ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

171

Мы будем также называть интеграл (24.1) локальным вычетом функции h (формы hdz) относительно голоморфного отображения f в точке a

и обозначать его res (h) (res (hdz)). Локальный вычет (24.1) совпадает с

a f a f

известным в алгебраической геометрии символом вычета Гротендика

"#

hdz

Res . f1 . . . fn

Отметим некоторые простые свойства локального вычета. Во-первых, из определения ориентации цикла Γa видно, что локальный вычет кососимметричен относительно перестановок компонент fj отображения f:

res(f1,...,fn) = (sgnτ)resfτ(1),...,fτ(n) ,

здесь sgnτ = ±1 в зависимости от четности перестановки τ =

(τ(1), . . . , τ(n)). Чтобы сформулировать следующее свойство, заметим, что с учетом приведенных пояснений к определению (24.1) локальный вычет

res (h) фактически определен для элементов h из кольца ростков Oa голо-

a f

морфных в точке a функций. Обозначим через Ia(f) идеал в Oa, порож-

денный компонентами f1,...,fn отображения f.

Предложение 24.1.

Если

h

I

a(

f

), то

a f

.

res (h) = 0

Доказательство. Условие h

Ia(f) означает, что h = q1f1 + · · · + qnfn,

qj Oa. В таком случае

Z f1

n

(2 )

. . . [k] . . . fn

a

f

k=1

res (h) =

X

πi

−n

qkdz

.

(24.2)

Γa

Заметим, что справа мы имеем сумму интегралов от замкнутых форм по циклам, гомологичным нулю в областях регулярности этих форм. Действительно, Γa = (−1)k−1∂ck, k = 1, . . . , n, где

ck = {z Ua : |fj(z)| = εj, j ̸= k; |fk(z)| 6 εk}

компактная (n+1)-цепь в Ua \{z : f1 ·. . . [k] . . .·fn(z) = 0} (εj предполагаются настолько малыми, что f−1(Bε) b Ua), ориентация которой определяется

172	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

порядком параметров θ1,...,θk−1,rk,θk,θk+1,...,θn в ее параметрическом задании

fj(z) = εjeiθj , j ̸= k; fk(z) = rkeiθk ; θj [0, 2π], rk [0, εk].

Таким образом, по теореме Стокса каждое слагаемое в (24.2) равно нулю.

3. Выражение локального вычета через след

Пусть f : U → G – голоморфное отображение областей U Cnz , G

Cnw. Говорят, что отображение f имеет конечный тип, если для каждого w G уравнение f(z) = w имеет в области U одно и то же конечное число корней с учетом их кратностей.

Определим важное понятие следа относительно голоморфного отображения. Пусть f : U → G – голоморфное отображение конечного типа областей U Cnz , G Cnw и H(z) = ϕ/ψ – мероморфная в U функция.

Следом функции H относительно отображения f называется функция

X

[TrH](w) = H(z(ν)(w)), w G \ f({ψ = 0}),	(24.3)
ν

где суммирование ведется по всем корням (с учетом кратностей) системы уравнений f(z) = w.

Иногда след мероморфной функции может быть голоморфным. В сле-

дующем утверждении выделен класс таких мероморфных функций.

Предложение 24.2. Если поликруг Bε b G, то след мероморфной функции H = h/J (где h O(U), J – якобиан отображения f) допускает в

Bε интегральное представление

[Trh/J](w) = (2πi)−n	Z	h(z)dz	(24.4)
		f(z) − w

Γε(f)

и, следовательно, голоморфен в Bε.

Доказательство. Согласно определению следа и формуле Коши имеем

[Trh/J](w) = X h(zν(w)) =

ν J

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

173

=	ν	(2πi)−n	Z	f( ) w	= (2πi)−n	εZ	fhdzw.
	X			h z dz
		Γz(ν)(w)		−	Γ (f)		−

Применим предложение к случаю, когда U = Ua, а f : Ua → G —

голоморфное отображение с изолированным нулем в точке a; в результате получается

Теорема 24.1. Локальный вычет выражается через след по формуле

res (h) = [Trh/J](0),

(24.5)

a f

где J – якобиан отображения f.

