ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

21

Поскольку dzj = dxj + idyj, dzj = dxj − idyj, тождество 1.1 эквивалентно

∂xj

=

∂zj

+ ∂zj ,

∂yj

= i

∂zj

−

∂zj ,

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

откуда получаем, что

− i∂zj

= 2

+ i∂zj .

∂zj

= 2

∂xj

,

∂zj

∂zj

∂f

1

∂f

∂f

∂f

1

∂f

∂f

Определение 1.10. Комплексное многообразие размерности n называется n-мерным комплексным аналитическим многообразием, если на нем задана комплексная аналитическая структура, т.е. семейство

F = {(Ui, ϕi)}i I пар (Ui, ϕi), где Ui — открытое множество в X, а

ϕi — гомеоморфное отображение Ui на Cn, удовлетворяющее условиям a)–c), в которых вместо дифференцируемости класса C наложено требование голоморфности отображений ϕij.

Последнее требование означает, что если в Uj координаты w1, . . . , wn, а в Ui локальные координаты z1, . . . , zn, то wk = wk(z1, . . . , zn), k = 1, . . . , n — голоморфные функции в ϕi(Ui ∩ Uj).

Пример 1.9. Пространство Cn, а также область в Cn с аналитической структурой, определяемой тождественным отображением Cn на себя, являются n-мерными комплексными аналитическими многообразиями.

Очевидно, комплексно аналитическая структура на 2n-мерном топологическом многообразии однозначно определяет вещественную аналитическую структуру. Для этого достаточно в каждой координатной окрестности комплексные координаты z1, . . . , zn заменить вещественными координатами x1, y1, . . . , xn, yn, где xj = Re zj, yj = Im zj, j = 1, . . . , n. В дальнейшем мы будем n-мерное комплексное аналитическое многообразие одновременно рассматривать и как 2n-мерное вещественное аналитическое многообразие.

22	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Лекция 2 ´

Классические примеры многообразий

Многообразия уровня. Вещественное проективное пространство RPn. Комплексное проективное пространство

CPn, трактовка RP1 как сферы Римана. Римановы поверхности.

Рассмотрим классические примеры многообразий, имеющих разное (из геометрии, комплексного анализа, механики) происхождение.

1. Многообразия уровня

Окружность и сфера, рассмотренные в лекции 1, входят в более широкий класс гладких многообразий — в класс k-мерных поверхностей в

Rn. Опишем стандартный способ задания на них структуры многообразия,

который обеспечивается теоремой о неявных функциях (отображениях).

Пусть f : Rn	→R — гладкая функция, f =				∂f	, . . . ,	∂f	— градиент f.
					∂x1		xn
Для всякого	c		рассмотрим множество уровня функции						f	:
		R

Mc = {x Rn : f(x) = c} .

Утверждение 2.1. Если f ̸= 0 в каждой точке множества Mc, то

Mc — гладкое (n − 1)-мерное многообразие. При этом в окрестности каждой точки P Mc в качестве локальных координат можно выбрать какие-либо (n − 1) декартовых координат (x1, . . . , [j], xn) объемлющего евклидова пространства Rn. Кроме того, Mc — многообразие класса C, если таковым является f, где C = Ck, k N, либо C∞, либо Cω — класс аналитических функций.

Доказательство. Справедливость утверждения непосредственно следует из известной теоремы о неявной функции. Выберем в Mc следующие открытые множества:

∂f

Uj = {x Mc : ∂xj ≠ 0}, j = 1, . . . , n.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

23

Отметим, что Uj могут быть несвязными (см. пример 1.7 из лекции 1). Заметим, что семейство {Uj} покрывает Mc, поскольку f ̸= 0 всюду на Mc.

По теореме о неявной функции в произвольной точке P Mc некоторую переменную xj (номер j определяется условием P Uj) в уравнении f(x) = 0 можно разрешить относительно других переменных, т.е. существует функция xj = ϕ˜j(x1, . . . , [j] . . . , xn), принадлежащая классу C, если f(x) C, график которой в окрестности точки P совпадает с куском UP

поверхности Mc. Таким образом, можно определить гладкое координатное отображение ϕj : UP → Rn−1, заданное как проектирование

ϕj(x) = (x1, . . . , [j] . . . , xn)

на координатное подпространство Rn−1 переменных x1, . . . , [j] . . . , xn. Обратным к ϕj является отображение

ϕj−1(x1, . . . , [j] . . . , xn) = (x1, . . . , xj−1, ±ϕ˜j(x1, . . . , [j] . . . , xn), tj+1, . . . , xn).

