ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

191

с другим голоморфным собственным отображением

g= (g1, . . . , gn) : Cn → Cn.

Вслучае, когда отображения f и g совпадают, интеграл (27.2) равен сумме локальных вычетов подынтегральной формы по всем нулям отображения

f в полиэдре Πg. На самом деле в этом случае остов ∆g гомологичен сумме локальных циклов, разделяющих полярные дивизоры Fj = {fj = 0}, j = 1, . . . , n, т.е. циклов Γα, которые участвуют в определении локального вычета. Ввиду многомерной версии леммы Жордана в вопросе о представлении интеграла (27.2) суммой локальных вычетов важно, чтобы полиэдр

Πg был согласованным с семейством гиперповерхностей {Fj}.

Кроме того, в случае неограниченных полиэдров кроме условия согласованности полиэдра и семейства полярных дивизоров, надо требовать достаточно быстрого убывания подынтегральной формы в Πg, подобно тому как это делается в классической лемме Жордана, где в качестве Πg выступает полуплоскость.

Первоначально заданный интеграл (27.1) можно привести к каноническому виду (27.2) следующим образом. Вертикальное подпространство интегрирования γ + iRn можно интерпретировать как остов некоторого полиэдра, причем в случае n = 1 оно может быть быть остовом лишь двух полиэдров — левой и правой полуплоскости с разделяющей линией γ + iR. Однако в случае n > 1 это подпространство может служить остовом бесконечного числа полиэдров и наша задача состоит в том, чтобы разбить все множество полярных гиперплоскостей в (27.1) на n дивизоров, и одновременно подклеить к γ + iRn полиэдр, согласованный с этим семейством дивизоров. В качестве полиэдров мы будем брать следующие

Πg = {z Cn : Regj(z) < rj, j = 1, . . . , n},

где gj(z) — линейные функции с вещественными коэффициентами. Ясно, что Πg = π+iRn, где π — ортант в вещественном подпространстве Rn Cn, определенный неравенствами gj(x) < rj, где x = Re z. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простейший пример двойного интеграла

192		И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆
Меллина–Барнса:	Z n	Γ(z1)Γ(z2)Γ(1 − z1 − z2)t1−z1t2−z2dz1dz2,
Φ(t) = (2πi)2			(27.3)
1

γ+iR

где γ — точка из треугольника, образованного на плоскости двумя координатными прямыми и прямой x1 + x2 = 1. Вещественный срез полярных дивизоров изображен на рис., где вертикальные прямые — это полюсы z1 = −m1 для Γ(z1), горизонтальные — полюсы z2 = −m2 для Γ(z2) и

наклонные — полюсы 1 − z1 − z2 = −m2 для Γ(1 − z1 − z2). Рассмотрим три сектора π1, π2, π3, примыкающих к точке γ; соответственно, каждый из полиэдров Πj = π + iR2 в качестве своего остова будет иметь γ + iR2. Из рисунка видно, что дивизоры полюсов для Γ(z1) и Γ(z2) согласованы с полиэдром Π1, и, например, дивизоры полюсов для Γ(z1) и Γ(1 − z1 − z2)

согласованы с полиэдром Π2.

	x2
	γ + iR2
π
γ	π + iR2
x1
Проекция полиэдра Π на
вещественное подпространство	Полиэдр Π

Вычислим интеграл (27.3) как сумму локальных вычетов в полиэдре Π1. В точках (z1, z2) = (−m1, −m2) функция Γ(1 − z1 − z2) голоморфна, а Γ(z1)

имеет вид h(z1) , где h(z1) — голоморфная в окрестности z1 = −m1 функция

z1+m1

такая, что h(−m1) = (−1)m1 . Аналогично, для Γ(z2). Таким образом, по

m1!

формуле локального вычета в простых полюсах имеем

res ω =

(−m1,−m2)

=	h(−m1)h(m2)Γ(1 + m1 + m2)	t m1t m2	= (	1)|m|	|m|!	t m1t m2	,
	m1!m2!	1 2		−	m1!m2! 1 2

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

193

где |m| = m1 + m2. В итоге получаем
Φ(t) =	( 1)|m|	|m|!	tm1tm2 =	1	.
m1X2≥	−	m1!m2! 1 2		1 + t1 + t2
,m	0

Таким образом, ряд из вычетов в полиэдре Π1 представляет собой ряд Тейлора с центром в начале координат для функции 1/(1+t1 +t2). Ряды из вычетов в полиэдрах Π2, Π3 дадут разложения Лорана в других областях; разумеется все три разложения являются аналитическими продлжениями друг друга.