В случае, когда a — простой нуль отображения f, т.е. якобиан J(a) ̸= 0, отображение f локально обратимо, поэтому след [Trh/J] = h(a)/J(a). Таким образом, мы приходим к следующей формуле локального вычета в простых полюсах:

res (h) = h(a)/J(a).

af

4.Формула замены переменных

Формулу (24.5) в предыдущей теореме с учетом формулы Коши можно записать в виде

(2πi)−n εZ	hdf	= (2πi)−n εZ	[Trh/J · f]dw,	(24.6)
	J · f
Γ (f)		Γ (w)

так как [Trh/J · f](w) = w−1[Trh/J](w). Формула (24.5) легко распространяется на произвольные мероморфные функции. А именно, рассмотрим голоморфное отображение f : U → G. Пусть полиэдр

Π = Πr(f) = {z U : |fj(z)| < rj, j = 1, . . . , n} b U,

причем (r12, . . . , rn2) – некритическое значение отображения (|f1|2, . . . , |fn|2) :

U → Rn+ (последнее условие обеспечивает гладкость цикла Γr(f) — остова полиэдра Π). Тогда справедливо

174	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Предложение 24.3. Если особое множество мероморфной функции H не пересекает остов Γr(f), то имеет место следующая формула "замены переменных":

Z	Z	(24.7)
H(z)df =	[TrH](w)dw.

Γr(f) Γr(w)

Доказательство. Доказательство вытекает из определения интеграла по многообразию, следа и того, что сужение f|Γε(f) является конечным накрытием над остовом Γr(w) = {|wj| = rj, j = 1, . . . , n}. Заметим, что формула (24.7) не укладывается в общую формулу замены переменных

ZZ

f (ω) = ω.

γf (γ)

Действительно, хотя в нашем случае Γr(w) = f (Γr(f)), форма H(z)df не равна, вообще говоря, форме f (TrH).

Замечание 24.1. По внешнему виду формула замены переменной напоминает известную формулу коплощади, хотя традиционно последняя формула приводится для отображения f с неизолированными уровнями f−1(w). В нашем случае отображение f очень хорошее — обратное к нему является разветвленным комплексно-аналитическим накрытием.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

175

Лекция 25 ´

Метод разделяющих циклов в задачах вычисления собственных интегралов от мероморфных форм

Циклы, разделяющие n дивизоров в n-мерном многообразии. Критерий разделяющих циклов. Полиэдры, согласованные с набором дивизоров. Теорема о вычетах.

Плодотворное использование одномерных вычетов основано на том, что с учетом теоремы Коши исходный контур интегрирования заменяется на сумму простейших — малых окружностей вокруг особых точек (полюсов) подынтегральной функции. Как правило, этот момент применения одномерных вычетов не представляет затруднений, ибо зачастую очевидно, какие особые точки попадают внутрь контура, и потому понятно, в сумму каких вычетов разлагается первоначальный интеграл. В многомерной ситуации вопрос о представлении исходной поверхности интегрирования в виде суммы простейших циклов (например, локальных циклов Γa) является более сложным, и здесь возникает непростая топологическая задача. Рассмотрим указанную задачу в аспекте представления интегралов по циклам через локальные вычеты.

1. Циклы, разделяющие n дивизоров в n-мерном

многообразии

Приведем точную формулировку того, что мы понимаем под "представимостью интегралов по циклам через локальные вычеты". Пусть X —

комплексное аналитическое многообразие размерности n и ω — мероморфная дифференциальная форма степени n на X. Предположим, что полярное множество формы ω можно разбить на n гиперповерхностей (дивизоров)

F1,...,Fn. Всюду в этом параграфе будем обозначать через F объединение гиперповерхностей F1,...,Fn, а через Z — множество изолированных точек

176 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

пересечения этих гиперповерхностей. Рассмотрим интеграл вида
(2πi)−n Z	ω,	(25.1)
Γ

где Γ — цикл вещественной размерности n в области регулярности формы ω, т.е. в X \ F . Предположение о том, что форма ω имеет полюсы на F , означает, что в окрестности Ua каждой точки a X она допускает представление ω = hdz/f1 · · · · · fn, где fj — определяющие функции гиперповерхностей Fj в окрестности Ua: Fj ∩ Ua = {z : fj(z) = 0}, а h

— некоторая голоморфная в Ua функция. С каждой точкой a Z связан локальный цикл

Γa = {z Ua : |fj(z)| = ε, j = 1, . . . , n}.

(25.2)

Таким образом, если Γ = Γa, то интеграл (25.1) — это локальный вы-

чет resω формы ω относительно гиперповерхностей F1,...,Fn. Если цикл Γ

a

гомологичен в области регулярности формы ω линейной комбинации локальных циклов вида (25.2):

X
Γ naΓa, na— целые числа,	(25.3)

a Z

то согласно формуле Стокса интеграл (25.1) сводится к локальным вычетам:

(2πi)−	n	Z	= Xna a
		ω	res ω.