Пример 2.1. Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y) = x2 − y2. Ее градиент обращается в нуль лишь в точке (0, 0). Поэтому при c ̸= 0 множество уровня Mc является одномерным многообразием (Разумеется Mc

— гипербола). При c = 0 множество уровня M0 представляет собой пару прямых {y = x} и {y = −x}, тем самым M0 не является многообразием, даже топологическим (см. пример 1.6 из лекции 1).

Утверждение 2.1 легко обобщается на случай поверхностей любых размерностей в Rn. Каждая такая поверхность задается системой уравнений

f1(x1, . . . , xn) = c1 , . . . , fk(x1, . . . , xn) = ck, 1 6 k 6 n.

Набор функций F = (f1, . . . , fk) осуществляет отображение F : Rn → Rk, поэтому множество решений системы можно трактовать как множество уровня Mc отображения F , где c = (c1, . . . , cp):

Mc = {x Rn : F (x) = c} .

∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4

24 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Объектом, обобщающим градиент f на этот случай является матрица Якоби отображения F , а условие нетривиальности градиента f в некоторой точке P Mc для F эквивалентно тому, что ранг матрицы Якоби

∂F = ∂fi ∂x ∂xj

максимален, т.е. равен k.

Утверждение 2.2. Пусть F : Rn → Rk — гладкое отображение, rank ∂F∂x (P ) = k в каждой точке P Mc. Тогда Mc является гладким (n − k)-мерным многообразием. При этом в окрестности каждой точки P Mc в качестве локальных координат можно выбрать какиелибо (n − k) декартовых координат объемлющего евклидова пространства Rn.

Пример 2.2. Пусть F = (f1, f2) : R4 → R2 задается при помощи

f1(x1, x2, x3, x4) = x21 + x22, f2(x1, x2, x3, x4) = x23 + x24

и пусть c = (1, 1). Тогда M(1,1) — поверхность в R4, определяемая уравнениями x21 + x22 = 1, x23 + x24 = 1. Ранг матрицы Якоби

	∂f1	∂f1	∂f1	∂f1		2x1 2x2 0 0
	∂x1	∂x2	∂x3	∂x4
					! =	0 0 2x3 2x4!
	∂f2	∂f2	∂f2	∂f2

отображения F меньше двух только в том случае, когда одна из ее строк нулевая, но точка с такими координатами не лежит на M(1,1). Таким образом, M(1,1) — гладкое двумерное многообразие класса C∞. Заметим, что поскольку уравнения, определяющие M(1,1) зависят каждое от своей группы переменных, множество решений можно представить как декартово произведение решений каждого уравнения в отдельности, т.е. в виде произведения двух экземпляров окружности. Таким образом, это многообразие является двумерным тором.

Аналогично можно определить многообразие уровня Mc для отображения комплексных пространств:

F = (f1, . . . , fk) : Cn → Ck.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

25

	Пусть отображение F голоморфно и ранг матрицы	∂fj	, равен k в точках
		∂zi

Mc. Тогда Mc является (n−k)-мерным комплексным аналитическим многообразием, если определить на нем аналитическую структуру проектированием окрестности каждой точки из Mc на соответствующую (n−k)-мерную координатную плоскость.

2. Вещественная проективная плоскость

Понятие вещественной проективной плоскости (т.е. двумерного проективного пространства) возникло в связи с построением двумерной геометрии, в которой любые две прямые пересекаются. Идея такой геометрии происходит из теории перспективы, созданной художниками XVII века. Суть понятия перспективы состоит в том, что лучи света, исходящие из каждой видимой точки предмета в направлении глаза зрителя, оставляют изображение на сетчатке глаза. Теперь представим себе, что между глазом

S и предметом установлена прозрачная плоская пластинка β.

Каждый луч, направленный от видимой точки P к глазу, пересечет пластинку в одной точке P ′. Совокупность таких точек и даст изображение (перспективу) предмета на холсте или бумаге художника, расположенной в плоскости пластинки β. В частности, если в качестве видимых предметов взять две параллельные прямые в плоскости а (например, рельсы железной дороги), то по мере удаления точек P , Q вдоль этих прямых их изображения P ′, Q′ будут сливаться в одну точку T ′. Тем самым можно считать, что прямые l1 и l2 пересеклись на линии горизонта в некоторой

26	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

точке T . Эта точка не принадлежит созерцаемой глазом S плоскости α, в то время как на β для нее существует изображение T ′. Таким образом, на холсте художника изображения любых прямых пересекаются.

