ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

101

По доказанной теореме 12.2,

g ◦ f = (f ◦ g) = 1Hk(Y )

и, аналогично,

f ◦ g = (g ◦ f) = 1Hk(X).

Таким образом, f и g являются взаимно обратными друг к другу, следовательно, каждый из них индуцирует изоморфизм HDRk (X) HDRk (Y ).

Замечание 13.1. Из этого утверждения и гомотопической эквивалентности звездной области и точки, как следствие, получается теорема Пуанкаре, а из гомотопической эквивалентности сферы и проколотого евклидова пространства следует, что HDRk (Rn) HDRk (Sn−1), k = 0, 1, 2, . . .

3. Гомотопическая эквивалентность сферы и комплексной квадрики

Комплексная квадрика задается уравнением

Q = {z = (z1, . . . , zn) Cn : z12 + · · · + zn2 = 1}

(13.1)

Это множество не является компактным, оно даже не ограничено. В действительных координатах

zj = uj + ivj, j = 1, . . . , n

уравнение Q примет вид:
Q =	u 2 − v 2 = 1				,	(13.2)
		u, v		= 0

p

где u = u21 + · · · + u2n, а u, v — скалярное произведение.

1) Покажем, что Q диффеоморфна множеству Qe, где

Qe = {(x, y) R2n : x = 1, x, y = 0}.

n−1;

102 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Напомним, что диффеоморфизм означает, что существует гладкое взаимно

однозначное отображение f : Q → Qe, обратное к которому также является гладким отображением.

Определим f(x, y) = (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) по правилу:

(u, v) = f(x, y) = x1 · 1 + y 2 1/2, . . . , xn · 1 + y 2 1/2, y1, . . . , yn ,

где (u, v) = (u1, . . . , un, v1, . . . , vn).

Легко проверить, что отображение f−1 осуществляется по правилу

x1 =	u1	, . . . , xn =	un	, y1	= v1 , . . . , yn = vn.
	1 + v 2 1/2		1 + v 2 1/2

Ясно, что f−1 : Q → Qe — диффеоморфизм.

2) Докажем, что многообразие Qe гомотопически эквивалентно Sn−1. Для этого необходимо определить гладкие отображения f : Qe → Sn−1

и g : Sn−1 → Qe, композиции которых гомотопны тождественным отображениям на Qe и Sn−1.

Пусть f — проекция,

f(x, y) = (x), где x = (x1, . . . , xn),

y = (y1, . . . , yn), а g — вложение, осуществляемое по правилу g(x) = (x, 0). Тогда

(f ◦ g)(x) = f(x) ≡ 1S

(g ◦ f)(x, y) = g(x) = (x, 0).

Осталось показать, что композиция (g◦f) гомотопна тождественному отображению на Q.

гомотопию осуществляет, например, следующее отображение:
Ясно, что e
		F : Q × I,		F (x, y, t) = (x, ty).
Очевидно, что	(x, ty)		Qe, если (x, y)			Q. Кроме того,
	F (x, y, 1)e= 1Q,			F (x, e			0) = ( ◦	)(	)	.
						y,	g	f x, y

e

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

103

Итак, мы доказали, что Q диффеоморфна Qe, а Qe гомтопически эквивалентна Sn−1, откуда следует, что n-мерная комплексная квадрика гомотопически эквивалентна (n − 1)-мерной вещественной сфере.

Замечание 13.2. Заметим, что множество Qe можно интерпретировать как касательное расслоение над сферой Sn−1. Например, в случае n = 2 множество Qe можно трактовать как касательное расслоение (цилиндр) с базой окружностью и слоем — прямой.

Выше мы показали, что комплексная квадрика диффеоморфна касательному расслоению Qe над сферой Sn−1 и гомотопически эквивалентна самой сфере Sn−1 .

Справедлив следующий общий факт: любое векторное расслоение над базой M гомотопически эквивалентно базе M.

104	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Лекция 14 ´

Когомологии сферы

Когомологии окружности. Когомологии n-мерной сферы для

n > 2. Когомологии комплексной квадрики.

1. Еще один способ вычисления когомологий окружности S1

Полученные в предыдущих лекциях два факта (лемма Пуанкаре и теорема о совпадении групп когомологий у гомотопически эквивалентных многообразий) не дают нам способов вычисления групп когомологий уже для простейших многообразий, не являющихся областями в Rn, т.е. для которых нет единых локальных координат. Таким простейшим многообразием является окружность и сфера Sn, n > 1.

Ранее уже приводился способ вычисления когомологий одномерной сферы S1, т.е. окружности, в котором мы существенно пользовались существованием единого углового параметра θ на S1. Для более сложных многообразий это уже более затруднительно или невозможно. Поэтому вычислим когомологии окружности другим способом, путем ее покрытия двумя ко-

ординатными окрестностями.

