особая точка голоморфной функции g(z), то ее вычет в точке a

определяется интегралом либо коэффициентом ряда Лорана:

a	Z	−1
res(g) = (2πi)−1	g(z)dz = c		.

|z−a|=ε

В этой связи отметим, что функции одного переменного с изолированной особой точкой соответствует однозначно определенный ряд Лорана. Для функций же многих переменных аналогичного утверждения нет. Приведем пример. Рассмотрим рациональную функцию двух переменных g(z, w) = h/zw(z − w), где h – полином. Аналогом особой точки a здесь служит семейство трех прямых: {z = 0}, {w = 0}, {z − w = 0}, пересекающихся в начале координат. Проинтегрируем функцию g по следующим двумерным контурам (циклам):

Γ1 = {|z| = ε1, |w| = ε2 > ε1},

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

169

Γ2 = {|z| = δ1, |w| = δ2 < δ1}.

Для этого разложим функцию g на циклах Γj в ряд Лорана:

g|Γ1

h

z

k

h

w

k

= −zw2 k>0

w

, g|Γ2

= z2w k>0

z

.

X

X

Эти ряды равномерно сходятся на Γ1 и Γ2 соответственно, и в результате

их почленного интегрирования получаем:
(2πi)−2	Z		gdz dw = −∂w(0, 0),
					∂h
	Γ1
(2πi)−2		Z	gdz dw =	∂h
						(0, 0).
				∂z
		Γ2

Из этого примера видно, что в то время как на комплексной плоскости с особой точкой a связывались лишь один контур (малая окружность) и единственный ряд Лорана, в пространственном случае в как угодно малой окрестности особой точки функции g(z, w) существуют несколько независимых циклов (в нашем примере Γ1 и Γ2) и различные разложения Лорана, которые аппроксимируют g не в полной окрестности, а лишь в некоторых "конических областях" (в нашем примере — в U1 = {|z| < |w|} и U2 = {|z| > |w|}).

Тем не менее существует класс мероморфных функций многих переменных, которым естественным образом сопоставляется определенный вычет (среди нескольких возможных) в окрестности особой точки. Это так называемый класс локальных вычетов, ассоциированных с голоморфными отображениями.

2. Локальный вычет, ассоциированный с голоморфным отображением

Локальный вычет, который мы здесь рассмотрим, представляет собой интеграл от мероморфной формы весьма общего вида и ассоциируется с голоморфным отображением

f = (f1, . . . , fn) : Ua → Cn,

170	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

определенным в замыкании некоторой ограниченной окрестности Ua точки a Cn. Предполагается, что отображение f имеет в точке a изолированный нуль: Ua ∩ f−1(0) = {a}. Локальным вычетом мероморфной формы

hdz

ω = f1 · · · · · fn , (dz = dz1 · · · dzn)

в точке a называется интеграл

res ω = (2πi)−n	ω	(24.1)
a	Z
	Γa
по вещественно n-мерной цепи

Γa = Γεa(f) = {z Ua : |fj(z)| = εj, j = 1, ..., n},

где εj R> – достаточно малые положительные вещественные числа такие, что Γεa(f) b Ua. Ориентация цепи Γa определяется условием d(arg f1) · · · d(arg fn) > 0.

Приведем некоторые пояснения. В наших условиях отображение f не имеет нулей на компакте ∂Ua – границе Ua. Поэтому существует такое δ R>, что прообраз f−1(Bδ) замкнутого поликруга радиуса δ компактен в Ua. Но поскольку f−1(Bδ) характеризуется условием |fj| 6 δ, то для всех εj < δ цепи Γεa(f) относительно компактны в Ua и, следовательно, являются циклами, гомологичными между собой в области Ua \ {z : f1(z) · · · · · fn(z) = 0}. Форма ω замкнута в этой области (как голоморфная форма максимальной степени), и по формуле Стокса интегралы (24.1) равны для всех циклов Γa = Γεa(f), если εj 6 δ. Тем самым, мы объяснили корректность определения локального вычета. Далее из теоремы Сарда, примененной к отображению (|f1|2, . . . , |fn|2) : Ua → Rn+, вытекает, что для почти всех ε [0, δ]n Rn+ циклы Γεa(f) являются гладкими многообразиями. Поэтому в определении (24.1) можно считать, что Γa

— гладкий цикл, ориентация которого определяется порядком параметров

θ1	= arg f1,. . . , θn = arg fn, участвующих в его параметрическом задании
fj	(z) = εjeiθj , j = 1, . . . , n. Цикл Γε	(f) будем называть локальным цик-
	a

лом по той причине, что его носитель "стремится" к точке a при ε → 0.