ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

141

Учитывая это, а также пользуясь Леммой 19.3, получаем:

x (V ) f, x = 0, f V ,

	что равносильно	\	\
	x
		f−1(0) x	f−1(0) x V.
		f V	f :f−1(0) V

Лемма 19.4 доказана.

Доказательство леммы 19.1. Докажем прямую импликацию " ". Пусть p-цепь cp принадлежит Bp , т.е. cp = ∂cp+1 и f Zp. Тогда по определению сопряженного оператора ∂ ′ получаем:

f, cp = f, ∂cp+1 = ∂ ′f, cp+1 = 0, cp+1 = 0,

и импликация " " доказана.

Пусть теперь f, cp = 0 для любого f из Zp. В Лемме 19.4 положим,

V = Bp, E = Cp. Заметим, что в силу цепочки эквивалентностей

fBp f, cp = 0 , cp Bp f, ∂cp+1 = 0 , cp+1

∂ ′f, cp+1 = 0 , cp+1 f Zp,

справедливо равенство: Bp = Zp. Из Леммы 19.4 следует, что (Bp ) = Bp, а тогда из последних двух равенств получаем, что Zp = Bp . Но это означает, что ортогональными к Zp могут быть лишь цепи cp Bp , т.е. если для фиксированного cp действие f, cp = 0 при любом f из Zp, то cp

принадлежит Bp . Лемма 19.1 доказана.

4. Доказательство первой части теоремы двойственности

Как и в гомологиях, мы считаем функционалы f1 и f2 когомологичными (пишем f1 f2), если f1 − f2 = ∂ ′f.

Действия когомологичных функционалов на циклах cp Zp совпадают:

f1, cp − f2, cp = f1 − f2, cp = ∂ ′f, cp = f, ∂cp = 0.

142 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

По усиленной форме теоремы де Рама:

Zp Bp ZDRp BDRp ,

каждый коцикл f Zp когомологичен некоторой дифференциальной форме. Поэтому если цепь cp ортогональна ZDRp , то она ортогональна всей абстрактной группе Zp. Отсюда, по Предложению 19.1 получаем достаточность свойства 1), следовательно, и все свойство 1) Теоремы 19.3 доказано.

В вопросах интегрирования чаще приходится использовать цепи с целочисленными коэффициентами. Выясним, как изменится свойство 1) в этом случае, для чего напомним несколько определений.

Определение 19.6. Говорят, что цикл zp Zp (X, Z) слабо гомологичен нулю, если существует целое n, такое что n · zp гомологичен нулю, то есть n · zp = ∂cp+1. Слабо гомологичные нулю циклы порождают подгруппу группы Hp (X, Z), которая называется подгруппой кручения. Фактор-группа

Hp (X, Z) подгруппа кручения называется группой слабых гомологий X.

Теперь рассмотрим следующее свойство:

1′) цикл zp Zp(X, Z) слабо гомологичен нулю тогда и только тогда, когда Rzp ωp = 0 для любой формы ωp из ZDRp .

Доказательство. Прямая импликация " " очевидна: как и для 1) пользуемся формулой Стокса.

Докажем импликацию " ". Если для любой формы ωp из ZDRp интеграл

R

zp ωp = 0, то согласно свойству 1) имеем: zp = ∂cp+1, где cp+1 принадлежит

Cp+1(X, R). Покажем, что на самом деле cp+1 принадлежит Cp+1(X, Q). Действительно, равенство zp = ∂cp+1 означает, что zp представим в виде:

zp = Xmjσj(p) = ∂ Xrk σk(p+1) , mj Z, rk R. (19.2)

Посмотрим на (19.2) как на соотношение, при котором mj Z заданы, а rk требуется найти. В силу того, что оператор ∂ дает только коэффициенты

±1 при взятии границ симплексов, (19.2) равносильно системе уравнений

∆ Кратное интегрирование. Когомологии						143
A	r...1		=	m...1		,
	rs			mq

где коэффициенты матрицы A равны ±1. Так как по доказанному последняя система имеет решение в классе вещественных коэффициентов, то по теореме Кронекера–Капелли и правилу Крамера она имеет и рациональное решение r = (r1, ..., rs). Таким образом, zp = ∂cp+1, где cp+1 Cp+1(X, Q). Но тогда n · zp = ∂c′p , где n — максимальный знаменатель рациональных чисел r1, ..., rs, и, тем самым, c′p = n · cp Cp+1(X, Z).

Свойство 1′) доказано.

Тема 6. Когомологии Чеха со значениями в пучке и вычисление некоторых интегралов

Лекция 20 ´

Пучки

Происхождение теории пучков. Подходы Чеха и Дольбо. По-

нятие пучков и основные операции над ними.