Γa Z

Врезультате сказанного уже можно уточнить смысл названия насто-

ящего параграфа: под условием "представимости интеграла (25.1) через локальные вычеты"мы понимаем условие представимости цикла Γ в X \ F

в виде (25.3) — линейной комбинации локальных циклов Γa. Выяснением последнего условия мы сейчас и займемся.

Пусть F1,...,Fn — гиперповерхности в X, объединение которых обозначаем через F , а дискретную часть их пересечения — через Z. Мы увидим, что в весьма общей ситуации цикл Γ в X \F представляется в виде суммы локальных циклов {Γa}a Z (т.е. в виде (25.3)) тогда и только тогда, когда

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

177

он "разделяет"гиперповерхности F1,..., Fn. С этой целью нетривиальный (т.е. не гомологичный нулю) n-мерный цикл Γ в X \ F назовем разделяющим гиперповерхности F1,..., Fn, если он удовлетворяет условиям

Γ 0 в X \ (F1 . . . [k] · · · Fn), k = 1, . . . , n.

(25.4)

Условия (25.4) отражают тот факт, что каждая из гиперповерхностей

Fj является препятствием гомологичности нулю цикла Γ вне объединения этих гиперповерхностей. В одномерной ситуации (n = 1), когда X — область комплексной плоскости, F1 = {a1, a2, . . . } — дискретное множество точек в X, условие (25.4) означает, что цикл Γ выражается через малые окружности вокруг точек aj, т.е. через локальные циклы. В многомерной ситуации также имеется связь между локальными и разделяющими циклами. Например, в лекции 24 (см. доказательство предложения) было фактически показано, что всякий локальный цикл Γa разделяет гиперповерхности Fj ∩ Ua, j = 1, . . . , n. В самом деле, для каждого локального цикла Γa имеем Γa = (−1)k−1 × ∂c(ak), где

ca(k) = {z Ua : |fj(z)| = εj, j ̸= k, |fk(z)| 6 εk}

(25.5)

— (n + 1)-цепь в X \ (F1 . . . [k] · · · Fn), т.е. Γa — цикл, разделяющий гиперповерхности F1,..., Fn. Таким образом, всякий цикл Γ, представимый в виде (25.3), является разделяющим. Следующий пример показывает, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.Пусть X = C2 \ {0}, Fj =

{z X : zj = 0}, j = 1, 2 и Γ = {z : |z1| = |z2| = 1} — 2-цикл в X \(F1 F2). Ясно, что цикл Γ разделяет гиперповерхности F1 и F2, поскольку Γ =

±∂c(j), где c(1) = {z : |z1| < 1, |z2| = 1} X \ F2, c(2) = {z : |z1| = 1, |z2| 6

1} X \ F2. В то же время Γ не представляется в виде (25.3), так как

F1 ∩ F2 = .

2. Критерий разделяющих циклов

Приведенный выше пример можно отнести к разряду патологических, потому что верна следующая

Теорема 25.1. Пусть X — многообразие Штейна комплексной размерности n и F1,..., Fn — произвольная система гиперповерхностей в X.

178	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Для того чтобы n-мерный цикл Γ в X \ F представлялся в виде (25.3), необходимо и достаточно, чтобы он разделял гиперповерхности F1,...,

Fn, т.е. удовлетворял условиям (25.1).

Приведем доказательство теоремы для случая n = 2 с той целью, чтобы лучше понять суть утверждения, не прибегая к техническим деталям.

Из доказательства теоремы будет видно, что в случае, когда пересечение F1 ∩ · · · ∩ Fn дискретно, утверждение остается верным при следующих условиях: 1) группа гомологий тривиальна; 2) для всех j от 1 до n

дополнения X \Fj являются многообразиями Штейна (заметим, что эти условия выполняются, если X — многообразие Штейна): согласно теореме Серра Hq(X) 0, q > dimX, если X — многообразие Штейна, а гомологии рассматриваются с коэффициентами в поле; тот факт, что если X — многообразие Штейна, то X \ гиперповерхность — также многообразие Штейна, устанавливается непосредственно). В частности, из сказанного следует, что теорема верна для любой системы алгебраических гиперповерхностей

F1,..., Fn в проективном пространстве, имеющей дискретное пересечение.

