ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии				31
P	|ξi|2	−1/2	. После этого вектор ξ еще можно умножать на числа
λ = n

i=1

вида eiϕ, по модулю равные единице, оставаясь при этом в том же классе. Таким образом, каждой точке сферы S2n+1 ставится в соответствие ее класс эквивалентности в CPn. Прообразом каждой точки из CPn при этом отображении является окружность — сечение сферы S2n+1 комплексной прямой, проходящей через ξ и начало координат в Cn+1

4. Проективная прямая CP1 как сфера Римана

Докажем, что CP1 можно трактовать как сферу Римана C = C {∞}. Окрестностями бесконечности в C служат внешности кругов, включая ∞:

U∞ = |z| > R {∞}.

Точка, соответствующая северному полюсу сферы N и есть бесконечность. Координатные отображения устроим как стереографические проекции на плоскости переменного z и переменного w из северного и южного полюсов соответственно. Пусть z = x + iy, w = u + iv.

Ввиду подобия треугольников, имеем |z| = |w1|. Если ϕ = arg z, а ψ = arg w, то ϕ = −ψ, откуда следует, что z = w1 , т.е. что функция перехода такая же, как для проективного пространства CP1.

С другой стороны, сфера Римана — это простейшее одномерное компактное комплексное аналитическое многообразие.

32	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

5. Римановы поверхности

Определение 2.1. Римановой поверхностью называется любое комплексное аналитическое многообразие комплексной размерности 1.

Первоначально под римановой поверхностью понимался объект, на котором однозначна некоторая исходно заданная в области из C многозначная функция.

Пример 2.3. Рассмотрим F (z) = √z, т.е. двузначную функцию F (z) =

√r eiϕ2 комплексного переменного z = reiϕ. Возьмем два экземпляра комплексной плоскости

C1 = {z = reiϕ : 0 6 r < ∞, 0 6 ϕ < 2π};

C2 = {z = reiϕ : 0 6 r < ∞, 2π 6 ϕ < 4π}.

Рассмотрим сужения

f1(z) = F (z)|C1 = reiϕ2 , 0 6 ϕ < 2π

iφ+2π

f2(z) = F (z)|C2 = re 2 , 0 6 φ = ϕ − 2π < 2π.

Так как на комплексной плоскости точки z с аргументами ϕ и φ совпадают, то f1(z) = −f2(z). При этом f1(z) и f2(z) являются однозначными функциями на своих экземплярах C1 и C2 с разрезами вдоль положительной вещественной полуоси.

"Склеим" берега одного знака, так, как это показано на рисунке (в четырехмерном пространстве это можно сделать без самопересечений). На полученном геометрическом объекте функция F (z) уже будет однозначной.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

33

Экземпляры плоскостей C1 и C2 лучше интерпретировать как сферы Римана с разрезами.

Склеивая сферы Римана, как показано на рисунке, получим объект, гомеоморфный сфере.

Итак, римановой поверхностью функции F (z) = √z является сфера Римана, т.е. комплексное одномерное аналитическое многообразие.

p

Пример 2.4. Рассмотрим F (z) = z(z2 − 1). Докажем, что риманова поверхность этой функции есть тор. Так как корень квадратный, то берем два экземпляра сферы Римана. Разрезы сделаем так, чтобы на полученных множествах функция допускала выделение однозначных ветвей.

Обходя одну точку, получаем изменение знака. Но при обходе двух точек знак меняется на противоположный два раза, т.е. сохраняется. Перевернув одну сферу и склеив по одноименным берегам разрезов, получим тор.

Теорема 2.1. Любая ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с конечным числом ручек, а неориентируемая — сфере с конечным числом вырезанных кружков, вместо которых вклеены листы Мебиуса.

34	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

6.Топологическое произведение многообразий

Вдекартовом произведении X × Y топологических пространств естественным образом вводится топология, а именно, открытыми будут любые объединения произведений U × V, где U и V — открытые множества соответственно в X и Y .

Если X и Y являются многообразиями размерностей m и n соответственно, то их декартово произведение X × Y будет многообразием размерности n + m. Координатными картами на X × Y будут являться произ-

ведения карт UX × UY , а координатными отображениями — отображения

ϕ : UX × UY → Rn+m, ϕ(P ) = (ϕX, ϕY ).