В следующем пункте мы аналогичным способом вычислим когомологии сферы любой размерности. В целом вычисления в настоящей лекции служат прототипом общей техники Майера-Вьеториса вычисления когомологий объединения многообразий, которая будет изложена в следующей

лекции.		объединение U V , где U = S1 \ {N}, а V =
Представим S1	как
S1 \ {S}. Каждое	U и	V гомеоморфно интервалу в R1, следовательно,

все их когомологии, кроме H0(U) = H0(V ) R, тривиальны в силу леммы Пуанкаре.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

105

Нас интересует H1(S1). Поскольку H1(U) = H1(U) 0, имеем

dϕU на U

ω =

dϕV на V .

Функции ϕU и ϕV не склеиваются до единой гладкой функции. На пересечении U ∩V они не могут совпадать, в противном случае на окружности существовала бы точная форма ω и H1(S1) была бы тривиальна, что, конечно, неверно.

Рассмотрим разность ϕ = ϕU −ϕV и заметим, что на пересечении U ∩V

dϕ = d(ϕU − ϕV ) = 0

в силу того, что dϕU = dϕV = ω. Таким образом,

ω−→ ϕ Z0(U ∩ V ).

Если взять другую форму ω, ей когомологичную, то при этом сопоставлении тоже получится форма, ей когомологичная. В частности, если ω = dϕ

— точная форма, то

ω−→ 0 Z0(U ∩ V ).

Таким образом, корректно определено отображение групп когомологий

H1(S1) −→ H0(U ∩ V ).

Это отображение не является изоморфизмом. Чтобы изучить его подробнее, используем разбиение единицы, подчиненное покрытию (U, V ).

Функция ϕ — локально постоянная, поскольку пересечение U ∩ V состоит из двух несвязных компонент, она может быть равной константе c1

на одной из компонент и c2 ̸= c1 — на другой. Таким образом, исходной форме ω мы поставили в соответствие точку (c1, c2) R2. Это соответствие не однозначное, поскольку любые две первообразные на множествах U и V отличаются на константу. Поэтому, на самом деле, форме ω ставится в соответствие множество чисел вида (c1 + t, c2 + t), t R. В частности,

106	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

всем глобально точным формам ω = dψ ставится в соответствие диагональ (t, t) R. Ясно, что фактору Z1(S1)/B1(S1) ставится в соответствие множество прямых в R2, параллельных (t, t).

Докажем теперь, что для каждой пары (c1, c2) существует на окружности форма ω степени 1, такая, что ω → (c1, c2).

Лемма 14.1. Для любой c = (c1, c2) R существует ω Z1(S1), такая, что ω → c.

Доказательство. Пусть ρU , ρV — гладкое (класса C∞) разбиение единицы, подчиненное покрытию окружности (U, V ), тогда функции c · ρU , c · ρV

также гладкие и определены на всей S1. Рассмотрим две дифференциальные формы:

ωV = d(c · ρU ),

ωU = −d(c · ρV ).

Функция c·ρU гладкая в V , следовательно ωV C∞(V ), аналогично, функция c · ρV гладкая в U, и значит ωU C∞(U).

На пересечении U ∩ V эти функции совпадают:

ωV − ωU = d(c · ρU ) − d(−c · ρV ) = d(ρU + ρV ) · c = dc = 0.

Таким образом, пара дифференциальных форм (ωU , ωV ) составляют единую дифференциальную форму ω, поскольку ω = d(c ·ρU ) и ω = −d(c ·ρV ) соответственно на U и на V , и при указанном соответствии ω сопоставляется разность c · ρU − (−c · ρV ) = c на U ∩ V .

Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между H1(S1)

и фактором R2 по диагонали (t1, t2). Ясно, что этот фактор изоморфен R. Таким образом, H1(S1) R.

2. Когомологии сферы Sn

Все сферы Sn — это простейшие многообразия, в том смысле, что они не вкладываются в Rn и покрываются всего двумя областями, диффеморфными Rn. Это позволяет применить для вычисления когомологий сферы произвольной размерности метод рассуждения, примененный выше для окружности.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

107

Теорема 14.1. Когомологии сферы:

H0(Sn) Hn(Sn) R

Hp(Sn) 0, p ̸= 0, n.

Доказательство. Представим сферу Sn как объединение двух открытых множеств U V , где

U = Sn \ {N} и V = Sn \ {S}.

Очевидно, U, V гомеоморфны Rn, а их пересечение U ∩ V гомеоморфно

Rn \ {0}.

Пусть {ρU , ρV } — разбиение	единицы,				соответствующее	покрытию
{U, V } сферы Sn.
Определим гомоморфизм
d : Hp−1(U ∩ V ) −→ Hp(Sn)						(14.1)
следующим образом. Для формы ϕ Zp−1(U ∩ V ) положим
d ϕ =	d(ρU · ϕ)				на V,	(14.2)
d(	−	ρV	·	ϕ)	на U.