π2

π3

π1

Проекции πj полиэдров Πj, согласованных

с различными группами дивизоров

Например, вычисляя интеграл через сумму вычетов в пересечении полюсов Γ(z1) и Γ(1 − z1 − z2), получаем разложение

t−1	(−1)|m|	Γ(1 + m1 + m2)(t1/t2)m1(1/t2)m2.
m1X2>
2	0 m1!m2!
,m

Проиллюстрированная идея будет реализована в лекциях 29 и 30 для аналитического продолжения решения общего алгебраического уравнения.

194	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Лекция 28 ´

Многомерные преобразования Меллина и их обращения

Прямое и обратное преобразования Меллина для функций

многих переменных. Формулы обращений преобразований

Меллина для подходящих классов функций.

1. Определение преобразований Меллина

Преобразования Меллина для функций одного переменного были введены им в 1896 году. Они отличаются от преобразований Лапласа лишь тем, что заменой x = e−t сводятся к последним. Их рассмотрение позволило Меллину выделить естественный класс функций, для которых справедлива формула обращения. Применительно к преобразованию Лапласа такая формула обращения играет большую роль в операционном исчислении и в теории обработки сигналов.

Видимо, первое внедрение многомерного преобразования Меллина было сделано также им, в статье 1921 года, где в качестве применения было доказано, что решение общего алгебраического уравнения представляется гипергеометрическим рядом от переменных коэффициентов уравнения. Однако, в этой краткой статье Меллин ничего не писал о справедливости многомерной формулы обращения — вероятно, в нужном ему примере он знал ее обоснование с помощью повторных одномерных процедур.

Преобразование Меллина функции Φ(x), заданной в ортанте Rn+ (произведении положительных вещественных полуосей), определяется интегралом

M[Φ](z) = Zn	Φ(x)xz−Idx,	(28.1)
R+

где мультииндексная запись xz−I означает xz11−1 · ... · xznn−1. Соответственно, обратное преобразование Меллина функции F (z), заданной в мнимом

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

195

(вертикальном) подпространстве a + iRn (a — фиксированный вектор из вещественного подпространства Rn Cn), — это интеграл

M−1[F ](x) = (2πi)n	Z n	F (z)x−zdz.	(28.2)
1

a+iR

Наша цель — ввести подходящие классы функций многих переменных, на которых справедливы обе формулы обращения MM−1 = I = M−1M для прямого и обратного преобразований Меллина M и M−1. Формулу обращения для преобразования (28.2) мы доказываем с помощью интегрального представления Коши–Фантаппье, известного в многомерном комплексном анализе, а обращение преобразования (28.1) сводится к формуле обращения для преобразования (28.2).

В качестве применения в следующей лекции будет рассмотрена интегральная формула, выражающая решение общего алгебраического уравнения в терминах его коэффициентов.

2. Классы MΘU , WUΘ и формулировки теорем об-

ращения

Введем два класса голоморфных функций от n переменных, сопоставленных паре выпуклых областей. Рассмотрим два экземпляра пространства

Rn переменных u и θ. Выберем в них выпуклые области U Rn, Θ Rn, причем Θ ограничена и содержит начало координат: 0 Θ. Область U

порождает в комплексном пространстве трубчатую область U + iRn (трубу над U), а Θ — секториальную область (сектор SΘ над Θ). Более точно, секториальные области будем брать в множестве S = Rn+ × Rn, которое представляет собой область наложения над комплексным тором Tn = (C\{0})n. Точки x = (r, θ) S (r Rn+, θ Rn) проектируются в векторы

reiθ = (r1eiθ1, . . . , rneiθn) Tn.

