ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

41

Носитель

[

supp ψi supp (ψk′) Ui

k:r(k)=i

по построению, а свойство 3) следует из локальной конечности покрытия

{Hk}. Теорема доказана.

Заметим, что для каждого фиксированного k выбирается только однo

Hk Ui, чтобы не посчитать одну функцию дважды при разбиении суммы ряда в сумму порядков ψi. Само Hk может вписаться во много Ui, но мы ему ставим в соответствие определенный i определенным образом. Этот момент говорит о том, что разбиение единицы можно строить по-разному, в зависимости от того, как выбрали отображение r.

4. Теорема Сарда

Пусть X и Y — гладкие многообразия размерностей n и k соответственно. Рассмотрим отображение F : X → Y класса C1.

Определение 3.2. Точка x0 X — регулярная точка отображения F , если в локальных координатах матрица Якоби отображения F имеет в точке x0 максимальный ранг (т.е. min (n, k)). Если точка x0 не является регулярной, она называется критической точкой.

Определение 3.3. Точка y0 Y называется критическим значением

отображения F , если ее прообраз F −l(y0) содержит критическую точку; в противном случае y0 называется регулярным значением.

Определение 3.4. Говорят, что подмножество A в Rn является множеством меры нуль, если ε > 0 его можно погрузить в объединение счетного числа кубов общего объема, не больше, чем ε.

Определение 3.5. Подмножество A многообразия Y имеет меру 0, если существует покрытие многообразия Y счетным множеством карт ϕi :

Ui → Rn, Для которого каждое множество ϕ(X ∩ U) Rn имеет меру

нуль.

42	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Теорема 3.2 (Теорема Сарда). Если отображение F C1 ∩ Cn−k+1, то множество его критических значений имеет меру нуль в Y .

Доказательство теоремы Сарда в приведенной выше общей формулировке не просто, и мы не будем его здесь приводить (см. [Прасолов]).

Рассмотрим случай, когда F C1 и n = k. В этом случае точка x0 X

является критической для отображения F : X → Y , если якобиан ∂(F ) в

∂(x)

точке x0 равен нулю.

Теорема 3.3. Пусть X и Y многообразия размерности n и F : X → Y

— отображение класса C1. Тогда множество критических значений F

имеет меру нуль в Y .

Доказательство. Достаточно рассматривать F на некотором замкнутом кубе C0 в Rn со стороной l. Разобьем этот куб на Nn равных частей (кубиков), поделив каждое ребро на N равных частей. Тогда для любой пары точек x0, x лежащих в одном из кубиков C

	F (x) = F (x0) + ∂x (x0)(x − x0) + o		n		,
		∂F	1
	поскольку первые производные отображения F равномерно непрерывны в
	C0. Если x0 является критической точкой, то det		∂F (x0)			= 0 и поэто-
			∂x		которого лежит в
	му образ кубика C содержится в цилиндре, основание

(n−1)-мерной плоскости и имеет площадь 6 c(l/N)(n−1), а высота 6 o(l/N), где c — некоторая положительная константа. Поскольку число кубиков, содержащих критические точки, не больше, чем Nn, то при отображении F

их образы все лежат в некотором множестве, объем которого не превосходит Nno(l/Nn). Устремляя N к ∞, получаем требуемый результат.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

43

Лекция 4 ´

Отображения многообразий, их дифференциалы и касательные пространства

Отображения многообразий. Касательные векторы, касательные пространства и дифференциалы отображений. Касательное расслоение и векторные поля.

1. Отображение многообразий

Определим на многообразии функции так, чтобы это задание было инвариантно относительно преобразования координат при переходе из одной локальной карты в другую.

Пусть X — произвольное вещественное n-мерное многообразие.

Определение 4.1. Говорят, что на многообразии X задана функция f :

X → R, если в каждой окрестности Uα X задана функция

f Uα = fα(xα)

локального параметра x(α) Uα. При этом, если Uα ∩ Uβ ̸= , то

fα(xα) = fβ ◦ ϕαβ(x(α)).