Заметим, что ϕ регулярна (гладкая) лишь в U ∩V , но поскольку ρV ≡ 0

вблизи N, то ρU ·ϕ — гладкая форма на V , соответственно, ее дифференциал — также гладкая на V форма. Аналогично d(−ρV · ϕ) — гладкая форма на U.

Покажем, что d ϕ — гладкая форма на U V . Для этого достаточно доказать, что

d(ρU · ϕ) = d(−ρV · ϕ) на U ∩ V.

Это равенство равносильно

d[(ρU + ρV ) · ϕ] = 0,

очевидно выполняющемуся, т.к. ρU + ρV ≡ 1, а ϕ — замкнута.

108	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Поскольку по определению d ϕ локально точна, то она замкнута: d ϕ Zp(Sn). Покажем, что если ϕ точна в U ∩V , то d ϕ точна в Sn, тем самым, гомоморфизм 14.1 будет обоснован. Пусть ϕ = dψ, ψ Ωp−2(U ∩ V ).

Очевидно, форма

d ϕ = d (dψ) =		d(ρU · dψ) на V,
	d( ρV			dψ) на U
есть дифференциал		−	·

	d		−dρU ψ			на V,
			dρV		ψ	на U
глобально определенной	формы на			S	n.

Лемма 14.2. Оператор d имеет следующие свойства:

a) d − инъекция, если p > 2; b) d − сюръекция, если p > 1.

Доказательство. a) Пусть d ϕ — точная форма на Sn. Докажем, что и ϕ точна (при p > 2).

Итак, пусть d ϕ = dϕ1, где ϕ1 Ωp−1(Sn). По определению d имеем

d(ρU ϕ − ϕ1) = 0 на V, d(−ρV ϕ − ϕ1) = 0 на U.

Но т.к. U и V гомеоморфны Rn, то по лемме Пуанкаре при p − 1 > 1

(т.е. при p > 2) замкнутые формы ρU ϕ − ϕ1 и ρV ϕ + ϕ1 точны на V и U

соответственно:

ρU ϕ − ϕ1 = dψV	на V,
ρV ϕ + ϕ1 = dψU	на U.

Складывая эти равенства на U ∩ V , получим

(ρU + ρV )ϕ = d(ψV + ψU ) или ϕ = d(ψV + ψU ),

т.е. что ϕ точна в U ∩ V .

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

109

b) Пусть p > 1. Рассмотрим произвольную форму

ω Zp(Sn) = Zp(U V ).

Т.к. U и V гомеоморфны Rn, то при p > 1 форма ω точна в U и V :

ω = dϕV

на V,

(14.3)

dϕU

на U.

Форма ϕ := ϕV − ϕU

замкнута в

U ∩ V

. Покажем, что

[d ϕ] = [ω]

, т.е.

что ω − d ϕ точна на Sn. По определению 14.2 и представлению 14.3

ω

−

d ϕ =

−d(ρU (ϕV − ϕU )) + dϕV

на V

d(ρU (ϕV

−

ϕU )) + dϕU

на U

(1 − ρU )ϕV + ρU ϕU

= d

(1 − ρV )ϕU + ρV ϕV

на V

на U

	= d	ρV ϕV + ρU ϕU	на V
		ρU ϕU + ρV ϕV	на U
Заметим, что последнее	выражение есть дифференциал от глобальной фор-

мы на U V = Sn.

Итак, по доказанному утверждению гомоморфизм 14.1 является изоморфизмом при p > 2.

Теперь уже легко доказать теорему. Для p > 2 имеем

Hp(Sn) Hp−1(U ∩ V ) Hp−1(Rn \ {0}) Hp−1(Sn−1).

Следовательно, для 2 6 p 6 n

Hp(Sn) Hp−1(Sn−1) · · · Hp−1(Sn−p+1).

Если p = n, то получаем Hn(Sn) H1(S1) R.

Если 2 6 p < n, то Hp(Sn) H1(Sk), k > 2.

Докажем, что

H1(Sk) 0, k > 2.

110 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

В самом деле, пусть ω Z1(Sk) и Sk = U V . Имеем ω = dF1 в U, ω = dF2 в V . Но в U ∩ V имеем F1 − F2 = const, следовательно функция

F2 = F1 + const — гладкая всюду на Sk, так что ω = dF2 —точная форма. Итак, H1(Sn) 0 если n > 2 и Hp(Sn) 0, если 1 6 p 6 n.

Теорема доказана.

3.Когомологии комплексной квадрики

Впредыдущей лекции было показано, что комплексная квадрика

Q = {z Cn : z12 + · · · + zn2 = 1}

гомотопически эквивалентна вещественной сфере Sn−1. Из совпадения когомологий у гомотопически эквивалентных многообразий вытекает

Теорема 14.2. Когомологии комплексной квадрики:

R, k = 0, n − 1;

Hk(Q)

0, k ̸= 0, n − 1.