1. Происхождение: задача Миттаг-Леффлера

Пусть S – риманова поверхность, необязательно компактная, p –

точка на ней, z – локальная координата с началом в p. Главной частью

n

функции в точке p называется часть P akz−k ряда Лорана с отрицатель-

k=1

ными степенями. Если Op – локальное кольцо голоморфных функций и

Mp – поле мероморфных функций в окрестности точки p, то главная часть – это просто элемент факторгруппы Mp/Op. Задача МиттагЛеффлера состоит в том, чтобы определить, существует ли для заданного дискретного множества {pn} точек поверхности S и главных частей в точках pn мероморфная на S функция f, голоморфная вне {pn}, главные части которой во всех точках pn совпадают с заданными. Локально ответ на этот вопрос очевидным образом положителен, так что проблема состоит в том, чтобы перейти от локальных решений к глобальным. Изложим два подхода, каждый из которых приводит к теории когомологий.

Подход Чеха. Выберем такое покрытие U = {Uα} поверхности S открытыми множествами, что каждое из Uα содержит не более одной точки pn, и пусть fα – мероморфная функция на Uα, решающая задачу в Uα. Положим

fαβ = fα − fβ O(Uα ∩ Uβ).

В Uα ∩ Uβ ∩ Uγ имеем fαβ + fβγ + fγα = 0.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

145

Решение задачи глобально равносильно нахождению таких функций

{gα O(Uα)}, что

fαβ = gβ − gα в Uα ∩ Uβ.

Если такие gα заданы, то f = fα + gα – глобально определенная функция, удовлетворяющая требуемым условиям, и обратно. В теории Чеха вводятся группы

{fαβ} : fαβ + fβγ + fγα = 0 = Z1(U, O),

fαβ : fαβ = gβ − gα для некоторых {gα O(Uα)} = B1(U, O),

и припятствием к глобальному решению задачи является первая группа когомологий Чеха

H1(U, O) = Z1(U, O)/B1(U, O).

Подход Дольбо. Как и выше, пусть fα – локальное решение на Uα, и пусть ρα – функция, равнвя 1 в окрестности точки pn Uα и имеющая

P

компактный носитель, содержащийся в Uα. Тогда ϕ = α ∂(ραfα) является

∂-замкнутой (0, 1)-формой на S класса C∞ (ϕ ≡ 0 в окрестности точки pn). Если ϕ = ∂η для некоторой η C∞(S), то функция

X

f = ραfα − η

α

решает поставленную задачу; таким образом, препятствие лежит в группе H∂0,1(S).

2. Пучки

Пусть задано топологическое пространство X.

Определение 20.1. Пучок F на X сопоставляет каждому открытому множеству U X группу F(U), называемую группой сечений F

над U, и каждой паре U V открытых множеств в X гомоморфизм rV,U : F(V) → F(U), называемый гомоморфизмом ограничения. При этом

146	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

должны выполняться следующие условия:

a) для любой тройки U V W открытых множеств

rW,U = rV,U · rW,V ;

b) для любой пары открытых множеств U, V X и сечений σ F(U),

τF(V), таких, что σ U∩V = τ U∩V , найдется такое сечение

ρ F(U V), что ρ U = σ,	ρ V = τ;

c) если σ F(U V) и σ U = σ V = 0, то σ = 0.

Заметим, что в силу соотношения a) можно вместо rV,U (σ) писать σ U . Пусть X – комплексное многообразие. Мероморфная функция f на открытом множестве U X локально задается как отношение двух голоморфных функций, т.е. для некоторого покрытия {Ui} множества U имеем

f Ui = gi/hi, где gi, hi взаимно просты в O(Ui) и gihj = gjhi в O(Ui ∩ Uj). В этом определении неявно использовано свойство факториальности ло-

кального кольца аналитических функций. Мероморфная функция, строго говоря, не является функцией, даже если считать ∞ ее значением: она не определена в точках, где gi = hi = 0. Пучок мероморфных функций на

X обозначается M; мультипликативный пучок мероморфных функций, не равных нулю тождественно, обозначается M .

3. Отображение пучков

α

Отображение пучков F −→ G на X задается набором таких гомоморфизмов {αU : F(U) → G(U)}U X, что для U V X гомоморфизмы

αU и αV коммутируют с отображениями ограничения. Ядро отображения

α : F → G есть пучок ker(α), определенный как

ker(α)(U) = ker(αU : F(U) → G(U)).

легко проверить, что это действительно пучок. Коядро определить сложнее: если положить

coker(α)(U) = G(U)/αU F(U),

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

147

то coker может не удовлетворять перечисленным выше условиям определения пучка.