Тогда сектор над Θ — это множество SΘ = {x S : θ Θ}. На Tn обращение этой проекции можно рассматривать многозначным, если Θ не помещается в куб со стороной длины 2π (например, одна из ветвей функции одного переменного 1/(1 + √z) голоморфна в секторе над интервалом

196 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

|θ| < 2π). Итак, пусть:

MΘU — векторное пространство функций Φ(x), голоморфных в какой–либо области

SkΘ = {x S : arg x kΘ}, k > 1

(k зависит от Φ, а kΘ означает гомотетию Θ с коэффициентом k) и удовлетворяющих условию

|Φ(x)| 6 C(a)|x−a| для всех x SkΘ, a U,

(28.3)

где C(a) не зависит от x;

WUΘ — векторное пространство функций F (z) = F (u + iv), голоморфных в трубчатой области U + iRn и убывающих в ней экспоненциально по v:

|F (u + iv)| 6 K(u)e−kHΘ(v), k > 1,

(28.4)

где HΘ(v) := sup θ, v — опорная функция для Θ.

θ Θ

Замечание 28.1. Поскольку 0 Θ, существует постоянная κ = κ(Θ) > 0

такая, что HΘ(v) > κ|v|. Тем самым, оценка (28.4) действительно выражает экспоненциальное убывание F по v.

Замечание 28.2. Выпуклость областей U и Θ естественно полагать в определении классов MΘU и WUΘ ввиду теоремы Бохнера о голоморфной продолжимости функции в трубчатую область над выпуклой оболочкой основания.

Следующие теоремы были недавно доказаны И.А. Антиповой.

Теорема 28.1. Если Φ(x) MΘU , то ее преобразование Меллина существует, принадлежит WUΘ и справедлива формула M−1M[Φ] = I[Φ], т.е.

(2πi)n	Z n	x−zdz Zn	Φ(ζ)ζz−Idζ = Φ(x), x SkΘ,	(28.5)
1
	a+iR	R+

где a U.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

197

Теорема 28.2. Если F (z) WUΘ, то ее обратное преобразование Меллина существует, принадлежит MΘU и справедлива формула MM−1[F ] =

I[F ], т.е.

Zn	xz−Idx(2πi)n		Z n	F (t)x−tdt = F (z), z U + iRn,	(28.6)
	1
R+			a+iR

где a U.

3. Доказательство второй формулы обращения

Пусть функция F (z) принадлежит WUΘ. Рассмотрим ее обратное преобразование Меллина

M−1[F ](x) = (2πi)n	Z n	F (z)x−zdz, a U.	(28.7)
1

a+iR

Заметим, что

|x−z| = |e− z,ln x | = e− u,ln |x| + v,θ ;

(28.8)

здесь z = u + iv, где u, v Rn, θ = (arg x1, . . . , arg xn). На множестве интегрирования в формуле (28.7) имеем

|x−z||a+iRn = |x−a|e θ,v .

Поэтому в силу условия (28.4) для интеграла (28.7) справедлива оценка:

|M−1[F ](x)| 6 (2π)n		Z n	|F (z)x−zdz| 6 |x−a|(2π)n Zn			K(a)e−kHΘ(v)+ θ,v dv.
1			1
		a+iR			R
						(28.9)

Если x Sk′Θ, (1 < k′ < k), то θ = arg x k′Θ и экспонента в (28.9) допускает оценку:

e−kHΘ(v)+ θ,v = e−HkΘ(v)+ θ,v 6 e−ε|v|,

где

ε = min (HkΘ(v) − θ, v ) > 0.

|v|=1

θ k′Θ

198	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Таким образом, подынтегральное выражение в правом интеграле из (28.9) экспоненциально убывает, поэтому интеграл (28.7) сходится абсолютно и равномерно относительно x из компактов в SkΘ. Следовательно, этот интеграл определяет голоморфную функцию в SkΘ и, тем более, в

Sk′Θ. Кроме того, из (28.9) следует оценка (28.3) для M−1[F ], с константой

C(a) = K(a) Z e−ε|v|dv,

(2π)n

Rn

и первая часть утверждения теоремы доказана.

Применим к функции M−1[F ](x) преобразование Меллина M, получим

интеграл	M−1[F ](x)xz−Idx = Zn	xz−Idx(2πi)n		Z n
Zn					F (t)x−tdt.	(28.10)
		1
R+	R+			a+iR

Сделаем замену переменных в интеграле (28.10): xj = eηj , j = 1, . . . , n.

