ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

151

Знаки ограничения здесь опущены.

p-коцепь σ Cp(U, F) называется коциклом, если δσ = 0. Заметим, что любая коцепь σ должна удовлетворять условию кососимметричности

σi0,...,ip = −σi0,...,iq−1,iq+1,iq,iq+2,...,ip.

Коцепь σ называется кограницей, если σ = δτ для некоторого τ Cp−1(U, F). Легко проверить, что δ2 = 0, т.е. кограницы являются коциклами; это позволяет определить группы

Zp(U, F) = ker δ Cp(U, F)

и

Hp(U, F) = Zp(U, F)/δCp−1(U, F).

Далее, пусть даны два покрытия многообразия X: U = {Uα}α I и U′ =

{Uβ′ }β I′. Покрытие U′ называется измельчением покрытия U, если для каждого β I′ найдется такое α I, что Uβ′ Uα; в этому случае мы будем писать U′ < U. Если U′ < U, то можно выбрать такое отображение ϕ : I′ → I, что Uβ′ Uϕβ для всех β. Тогда определено отображение

ρϕ : Cp(U, F) → Cp(U′, F),

задаваемое формулой

(ρϕσ)β0...βp = σϕβ0...ϕβp|Uβ0 ∩...∩Uβp .

Очевидно, что δ ◦ ρϕ = ρϕ ◦ δ, поэтому ρϕ определяет гомоморфизм

ρ : Hp(U, F) → Hp(U′, F),

не зависящий от выбора ϕ. Назовем p-й группой когомологий Чеха пучка F на X прямой предел групп Hp(U, F) при неограниченном измельчении покрытия U :

Hp(X, F) = lim Hp(U, F).

→−

U

В случаях когда возможны недоразумения будем обозначать когомологии

Чеха ˇ Ясно что для любого покрытия

H. U

H0(X, F) = H0(U, F) = X.

152	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Заметим, что если X N – замкнутое подпространство, а F – любой пучок на X, то продолжая F нулем на все N, получим H (X, F) =

H (N, F).

2.Хорошие покрытия. Теорема Лере

Сопределением H (X, F) как прямого предела на практике невозможно работать. Необходимо найти простое достаточное условие на покрытие U,

при котором выполняется равенство

H (U, F) = H (X, F).

Такое условие дает следующая

Теорема 21.1. Пусть покрытие U ациклично для пучка F, т.е. Hq(Ui1 ∩

. . . ,

Uip

,

F

) = 0

q > 0

i

, . . . , i

;

H (U,

F

) = H (X,

F

).

при

для любых

1

p

тогда

Некоторые частные случаи теоремы Лере доказываются ниже по мере необходимости.

3. Основная когомологическая последовательсность

Наиболее существенное свойство когомологий пучков состоит в следующем. Пусть дана точная последовательность

α β

0 −−→ E −−→ F −−→ G → 0

пучков на X. Тогда определены отображения

p α p , β ,

C (U, E) −−→ C (U, F) Cp(U, F) −−→ Cp(U, G)

которые перестановочны с δ и потому индуцируют отображения

p α p , p β p .

H (X, E) −−→ H (X, F) H (X, F) −−→ H (X, G)

Определим теперь кограничное отображение δ : Hp(X, G) → Hp+1(X, E).

При данном σ Cp(U, G), удовлетворяющем условию δσ = 0, можно всегда перейти к такому измельчению U′ покрытия U и подобрать такое τ Cp(U′, F), что β(τ) = ρσ. Тогда βδτ = δβτ = δρσ = 0, так что,

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

153

переходя к еще более мелкому покрытию U′′, найдем такое µ Cp+1(U′′, E),

что αµ = δτ; αδµ = δαµ = δ2τ = 0, и, поскольку α инъективно, отсюда будет следовать, что δµ = 0. Таким образом, µ Zp+1(U′′, E), и мы можем положить δ σ = µ Hp+1(X, E).

Теорема 21.2. Последовательность

0 → H0(X, E) → H0(X, F) → H0(X, G) →

→H1(X, E) → H1(X, F) → H1(X, G) → . . .