Пример 20.1. Важным примером такой ситуации является отображение пучков

exp : O → O

√

на C \ {0}, переводящее f O(U) в e2π −1f O (U). Сечение z O (C \ {0}) не лежит в образе группы O(C \ {0}) при отображении exp, но его ограничение на любое стягиваемое подмножество U C \ {0} лежит в образе O(U).

Вместо этого определим сечение пучка coker(α) над U посредством задания открытого покрытия {Uα} множества U вместе с сечениями σα

G(Uα), такими, что для всех α, β

σα Uα∩Uβ − σβ Uα∩Uβ αUα∩Uβ (F(Uα ∩ Uβ));

мы будем отождествлять такие наборы {(Uα, σα)} и {(Uα′ , σα′ )}, если для всех p U и Uα, Uβ′ p найдутся такие V, что p V (Uα ∩ Uβ′ ) и

σα′		V − σβ′	V	αV (F(V)).
		Последовательность			отображений пучков
					α	β
					0 −→ E −→ F −→ G −→ 0

называется точной, если E = ker(β), а G = coker(α); в этом случае говорят также, что E – подпучок в F, а G – факторпучок F по E (он обозначается

F/E). Более общо, последовательность

αn

. . . −→ Fn −→ Fn+1

называется точной, если αn+1 ◦ αn = 0

αn+1

−→ Fn+2 −→ . . .

и последовательность

0 −→ ker(αn) −→ Fn −→ ker(αn+1) −→ 0

точна для всех n. Заметим, что по нашему определению коядра отсюда не следует, что последовательность

αU βU

0 −→ E(U) −→ F(U) −→ G(U) −→ 0

148	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

точна для всех U, а следует только то, что эта последовательность точна в первых двух членах для всех U и что для любого сечения σ G(U) и

любой точки p U найдется такая окрестность V точки p в U, что σ V

лежит в образе βV .

Замечание 20.1. Пусть M N – подпространство и F – пучок на M. Тогда можно "продолжить F нулем" вне M и получить пучок Fe на N, полагая Fe(U) = F(U ∩ M) с очевидными отображениями ограничения. Значит, пучок F можно рассматривать как на M, так и на N.

Пример 20.2. На любом комплексном многообразии последовательность

i exp

0 −→ Z −→ O −→ O −→ 0

точна, где i — очевидное вложение, а exp — экспоненциальное отобра-

√

жение exp(f) = e2π −1f . Эта важнейшая последовательность называется

экспоненциальной последовательностью пучков

Пример 20.3. Пусть X — комплексное многообразие и V X — комплексное подмногообразие. Тогда пучок OV , продолженный нулем вне V , можно считать пучком на X. В этой ситуации последовательность

i r

0 −→ YV −→ OX −→ OV −→ 0,

где i – вложение, а r – отображение ограничения, точна.

Пример 20.4. По обычной лемме Пуанкаре последовательность

0 −→ R −→ C	∞	d	1 d	2	. . .
		−→ A −→ A −→

точна на любом вещественном многообразии.

Пример 20.5. По ¯ лемме Пуанкаре последовательность

∂

	¯	¯
0 −→ Ωp −→ Ap,0	∂	∂
	−→ Ap,1	−→ Ap,2 −→ . . .

точна на любом комплексном многообразии.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

149

Пример 20.6. Пусть M — риманова поверхность. Обозначим через PP

i

факторпучок пучка M по подпучку O −→ M; тогда для открытого под-

множества U M

PP(U) = {(pn, fn)} : {pn} U

—дискретное множество точек, fn Mpn/Opn. Таким образом, задание сечения пучка PP над U равносильно постановке задачи Миттаг-Леффлера для U.

150	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Лекция 21 ´

Когомологии пучков

Коцепи пучков. Когомологии Чеха для пучков. Основная когомологическая последовательность. Тривиальность когомо-

логий для тонких пучков.

1. Коцепи

Пусть F – пучок на X и U = {Uα} – локально открытое покрытие. Положим

C0(U, F) =	Y
	F(Uα),
	α
Y
C1(U, F) =	F(Uα ∩ Uβ),

		α̸=β
		. . . . . . . . .
Cp(U, F) =		F(Uα0 ∩ . . . ∩ Uαp).
α0	=α1̸=...̸=αp
Элемент	̸	Y

σ = {σI F(∩Uik )}, |I| = p + 1

группы Cp(U, F) называется p-коцепью пучка F. Определим кограничный оператор

δ : Cp(U, F) → Cp+1(U, F)

формулой

p+1

(δσ)i0,...,ip+1 =

В частности, для

X

(−1)jσ ˆ |U ∩...∩U . i0,...,ij,...,ip+1 i0 ip

j=0

σ = {σU } C0(U, F) имеем (δσ)U,V = −σU + σV ,

а для

σ = {σU,V } C1(U, F) имеем (δσ)U,V,W = σUV + σV W − σUW .