Итак, функция f на n-мерном многообразии в локальных координатах есть функция n действительных переменных, следовательно, локально мы можем определять на X функции разных классов гладкости C. Однако класс гладкости, которому принадлежит функция, определенная глобально, очевидно, зависит от класса гладкости многообразия, т.е. соотношений соседства ϕαβ. Действительно, если какое-либо соотношение соседства не дифференцируемо, то и функция при переходе к локальной карте может оказаться недифференцируемой.

Заметим, что функция — частный случай отображения многообразия

X в Y (когда Y = R). Не трудно обобщить определение 4.1 на случай произвольных отображений.

44	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

X Y f : X → Y

P

f(P )

ϕ−1 ϕ

ψ

ψ ◦ f ◦ ϕ−1

Rxn

ϕ(P )

Rym

Отображение многообразий

Пусть X — многообразие размерности n с атласом {Uα, ϕα} и Y —

многообразие размерности m с атласом {Vβ, ψβ}. Рассмотрим отображение многообразий f : X → Y . Оно индуцирует отображение координатных окрестностей Uα и Vβ:

ψβ ◦ f ◦ ϕ−α 1(x) : ϕ−α 1 Uα ∩ f−1(Vβ) Rmx −→ Rny .

Если многообразия X, Y были класса C, а ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Rnx −→ Rmy для любой координатной окрестности принадлежит классу C′ C, то f C. Т. о. f : X → Y — гладкое отображение, если y = ψ ◦ f ◦ ϕ−1(x) : Rmx → Rny

—отображение класса C∞ для любой координатной окрестности U X. Далее будем рассматривать только гладкие многообразия и их гладкие

отображения.

2. Три определения касательного вектора

Координатное определение касательного вектора. Пусть X — гладкое вещественное многообразие размерности n.

Касательный вектор в точке p X легко определить в локальной системе координат, но при переходе к другой системе координат возникают некоторые трудности. Поэтому используется несколько определений касательного вектора, которые бывают полезны в разных ситуациях.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

45

Одно из наиболее естественных определений таково. Касательный вектор в точке p X — это некий объект, которому в каждой локальной системе координат (U, ϕ) с началом в точке p (т.е. с условием ϕ(p) = 0 Rnx) соответствует определенный вектор v = (v1, . . . , vn) Rnx; при этом в локальной системе координат (V, ψ) тому же самому касательному вектору

соответствует вектор w = (w1, . . . , wn) Ryn, где
w		=	∂(ψ ◦ ϕ−1)i	(0) vj.	(4.1)
	i	Xj	∂xj

Здесь (ψ ◦ ϕ−1)i обозначает i-ую координату отображения перехода x → y = (ψ ◦ ϕ−1)(x).

Иными словами, w — образ вектора v под действием матрицы Якоби отображения перехода ψ ◦ϕ−1. Корректность этого определения следует из того, что матрица Якоби композиции двух отображений является произве-

дением матриц Якоби этих отображений.

Основной недостаток этого определения — зависимость от выбора системы координат. Чтобы получить инвариантное определение, можно по-

ступить разными способами.

Касательный вектор как класс эквивалентных кривых. Известно, что

для гладких кривых x = x(t) в пространстве Rn касательный вектор в точке x0 = x(t0) выражается вектором скорости x′(t). Если Rn мыслить как пространство локальных координат карты (U, ϕ) многообразия X, то всякую кривую x(t) можно поднять на X в виде γ(t) = ϕ−1 x(t) .

Для удобства предположим, что x(0) = 0 и что (U, ϕ) — локальная

система координат с началом в точке p X, т.е. что ϕ(p) = 0. В таком случае γ(0) = p.