Доказательство. Приведем доказательство теоремы в случае, когда n = 2, группа гомологий H3(X) тривиальна и комплексные кривые F1, F2 имеют дискретное пересечение Z = F1∩F2. Пусть цикл Γ в X\F разделяет кривые

F1 и F2, т.е. гомологичен нулю в областях X1 = X \ F1, X2 = X \ F1. Применим к открытым множествам X1, X2 точную последовательность Майера-Вьеториса

∂	(X1	i	(X1) H2(X2),	(25.6)
H3(X1 X2) → H2		∩ X2) → H2
где i = (i1 , −i2 ), ik индуцированы вложениями ik : X1 ∩ X2				→ Xk,

k = 1, 2, а ∂ — связывающий гомоморфизм, действующий по следующему правилу. Так как Xk открыты, то всякий цикл h в X1 X2 гомологичен некоторой сумме c1 +c2 цепей ck в Xk. Ввиду того, что ∂c(1) +∂c(2) = ∂h = 0, граница ∂c(1) представляет собой цикл в X1 ∩ X2, который и представляет класс гомологий образа ∂ [h]. Итак, ∂ [h] = [∂c(1)].По условию теоремы для цикла Γ в X \ (F1 F2) = X1 ∩ X2 имеем i [Γ] = 0, откуда в силу

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

179

точности последовательности (25.6) найдется такой трехмерный цикл h в X1 X2 = X \ F1 F2, что

∂ [h] = [Γ], [h] H3(X \ Z).

(25.7)

Так как H3(X) 0, то H3(X \ Z) порождается семейством трехмерных сфер, окружающих точки a Z, или, что то же самое, семейством границ ha = ∂Πa полиэдров

Πa = {z Ua : |fj(z)| 6 εj, j = 1, 2}.

(25.8)

P

Таким образом, h naha, откуда согласно (25.7)

a Z

"	#
X	X	(25.9)
[Γ] = ∂	naha = na[∂ ha].

a Z

Но ha = c1a + c2a, где cka — грани полиэдра Πa, определенные формулой (25.5)при n = 2, поэтому по определению гомоморфизма ∂ и цикла Γa (см. (25.2))

hi

∂ [ha] = ∂c(1)a = [Γa],

и с учетом (25.9) получаем, что Γ представляется в виде (25.3).

3. Разделяющие циклы в полиэдрах

Рассмотрим в Cn полиэдр Π = G1 ×· · ·×Gn, который является произведением компактов Gj C, являющихся замыканиями областей с кусочно– гладкими границами.

Пусть

σi = G1 × · · · × ∂Gi × · · · × Gn, i = 1, . . . , n
грани Π максимальной размерности 2n − 1.
Определение 25.1. Семейство дивизоров Fi = {z Cn	: fi = 0}, i =
1, . . . , n назовем согласованным с полиэдром Π, если
Fi ∩ σi = для всех i = 1, . . . , n.	(25.10)

180	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆
Нам потребуется	следующее утверждение, которое является одной

из версий "принципа разделяющих циклов разработанного в диссертации А.К. Циха.

Теорема 25.2. Если семейство дивизоров F1,..., Fn согласовано с полиэдром Π, то в Π\(D1 · · · Dn) для остова σ = ∂G1 ×· · ·×∂Gn справедливо гомологическое разложение

X

σ = Γa, (25.11)

где Γa — локальный цикл в точке пересечения F1 ∩· · ·∩Fn, определенный как Γa = {z Ua : |fj(z)| = ε, j = 1, . . . , n}, ε 1, а суммирование ведется по всем точкам пересечения из Π.

Замечание 25.1. Условие согласованности (25.10), сформулированное на языке граней максимальной размерности, можно заменить следующим условием на языке граней минимальной размерности (ребер):

(F1 . . . [j] · · · Fn) ∩ ρj = , j = 1, . . . , n,

(25.12)

где ρj = σ1 ∩ . . . [j] · · · ∩ σn.

В самом деле, импликация (25.10) (25.12) очевидна. Для доказательства обратной импликации заметим, что при условии (25.12)

Fi ∩ ρj = для всех j ̸= i.

(25.13)

Поскольку {ρj}j̸=i — семейство всех ребер грани σi, и если бы, вопреки (25.10), Fi пересекал σi, то будучи гиперповерхностью, Fi пересекал хотя бы одну (2n − 2) — мерную грань σi ∩ σj, следовательно, — хотя бы одну

(2n − 3) – мерную грань σi ∩ σj ∩ σk,...,следовательно, — хотя бы одно из ребер ρj, j ̸= i. Но это противоречит (25.13).

Доказательство теоремы 25.2. Введем следующие обозначения:

k

n

\[

F k = Fj, kF =	Fj, k = 1, . . . , n − 1,
j=1	j=k+1