Простейшая реализация такой геометрии осуществима с привлечением пространства R3. Для этого под прямой понимается плоскость в R3, проходящая через нуль. Тогда любые две такие плоскости либо совпадают, либо пересекаются по прямой. Теперь осталось положить, чтобы роль точек проективной плоскости играли прямые, проходящие через начало координат. Довольно трудно представить себе этот геометрический объект. Однако топологическое пространство определяется с точностью до гомеоморфизма, поэтому мы можем рассматривать разные топологические реализации проективной плоскости.

x2

x2

x1

x1	x0
x0

Реализация RP2 в R3

Реализация RP2 на сфере

Каждая прямая, проходящая через нуль, (точка из RP2) задается своим направляющим вектором с точностью до ненулевого множителя. Заметим, что каждая такая прямая пересекает сферу S2, задаваемую уравнением x20 + x21 + x22 = 1, ровно в двух диаметрально противоположных точках, т.е. каждая точка RP2 задается парой диаметрально противоположных точек сферы S2. Проективная плоскость получается из сферы склейкой (отождествлением) диаметрально противоположных точек. Легко видеть, что такое отождествление является гомеоморфизмом.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

27

Указанную склейку можно проводить в два этапа. Спроектируем сначала все точки нижней полусферы { x = 1, x2 < 0} на верхнюю { x = 1, x2 > 0}, получив тем самым верхнюю полусферу. Отождествим теперь диаметрально противоположные точки границы { x = 1, x2 = 0} полусферы и получим одну из топологических реализаций проективной плоскости. Рассмотрим проекцию π верхней полусферы { x = 1, x2 > 0} на плоскость x2 = 0, π : (x0, x1, x2) → (x0, x1, 0). Указанная проекция является гомеоморфизмом полусферы и круга x20 + x21 6 1. Это означает что, проективную плоскость можно мыслить как круг, у которого отождествлены противоположные точки его границы.

x2

b

a

	a
x1	b
		Реализация
x0
Реализация RP2 на полусфере	RP2	на	круге

Таким образом, проективная плоскость является двумерной поверхностью, причем ясно, что эту поверхность нельзя вложить в пространство R3 без самопересечений. Тем не менее, эта поверхность является гладкой. Более того, далее мы покажем, что проективную плоскость можно наделить структурой двумерного вещественно-аналитического многообразия.

Для этого дадим другое описание RP2. Вспомним, что точка RP2 — это прямая, проходящая через нуль. Тогда векторы x = (x0, x1, x2) и λx задают одну и ту же точку RP2. При этом нужно рассматривать только ненулевые векторы, поэтому, фактически, мы работаем в пространстве R3 без {0}. Отношение

x x′ x = λx′, λ ̸= 0

является отношением эквивалентности и разбивает множество точек R3 \ {0} на непересекающиеся классы. Т.о. точкой проективной плоскости является класс эквивалентности [x]. Сама проективная плоскость определяется

28	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

при этом как фактор проколотого евклидова пространства по указанному отношению эквивалентности:

RP2 := R3 \ {0}/ .

(2.1)

Каждый класс [x] = [(x0, x1, x2)] = {x′ R3 \ {0} : x′ = λx} однозначно определяется любым своим представителем.

Поскольку хотя бы одна из координат x0, x1, x2 отлична от нуля, атлас и координатные отображения на RP2 можно задать следующим образом:

U0	= {[x0, x1, x2] : x0	̸= 0} , ϕ0([x0, x1, x2]) =	x0		, x0		= (y1, y2);
				x1		x2
U1	= {[x0, x1, x2] : x1	̸= 0} , ϕ1([x0, x1, x2]) =	x1		, x1		= (t1, t2);
				x0		x2
U2	= {[x0, x1, x2] : x2	̸= 0} , ϕ2([x0, x1, x2]) =	x2		, x2		= (τ1, τ2).
				x0		x1

Обратные отображения имеют вид:

ϕ−0 1(y1, y2) = [1, y1, y2] ; ϕ−1 1(t1, t2) = [t1, 1, t2] ; ϕ−2 1(τ1, τ2) = [τ1, τ2, 1] .

И, наконец, соотношения соседства между локальными картами на RP2

будут иметь вид:

ϕ

ϕ

◦

ϕ−1

y

, y

ϕ

, y

, y

,

откуда t

1

, t

y2

2) =

= y1

01

=

1

0

( 1

1

([1

1

2

])

1

= y1

2

;

ϕ

ϕ

◦

ϕ−1

y

, y

ϕ

, y

, y

,

откуда τ

1

, τ

y1

2) =

= y2

02

=

2

0

( 1

2

([1

1

2

])

1

= y2

2

;

ϕ

ϕ

◦

ϕ−1

t

, t

ϕ

t ,

, t

,

откуда τ

t1

, τ

1

.