Касательный вектор в точке p X можно определить как класс эквивалентности гладких кривых γ : R → X, для которых γ(0) = p. Кривые γ1

и γ2 считаются эквивалентными, если для некоторой системы координат

(U, ϕ) с началом в точке p выполняется равенство

(	ϕ	◦dt	1( )) t=0 =		d(ϕ ◦dt	2( )) t=0.
d		γ	t		γ	t

46	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Если (V, ψ) — другая система координат с началом в точке p, то

d(ψ ◦dt	( ))i t=0 =		(	ψ	◦	ϕ	−dt ◦	( ))i t=0
γ t			d				1ϕ	γ t

=	∂(ψ ◦ ϕ−1)i (0)d(ϕ ◦ γ(t))j .
j	∂xi	dt	t=0
X

Поэтому, во-первых, эквивалентность кривых не зависит от выбора локальных координат, а во-вторых, вектор

d(ϕ ◦ γ(t)) v =

dt t=0

при переходе к другой системе координат преобразуются по закону (4.1). Таким образом, вектор скорости для представителя γ класса [γ] и пред-

ставляет касательный вектор в смысле определения пункта 1.

Касательный вектор как оператор дифференцирования. Оказывается, геометрические свойства многообразий можно получать, изучая класс всех гладких функций на них. В частности, на языке функций, заданных на многообразии (или в как угодно малых окрестностях), можно получить описание касательных векторов к многообразиям.

Итак, пусть (U, ϕ) — локальная система координат с началом в точке p X, v Rn и f : Up → R — гладкая функция, определенная в некоторой окрестности Up точки p. Функции f сопоставим число

X ∂(f ◦ ϕ−1)(0)vi,

i∂xi

равное значению производной функции fϕ−1(x) (т.е. производной функции f в локальных координатах x в направлении вектора v). При переходе к другой системе координат (V, ψ) вектор v заменится на вектор w с координатами

wi = X ∂(ψ ◦ ϕ−1)i (0)vj,

j ∂xj

поэтому функции f в новой системе координат будет сопоставлено число

∂

f ◦ ψ−1

(0)w

=

∂(f ◦ ψ−1)

(0)

∂(ψ ◦ ϕ−1)i

(0)v

.

i

∂yi

i

i,j

∂yi

∂xj

j

X

X

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

47

При фиксированном j сумму по i в правой части равенства можно интерпретировать как производную по xj сложной функции f ◦ ψ−1 ◦ ψ ◦ ϕ−1 = f ◦ ϕ−1, поэтому получаем

	∂	f ◦ ψ−1		(0)w		=		∂(f ◦ ϕ−1)	(0)v	.
i		∂yi			i		j	∂xj	j
X							X

Таким образом, число, сопоставляемое функции f, не зависит от выбора системы координат.

Касательному вектору v в точке p X мы сопоставили линейный оператор v : C∞(X) → R (вместо C∞(X) можно взять C∞(U) где U —

некоторая окрестность точки p, поскольку число v(f) зависит только от поведения функции f в сколь угодно малой окрестности точки p). При этом выполняются следующие свойства:

1)(λv + µw)(f) = λv(f) + µw(f);

2)v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f).

Второе свойство следует из правила Лейбница

∂(fg) = g ∂f + f ∂g . ∂xi ∂xi ∂xi

Свойства 1) и 2) вместе с линейностью оператора v можно взять за определение линейного пространства касательных векторов в точке p X. Но при этом нужно проверить, что не появится "лишних" операторов, т.е. если v : C∞(Rn) → R — линейный оператор, обладающий свойством

v(fg) = f(0)v(g) + g(0)v(f),

то

v(f) = Xi	∂f	(0)vi
	∂xi

для некоторого v = (v1, . . . , vn) Rn. Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

48	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Лемма 4.1. Пусть f C∞(U), где U Rn — выпуклая окрестность начала координат, и f(0) = 0. Тогда существуют такие функции

g1, . . . , gn C∞(U), что f(x) = Pxigi(x) и gi(0) = ∂f (0).