·· · → Hp(X, E) → Hp(X, F) → Hp(X, G) → . . .

является точной. Она называется основной когомологической последовательностью.

Для большинства естественно возникающих точных последовательностей 0 → E → F → G → 0 и заведомо всех пучков, которые нам встретятся в этой книге, существуют сколь угодно мелкие покрытия U, такие, что для любого U = Ui0 ∩ . . . ∩ Uip точна последовательность

0 → E(U) → F(U) → G(U) → 0.

Тогда можно найти сколь угодно мелкое покрытие U, для которого группы коцепей образуют точную последовательность

0→ Cp(U, E) → Cp(U, F) → Cp(U, G) → 0.

Вэтом случае основной факт легко проверить: например, чтобы убедиться в том, что точна последовательность

p β p δ p ,

H (U, F) −−→ H (U, G) −−→ H (U, E)

рассмотрим коцепь σ Cp(U, G), для которой δσ = 0 и δ σ = 0 в Hp(U, E).

Тогда найдутся, такая коцепь τ Cp(U, F), что βτ = σ, и такая коцепь µ Cp+1(U, F), что αµ = δτ; по определению µ = δ σ в Hp+1(U, E),

так что µ = δν при некотором ν Cp(U, E). Тогда τ − αν – коцикл

154	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

в Cp(U, F), удовлетворяющий условию β(τ − αν) = βτ = σ; это показывает, что σ β (Hp(U, F)). Кроме того, ясно, что δ β = 0. Остальные этапы проверки выполняются аналогично.

Наиболее распространенное применение точной когомологической последовательности, ассоциированной с точной последовательностью пучков

α β

0 −−→ E −−→ F −−→ G → 0

связано с ответом на вопрос: когда глобальное сечение σ пучка G является образом при отображении β глобального сечения пучка F? Ответ (в соответствие с точной когомологической последовательностью) состоит в том, что это имеет место тогда и только тогда, когда δ σ = 0 в H(X, E).

Например, рассмотрим снова точную последовательность

α β

0 −−→ O −−→ X −−→ PP → 0

на римановой поверхности X. Данные задачи Митта-Леффлера – это глобальное сечение g PP(X) = H0(X, PP); вопрос состоит в том, выполнено ли равенство g = β f для какой-нибудь глобальной мероморфной функции f. Если {fU } – локальные решения задачи, то, как мы видели, (δ g)U,V = fV −fU , а g = β f тогда и только тогда, когда δ g = 0 в H1(X, O).

Далее будем рассматривать, в основном, три разновидности пучков.

1.Голоморфные пучки — такие, как O, JV , O(E) и Ωp — сечения которых задаются локально наборами n голоморфных функций. Они содержат больше всего информации и являются главными интересующими нас объектами изучения.

2.C∞-пучки — такие, что Ap,q — локальные сечения которых задаются наборами C∞-функций. Обычно используются как вспомогательные.

3.Постоянные пучки — такие, как Z, R, C. Они несут топологическую информацию о многообразии.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

155

4. Тонкие пучки

Теорема 21.3.
Hp(X, Ap,q) = 0, p > 0.
Доказательство. Для любого локального конечного						покрытия U =
{Uα}α I многообразия X можно найти подчиненное ему разбиение еди-
ницы, т.е. такие C∞-функции ρα на X, что			ρα ≡ 1 и носитель ρα со-
держится в Uα. Далее, для заданного		коцикла			p U	, A	r,s		определим
			Pσ	Z	(			)
коцепь τ Cp−1(U, Ar,s), полагая	X
τα0...αp−1 =	ρβσβ,α0,...,αp−1,
	β I
где сечение ρβσβ,α0,...,αp−1 продолжено нулем на Uα0				∩ . . . ∩ Uαp−1. Можно
проверить, что δτ = σ.

Вслучае n = 1 имеем в явном виде

σ= {σUV Ar,s(U ∩ V)};

σUV + σV W + σW U = 0,
в U ∩ V ∩ W.
Положим τU = PV ρV σV U ; тогда	X	X
X
(δτ)UV = −τU + τV = − ρW σW U + ρW σW V = ρW σUV = σUV .
W	W	W

Вообще, пучки, допускающие разбиения единицы (т.е. существование для любого U = Uα) таких отображений ηα : F(Uα) → F(U), что носи-

P

тель ηασ содержится в Uα и ηα(σ|Uα) = σ для σ F(U)), называются

тонкими пучками.