12

=

2

1

( 1

2) =

1

([ 1

1

2

])

1

= t2

2

= t2

Все соотношения соседства — вещественно-аналитические функции, и значит, проективная плоскость есть вещественно-аналитическое многообразие.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

29

3. Вещественное и комплексное проективное пространство

Вещественное проективное пространство RPn размерности n является обобщением проективной плоскости и определяется аналогично.

На множестве Rn+1 \ {0} введем отношение эквивалентности:

x x′ x пропорционально x′, т.е. λ R \ {0}, такое, что x = λx′.

Определим вещественное проективное пространство как факторпространство

RPn := Rn+1 \ {0}/ .

(2.2)

Точки пространства RPn определяются своими представителями x Rn+1 \ {0} и обозначаются [x]. Координаты (x0 : x1 : · · · : xn) называются однородными координатами на проективном пространстве.

В RPn определяется n + 1 координатных окрестностей:

Uj = {[x] RPn : xj ̸= 0}, j = 0, 1, . . . , n.

Любую такую окрестность можно отобразить на Rn при помощи гомеоморфизма

ϕj : Uj → R

,

ϕj([x]) = t

=

xj , . . . ,

xj

,

xj

, . . . , xj

R

.

n

(j)

x0

xj−1

xj+1

xn

n

Ясно, что это отображение не зависит от выбора представителя класса [x]. Определим, к какому классу принадлежат функции перехода

ϕij = ϕj ◦ ϕ−i 1 : ϕi(Ui ∩ Uj) Rnt → ϕj(Ui ∩ Uj) Rnτ .

Пусть, например, i < j, в локальной карте Ui действуют переменные t = (t1, . . . , tn), а в локальной карте Uj — локальные координаты τ = (τ1, . . . , τn). Тогда функции перехода будут иметь вид:

τ

1

=

t1

; . . . ; τ

i−1

=

ti−1

; τ

i

=

1

; τ

i+1

=

ti+1

; . . . ; τ

n

=

tn

.

tj

tj

tj

tj

tj

Соотношения соседства являются аналитическими функциями на ϕi(Ui ∩

Uj), и значит вещественное пространство RPn является аналитическим многообразием размерности n.

30	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Замечание 2.1. Проективное пространство компактно как фактор компактной сферы.

Комплексное проективное пространство CPn определятся аналогично вещественному проективному пространству RPn. Обозначим через Cn+1

множество Cn+1 \ {0}. На Cn+1 введем отношение эквивалентности:

ξ ξ′ ξ пропорционально ξ′, т.е. λ C \ {0}, такое, что ξ = λξ′.

Определим комплексное проективное пространство как факторпространство

	CPn := Cn+1/ .								(2.3)
Координаты [ξ0 : ξ1	: · · · : ξn] называются однородными координатами на
комплексном проективном пространстве.
В CPn определяется n + 1 локальных карт (Uj, ϕj), j = 0, 1, . . . , n:
Uj = {[ξ] CPn : ξj	̸= 0}, ϕj([ξ]) = ξj , . . . ,		ξj	,	ξj	, . . . , ξj = z		(j)	C	.
		ξ0	ξj−1		ξj+1		ξn		n

Полученное многообразие обозначается CPn и называется комплексным проективным пространством размерности n.

Обозначим z = z(i), w = w(j). Пусть, например, i < j. Функции перехода

z =

w1

; . . . ; z

i−1

=

wi−1

; z

=

1

; z

=

wi+1

; . . . ; z

=

wn

wj

1

wj

wj

i

wj

i+1

wj

n

аналитические, следовательно построенное многообразие является комплексным аналитическим многообразием.

Топологическую реализацию комплексного проективного пространства также можно построить, отождествляя некоторые точки вещественной сфе-

ры.

А именно, комплексное проективное пространство CPn получается

	n
из сферы S2n+1 = i=1 |ξi|2 = 1 отождествлением точек ξ и eiϕξ.
Действительно,	в классе эквивалентности вектора		ξ	= (ξ0, . . . , ξn) =
	P
				̸
0 можно выбрать	представителя, лежащего на S2n+1: единичной сфере
|ξ0|2 + · · · + |ξn|2	= 1 ( для этого	достаточно вектор		ξ умножить на