∂xi

Доказательство. В силу выпуклости U для каждого x U отрезок, соединяющий x с началом координат, также принадлежит U, поэтому по формуле Ньютона-Лейбница и правилу дифференцирования сложной функции имеем

1	dt		1	n		dt.
f(x) = f(x) − f(0) = Z			dt = Z	i=1 xi ∂xi
	df(tx)			X	∂f(tx)
0			0

В качестве искомых функций gi(x) положим

1	∂xi	dt.
gi(x) = Z0
	∂f(tx)

Если смотреть на последний интеграл, как на интеграл с параметром x, то мы видим,что подынтегральное выражение непрерывно по совокупности переменных x и t и принадлежит классу C∞(U) по x при каждом значении t [0, 1]. По известной теореме из анализа заключаем, что gi C∞(U). При этом

gi(0) = Z0	1	∂xi	(0)dt =	∂xi	(0).
		∂f		∂f

Из леммы 4.1 требуемое утверждение следует очевидным образом. Дей-

ствительно, f(x) − f(0) = Pi		xigi(x), поэтому
v(f) = Xi	0 · v(gi) + Xi		gi(0)v(xi) = Xi	∂f	(0)vi,
				∂xi

где vi = v(xi).

Касательные векторы в точке p X образуют линейное пространство размерности n, если размерность многообразия равна n. Это пространство называют касательным пространством в точке p и обозначают TpX.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

49

3. Дифференциал отображения

Пусть f : X → Y — гладкое отображение гладких многообразий.

Для каждой точки p X отображению f ставится в соответствие линейный оператор

(df)p : TpX −→ Tf(p)Y

из касательного пространства TpX в касательное пространство Tf(p)Y . Этот оператор называется дифференциалом отображения f или производным отображением для f. Его также обозначают просто df, если понятно, о какой точке p идет речь.

Опишем это соответствие для каждой из приведенных выше интерпретаций касательных векторов.

Пусть касательный вектор v TX задан координатами (v1, . . . , vn), приписанными локальной системе координат (Uϕ) на X. Тогда его образ w = df(v) Tf(p)Y в локальной системе координат (Vψ) есть результат действия на v матрицы Якоби отображения f:

w =	∂(ϕ−∂(◦x)		◦	ψ	) x=0(v)		(мы полагаем, что ϕ(p) = 0).
	1	f
Если вектор v		задан				кривой	γ(t), то вектор df(v) задается кривой

f(γ(t)). А если вектор v задан как линейный оператор на гладких функциях, то вектор df(v) задается как оператор

df(v)(g) = v(g ◦ f),

где g C∞(Uf(p)).

Условие, что f — иммерсия (субмерсия) в точке p эквивалентно тому, что дифференциал отображения f в точке p — мономорфное (эпиморфное) отображение. В такой форме иногда бывает удобнее проверять, что f —

иммерсия (субмерсия).

50	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

4. Касательное расслоение и векторные поля

На множестве

[

T X = TpX

p X

можно ввести структуру многообразия следующим образом. Пусть (U, ϕ)

— локальная система координат на многообразии X. Сопоставим касательному вектору в точке p X пару (ϕ(p), v), где v = (v1, . . . , vn) — координаты этого касательного вектора в данной системе координат. В результате получим взаимно однозначное отображение

[

T ϕ : T U = TpX → ϕ(U) × Rn R2n.

pU

Множества T U покрывают T X. Потребовав, чтобы все отображения T ϕ

были гомеоморфизмами, мы зададим на T X структуру топологического пространства. Карты (T U, T ϕ) задают на этом топологическом пространстве структуру многообразия. Многообразие T X называют касательным расслоением многообразия X.

Гладкое отображение f : X → Y индуцирует гладкое отображение df :

T X → T Y (дифференциал отображения f).

Сопоставив касательному вектору v TpX точку p, получим проекцию

π : T X → X. При этом отображение π гладкое.

Векторным полем на многообразии X называется сечение проекции π, т.е. такое отображение v : X → T X, что v(p) — это вектор из TpX.