Тоже самое рассуждение показывает, что их высшие группы когомологий обращаются в нуль.

156	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Лекция 22 ´

Пучки голоморфных форм на комплексных многообразиях

Оператор ∂ на комплексном многообразии. Формализм Майера-Вьеториса для оператора ∂. Теорема Дольбо. Явный изоморфизм между когомологиями Чеха и Дольбо.

1. Теорема Дольбо

Мы видели, что препятствие к решению задачи Миттаг-Леффлера на римановой поверхности S можно считать лежащим либо в H1(S, O), либо

0,1

в H∂¯ (S). Это частный случай следующего общего факта.

Теорема 22.1 (Дольбо). На комплексном многообразии M имеет место изоморфизм

	∂¯
Hq(M, Ωp) =	Hp,q(M).

Доказательство. По ¯–лемме Пуанкаре последовательности

∂

p	p,0	¯	p,1
		∂		→ 0
0 → Ω	→ A → Z∂¯

. . . . . . . . . . . . . . .

p,q	¯	p,q+1
	p,q ∂		→ 0
0 → Z∂¯	→ A → Z∂¯

точны для всех p, q. Поскольку Hr(M, Ap,q) = 0 при r > 0 и любых p, q,

точные когомологические последовательности, связанные с этими последовательностями пучков, дают изоморфизмы

					Hq−1(M,					∂¯
	Hq(M, Ωp) =							Z		p,1) = H
	1		Z∂¯			0			Z∂¯		¯
. . . = H		(M,		) = H			(M,				)/∂H

q−2(M,	Z∂¯
	p,2) = . . .

0(M, Ap,q−1) = Hp,q¯ (M).

∂

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

157

В качестве приложения докажем частный случай теоремы Лере: для локально конечного покрытия U = {Uα} многообразия M, ацикличного для структурного пучка O, т.е. обладающего свойством

Hp(Uα1 ∩ . . . ∩ Uαq , O) = 0

для p > 0, имеет место изоморфизм

H (U, O) H (M, O).

=

Доказательство. По предположению

Z0,r U ∩ ∩ U ¯A0,r−1 U ∩ ∩ U

¯ ( α . . . α ) = ∂ ( α . . . α ),

∂ 0 p 0 p

т.е. имеют место следующие точные последовательности групп цепей:

0 → Cp(U, Z0¯,r−1) → Cp(U, A0,r−1) → Cp(U, Z0¯,r) → 0,

∂ ∂

что, согласно обычным алгебраическим рассуждениям, дает точные последовательности

· · · → Hp(U, A0,r−1) → Hp(U, Z0¯,r) →

∂

→ Hp+1(U, Z0¯,r−1) → Hp+1(U, A0,r−1) → . . .

∂

Поскольку Hp(U, A0,r) = 0 при p > 0, с помощью рассуждения, использую-

щего разбиение единицы, находим, что

O

Hq−1(U,

Z∂¯

Hq(U,

)

=

0,1)

=

Z∂¯

Z∂¯

= Hq−2(U,

0,2)

= . . .

= H1(U,

0,q−1) =

H0

Z∂¯

A

∂¯

=

(U,

0,q)/∂H¯ 0(U,

0,q−1) = H0,q

(M) =

Hq

(M,

O

).

=

То же самое рассуждение проходит для пучков Ωp.

158	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

2. Примеры вычислений когомологий

Пример 22.1. Если M есть n-мерное комплексное многообразие, то

	O			∂¯
Hq(M,		) =	H0,q(M) = 0
при q > n.
¯			q	n	, O) = 0	при q > 0	и более обще,
Пример 22.2. По ∂-лемме Пуанкаре H				(C

Hq(Ck × (C )l, O) = 0 при q > 0. Кроме того, поскольку Cn стягиваемо,

Hq(Cn, Z) = 0

при q > 0. Далее из точной когомологической последовательности, связанной с экспоненциальной последовательностью пучков на Cn, выводим, что последовательность

· · · → Hq(Cn, O) → Hq(Cn, O ) → Hq+1(Cn, Z)

точна; отсюда следует, что

Hq(Cn, O ) = 0

при q > 0.