Например, вещественный n-мерный тор T n = S1 × . . . × S1, боковую по-

верхность цилиндра Π = S

× R , само

|

}R × . . . × R

{zR

=

1

1

n раз

1

1

пространство

n

|

{z

}

n

раз

можно рассматривать как декартовы произведения многообразий. Все они являются вещественно аналитическими многообразиями, поскольку таковыми являются S1 и R1.

Если на многообразиях Z и W определены комплексно аналитические структуры, то аналогичным образом определяется комплексно аналитическая структура на их декартовом произведении Z × W .

Из популярных произведений комплексных аналитических многообразий упомянем произведение n экземпляров сферы Римана

Cn = C × . . . × C,

| {z }

n раз

которое называется пространством теории функций.

Кроме того, часто рассматриваются произведения любых проективных пространств CPn1 × · · · × CPnk .

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

35

Лекция 3 ´

Разбиение единицы и теорема Сарда

Функция "шапочки"; склейка разбиения единицы с помощью

"шапочек". Теорема Сарда.

1. Формулировка теоремы о разбиении единицы

Определение 3.1. Открытое покрытие {Uα} топологического пространства X называется локально-конечным, если любая точка X

имеет окрестность, пересекающую лишь конечное число элементов Uα.

Напомним, что замыкание множества точек x X, в которых f(x) ̸= 0

называется носителем функции f и обозначается supp f. Здесь мы докажем следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть X — гладкое многообразие размерности n со счетной базой топологии, {Uα} — произвольное открытое покрытие X. Тогда для любого покрытия {Uα} открытыми множествами для многообразия X существует семейство C∞ — функций {ϕi}, такое, что:

P

1) все ϕi всюду неотрицательны, т.е. ϕi > 0, и ϕi ≡ 1;

i

2)supp ϕi Ui;

3)семейство носителей {supp ϕi} локально-конечное.

Свойство 2) означает, что данное разбиение единицы подчинено покрытию {Uα}. Свойство 1) подчеркивает разбиение единицы в сумму слагаемых, а свойство 3) обосновывает корректность суммы в свойстве 1). Действительно, оно означает, что для любой точки x X существует U(x), пересекающаяся с конечным числом множеств supp ϕi. Таким образом, в каждой точке существует лишь конечное число функций ϕi, отличных от нуля.

36	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

2. Функция шапочки и вспомогательные утверждения

Для доказательства теоремы 3.1 нам потребуются следующие две леммы.

Лемма 3.1. Пусть K Rn — компакт и U — открытое множество в

Rn, содержащее K. Тогда на Rn существует неотрицательная функция

ϕ класса C∞, такая, что ϕ(x) > 0 для x K и supp ϕi U.

Доказательство леммы 3.1. Рассмотрим функцию
			e−	1	,	x < 1;
		η(x) =		1−x 2			(3.1)
			0,			x > 1.
Функция		называется "шапочкой", поскольку ее график для
	η(x)						n = 2

очень напоминает шапку. Носитель функции η(x) — это замкнутый шар

p

{x = x21 + · · · + x2n 6 1} в Rn.

1

−1	x
	1

Шапочка, n = 1

В курсе математического анализа доказывается, что η(t) — функция класса C∞ на R, в том числе, она гладкая и в точках ±1. Для Rn идея доказательства состоит в замене переменных t → x 2 и рассмотрении η(x)

как композиции гладких функций. Пусть

δ = ρ(K, ∂U) = inf x − y .

x K y ∂U

Тогда для любой точки a K определим функцию

a		δ/2
ϕ	(x) = η	x − a	.

Bδ/2

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

37

Ясно, что функции ϕa — это шапочка над шаром с центром в точке a и

радиусом δ/2.

S

Семейство открытых шаров покрывает компакт K. Поскольку

a K

K — компакт, мы можем выделить из этого покрытия конечное подпокрытие K, т.е. существует конечное число N центров aj K, таких, что

N

[

K Bδ/2(aj).

j=1

Теперь уже ясно, что искомую функцию ϕ(x) можно определить следующим образом:

N

X

ϕ(x) = ϕaj .

j=1

η(x)

1

y

x = 1

x

Шапочка, n = 2

Лемма 3.2. Для многообразия X со счетной базой и любого его открытого покрытия {Ui} существует не более чем счетное локальноконечное открытое покрытие {Vj} со свойствами:

a)Vj Ui для некторого i = i(j);

b)Vj лежит в одной из координатных окрестностей многообразия X.

38	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Очевидно, что свойство a) означает, что Vj является измельчением покрытия {Ui}.