Получим интеграл вида		Zn	dη(2πi)n		Z n
Zn	M−1[F ](x)xz−Idx =					F (t)e− η,t−z dt.	(28.11)
			1
R+		R			a+iR

В пространстве Rn переменных η введем сферические координаты

ηj = ρχj, j = 1, . . . , n,

полагая, что χ = (χ1, . . . , χn) пробегает единичную сферу Sn−1 = {η = 1}, и в правой части (28.11) проинтегрируем по ρ. Но прежде заметим, что внутренний интеграл в (28.11) не зависит от выбора a U, поэтому для каждого фиксированного χ Sn−1 выберем a в виде

a = z + εχ,

где ε > 0 настолько мало, что сфера Sε Rn с центром в точке z U и

радиуса ε содержится в U. Далее, поскольку dηj = χjdρ+ρdχj и nj=1dχj = 0 (так как χ параметризует (n − 1)–мерное многообразие Sn−1), получаем: dη = σ ρn−1dρ, где σ — это дифференциальная (n − 1)–форма

n

X

σ(χ) = (−1)k−1χkdχ[k].

k=1

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

199

Таким образом, интеграл (28.11) примет вид

	(2πi)n	nZ 1	σ(χ)	Z	n		∞	e−ρ χ,t−z ρn−1dρ.
						F (t)dt Z
1
		S −	z+εχ+iR				0
Легко вычислить внутренний интеграл:
			∞				χ, t − z n
		Z0
			e−ρ χ,t−z ρn−1dρ =				(n − 1)!		,

и мы приходим к повторному интегралу

(n − 1)! Z

(2πi)n

Sn−1

σ(χ)	Z	n	χ, t − z n dt.
			F (t)

z+εχ+iR

Этот интеграл можно трактовать как интеграл по (2n − 1)–мерной поверхности Sε + iRn,

(2πi)n	Z n		λ(t, z), t − z n
(n − 1)!		F (t)	σ(λ(t, z)) dt	,	(28.12)

Sε+iR

где вектор–функция λ(t, z) определяется по формуле

λ(t, z)|Sε+iRn = λ( z + εχ + i t, z) = χ

для t Sε + iRn и z Bε + iRn , Bε Rn есть шар с центром z радиуса ε. Заметим, что на множестве интегрирования знаменатель подинтеграль-

ной формы в (28.12) не обращается в нуль:

|λ(t, z), t − z| = |χ, εχ + i (t − z)| > ε|χ|2 = ε.

Таким образом, в интеграле (28.12) множителем при F (t) является ядро Коши–Фантаппье.

Исчерпаем неограниченную область Bε +iRn последовательностью ограниченных областей Bε + iBR, R → ∞, где BR Rn это шар радиуса R с

центром в нуле. Граница области DR = Bε + iBR кусочно–гладкая и состоит из куска Sε + iBR — множества интегрирования в (28.12), и куска Bε + iSR, где SR = ∂BR. Наша цель — продолжить вектор–функцию

λ1(t, z) =

200	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

λ = λ(t, z) в (28.12) на границу ∂DR так, чтобы полный интеграл превратился в интеграл Коши–Фантаппье. Естественно выбрать на куске Sε +iBR

вектор–функцию

1

χ, t − z χ

(здесь χ = χ( (t − z)) — множество направлений в Rn переменного t с

началом в z). На части границы Bε + iSR выберем вектор–функцию

1

λ2(t, z) = iχ, t − z iχ,

здесь χ = χ( (t − z)). Однако, построенные вектор–функции λk(t, z) на частях границы не составляют непрерывную функцию на всей границе области DR. Поэтому на стыке кусков, следуя идеям Лере и Хенкина, можно определить вектор–функцию в виде выпуклой комбинации

λ12(t, z, τ) = τλ1(t, z) + (1 − τ)λ2(t, z),

где τ [0; 1]. Построенная таким образом вектор–функция λ(t, z) удовлетворяет условию

λ(t, z), t − z = 1.

Подинтегральное выражение в (28.12) однородно степени нуль относительно λ(t, z), поэтому интеграл (28.12) запишется в виде

(2πi)n	Z	1
(n − 1)!	Sε+iBR	F (t)σ(λ	(t, z))		dt.

В силу условия (28.4) функция F (t) убывает экспоненциально, поэтому интегралы

Z

F (t)σ(λ2(t, z)) dt

Bε+iSR

и

Z

F (t)σ(λ12(t, z, τ)) dt

(Sε+iSR)×[0,1]

стремятся к нулю при R → ∞. Следовательно, по формуле Коши– Фантаппье интергал (28.12) представляет функцию F (z) на множестве

Bε + iRn.