В качестве непосредственного следствия получаем решение проблемы Кузена:

Утверждение 22.1. Любая аналитическая гиперповерхность в Cn является множеством нулей некоторой целой функции.

Доказательство. Известно, что окрестности любой точки p в Cn аналитическая гиперповерхность V Cn может быть задана как множество нулей голоморфной функции f Op, и если выбрать f не делящейся ни на какой квадрат в Op, кроме квадратов единиц, то f определена однозначно с точностью до умножения на единицу. Поэтому можно найти такое покрытие U = {Uα} пространства Cn и такие функции fα O(Uα),

что (fα = 0) = V ∩ Uα и для любых α, β

gαβ = fα/fβ O (Uα ∩ Uβ).

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

159

Но, поскольку H1(Cn, O ) = 0, коцикл {gαβ} C1(U, O ) является кограницей, т.е. найдется, возможно после измельчения покрытия, такая коцепь {hα} C0(U, O ), что fα/fβ = gαβ = hβ/hα. Целая функция

f = fαhα = fβhβ

имеет своим множеством нулей в точности V .

Другое приложение обращения в нуль групп когомологий

Hq(Ck × (C )l, O)

связано с тем, что покрытие комплексного многообразия произведения плоскостей и проколотых плоскостей ациклично; мы воспользуемся этим в следующих двух примерах.

Пример 22.3. Для того чтобы вычислить группы гомологий Hq(P1, O), введем евклидовы координаты u и v = 1/u на P1 и положим U = (v ̸= 0),

V = (u ̸= 0). Координаты u и v устанавливают изоморфизм областей U

и V с C соответственно, а U ∩ V = C ; таким образом, покрытие {U, V}

пространства P1 ациклично. Далее,

C0({U, V}, O) = {(f, g) : f O(U), g O(V)},

C1({U, V}, O) = {h O(U ∩ V)}.

Для заданных (f, g) C0({U, V}, O) можно написать

∞	∞	∞
X	X	X

f = anun, g = bnvn = bnu−n.

n=0 n=0 n=0

Таким образом, элемент δ((f, g)) = −f + g O(U ∩ V) равен нулю тогда и только тогда, когда an = bn = 0 при положительных n и a0 = b0, т.е.

H0(P1, O) C.

=

Последний изоморфизм означает, что глобальные голоморфные функции на P1 — это только константы.

160	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆
Вообще тот факт, что H0(M,	O	C	для любого компактного связного
		) =

комплексного многообразия, немедленно следует из принципа максимума. С другой стороны, для любого элемента

∞∞

XX

h =	anun =	anv−n C1({U, V}, O)
	n=−∞	n=−∞

можно написать h = δ((f, g)), где

∞

∞

XX

f = − anun, = g = a−nvn

n=0 n=1

и получить отсюда, что

H1(P1, O) = 0.

Аналогично, любой элемент (ω, η) группы

C0({U, V}, Ω1) = {(ω, η) : ω Ω1(U), η Ω1(V)}

может быть записан в виде				bnvn!dv =				!du,
ω =	∞	anun!du, η =	∞		−	∞	bnu−n−2
	X		X			X
	n=0		n=0			n=0

поскольку dv = d(u−1) = −u−2du. Отсюда видим, что δ((ω, η)) = 0 тогда и только тогда, когда ω = η = 0, т.е.

H0(P1, Ω1) = 0.

Точно так же устанавливается, что элемент

∞	!
X	anun du C1({U, V}, Ω1) = Ω1(U ∩ V)
ν =
n=−∞

представим в виде δ((ω, η)) = −ω + η тогда и только тогда, когда a−1 = 0;

стало быть, H1(P1, Ω1) C. Тем же способом можно проверить, что вообще

=

(

Hp(Pn, Ωq) =	C	если p = q ≤ n;
	0	в противном случае.