Доказательство леммы 3.2. Пользуясь существованием счетной базы, мы можем указать счетное покрытие {Vj′} со свойствами a) и b) (например, в качестве {Vj′} можно взять счетный базис топологии). С помощью {Vj′} покрытия будем строить локально-конечное покрытие {Vj}.

Построим последовательность j1, . . . , jm, . . .целых чисел и последовательность компактов K1 K2 . . . по индукции следующим образом. Пусть если j1 = 1, то K1 = V 1. Это база индукции. Предположим, что последовательность j1, . . . , jm−1 и последовательность K1 . . . Km−1 построены. Тогда в качестве jm выберем наименьшее целое число среди чисел, больших, чем jm−1, со свойством:

	jm
Km−1	j[
	Vj′	(3.2)
	=1

а в качестве Km возьмем

jm
j[			(3.3)
Km = Vj′.
=1

Ясно, что мы получаем вложения и ясно, что эта расширяющаяся последовательность компактов K1 . . . Km . . . образует покрытие многообразия X:

∞

[

Km = X.

(3.4)

m=1

Положим теперь

Vj′, j 6 j2;

Vj =

Vj′\Km−1, jm < j 6 jm+1 для m ≥ 2.

Компакты при образовании Vj выбрасываются через раз.

Чтобы доказать, что {Vj} — покрытие, достаточно доказать, что семейство {Vj} удовлетворяет свойствам a), b). Для этого достаточно доказать,

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

39

что

jm+1 jm+1

[[

Vj =	Vj′, m = 1, 2, . . . .	(3.5)
j=1	j=1

Легко видеть, что при m = 1 равенство (3.5) выполняется. Далее будем действовать по индукции. Пусть

jm	jm
[	[
Vj =	Vj′.
j=1	j=1

Тогда из индуктивного предположения и определения Vj следует, что

jm	Vj!	jm+1	Vj!	=	jm	Vj′!	jm+1	Vj′\Km−1	!.
[		[ [			[		[ [
j=1		jm+1			j=1		jm+1

По свойству (3.2) последнее объединение равно

jm+1

[

Vj′.

j=1

Осталось показать (сделайте это самостоятельно), что построенное покрытие является локально-конечным.

3. Доказательство теоремы 1

Будем исходить из произвольного открытого покрытия {Ui}. По лемме 2 построим счетное покрытие {Vi}, которое является локально-конечным измельчением {Ui}:

Vj V j Ui, i = i(j).

Согласно лемме 3.2 по покрытию {Vi} построим локально-конечное измельчение Hk со свойством

Hk Hk Vj V j Ui.

При этом мы предполагаем, что выполняется условие b) леммы 3.2, т.е. что каждое из множеств Hk, Vj лежит в пределах одной координатной окрестности.

40	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

К компакту K = Hk и открытому множеству U = Vj, лежащим в одной координатной окрестности в Rn применим лемму 3.1, т.е. построим функцию

ϕk C∞(Vj) : ϕk > 0, ϕk|Hk > 0, supp ϕk Vj.

Ясно, что функцию ϕk можно продолжить на всё многообразие X с сохранением последних двух условий и так, чтобы ϕk C∞(X).

Рассмотрим функции

ψk′ = ∞ϕk

P

ϕν

ν

Здесь ν пробегает некоторое счетное множество. Так как покрытие {Uk}

локально-конечно, то сумма в знаменателе корректно определена и отлична от нуля и определена, поскольку в каждой точке хотя бы одна из ϕν строго больше нуля.

Ясно,что ψk′ Vj, j = j(k).

Рассмотрим отображение r : k → I, из множества индексов K в множество индексов I, полагая r(k) = i, где i : Hk Ui. Здесь K — индексы, применяемые к {Hk}, их счетное множество, а I — индексы, которыми индексируется первоначальное множество Ui — их несчетное количество. По построению локально-измельченного покрытия {Hk} такое отображение всегда возможно.

Заметим, что

X

ψk′ ≡ 1.

k

Это означает, что какое-то разбиение единицы мы уже имеем. Но требуется, чтобы разбиение было подчинено покрытию Ui. Определим теперь

ψi ≡	k:rX(k	′.
	ψk
	)=i

Это и есть искомое семейство функций. В самом деле,

X	X X	X
ψi =	i k:r(k)=i	ψk′ ≡ ψk′ ≡ 1.
i		k