Математика для инженеров(практика) I часть

Пример 8. Найти смешанное произведение векторов a = i - 2 j - 3k , b = i + 4 j - 5k , c = i + j + 7k .

Решение. Имеем

								1 -2 -3									4	-5		+ 2 ×		1 -5			- 3			1 4				=
				abc =				1 4 -5								=1×
								1	1					7			1	7				1	7					1		1
		= 33 + 2×12 - 3×(-3) = 66. □
		Пример 9.												Являются						ли			компланарными											векторы
a = (4;10;14),											= (2;2;-2), c = (3;6;6).
										b
		Решение.												Находим						смешанное													произведение
векторов
				4		10			14
						2 -2							= 4 × 2×6 + 2 ×6×14 -10 × 2 ×3 - 3× 2×14 - 2 ×10 ×6 + 4×6 × 2 =
abc =				2
				3		6			6
= 48 +168 − 60 − 84 −120 + 48 = 0 .																				Так			как										то	заданные
																									abc = 0 ,
векторы компланарны.																	□

Пример 10. Вычислить (2a - b )(b + c )(c - 3a ).

Решение.

(2a - b )(b + c )(c - 3a ) = (2a - b )(b + c )c - (2a - b )(b + c )×3a =

=(2a - b )×b ×c + (2a - b )×c ×c - (2a - b )×b ×3a - (2a - b )×c ×3a =

=2a b c - b b c + 2a c c - b c c - 6a b a + 3b b a - 6a c a + 3b c a.

Так как смешанное произведение векторов, среди которых имеются равные, − нуль (соответствующие три вектора в этом случае компланарны), то в полученной сумме

отличен от нуля только член b c a = a b c . Следовательно,

(2a - b )(b + c )(c - 3a ) = 5a b c. □

Пример 11. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами

A(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3) и D(3;7;2).

111

Найти длину высоты пирамиды, опущенной на грань АВС.

Решение. Найдем векторы AB, AC и AD (рис. 3), совпадающие с ребрами пирамиды, отложенные от

вершины А:

AB

= (2;3;4),

AC

= (6;2;2),

AD

= (3;7;1).

Рис.

3

Находим смешанное произведение

этих векторов

2

3

4

= 2 ×

2 2

- 3×

6 2

+ 4 ×

6 2

=

=

6 2 2

AB

AC

AD

3

7

1

7

1

3

1

3

7

= -24 - 3×0 +

4×36 =120.

Так как

объем

пирамиды

(рис. 3)

равен

1

части

6

объема парал-

лелепипеда, построенного на векторах

,

и

, то

AB

AC

AD

V

=

120

= 20 (куб.ед.). С другой стороны, V

=

1

S

осн.

× Н и

3

пир.

6

пир.

H =

3V

.

Sосн.

Найдем Sосн. =

1

´

, имеем

AB

AC

2

´

=

i

j

k

=

3 4

-

2 2

+ k

2 3

= -2

+ 20

-14

=

AB

AC

2 3 4

i

j

i

j

k

6

2

2

2

2

6

2

6

2

= -2(i -10 j + 7k ).

Тогда

´

= 2 ×

Sосн. =

2 150

=

= 5

AB

AC

1+100

+ 49

= 2

150,

150

6.

2

3V

3× 20

3

× 4

Отсюда

H =

=

=

=

3 × 2 2 = 2 6. □

S осн.

5

×

6

3

2

112

Пример

12.

Лежат

ли

точки

A(5;7;−2), B(3;1;−1),

C(9;4;−4), D(1;5;0)

в одной плоскости?

Решение.

Векторы

,

,

имеют координаты:

AB

AC

AD

= (-2;-6;1),

= (4;-3;-2),

= (-4;-2;2).

Вычислим

AB

AC

AD

смешанное произведение этих векторов:

-2 -6

1

-3

-2

4 -2

4 -3

×

×

=

4 -3

-2

= -2

+ 6

+1×

=

AB

AC

AD

-4

-2

2

-2

2

-4 2

-4 -2

= 20 + 0 - 20 =

0.

Так как смешанное произведение равно нулю, то эти векторы компланарны. Значат точки А, В, С, D лежат в одной плоскости. □

Задания для самостоятельной работы

1.Найти векторное произведение векторов:

а) a = 2i + 3 j - k , b = i - 3 j + 2k ;

б) a = 2i + 3 j + 5k , b = i + 2 j + k ;

в) a = -2i + 3 j - 2k , b = 4i + 2 j + k ;

г) a = 6i + 3 j - 2k , b = 3i - 2 j + 6k ;

д) a = 2i +11j -10k , b = 3i + 6 j - 2k ;

е) a = (1;2;−2), b = (8;6;4);

ж) a = (3;−1;2), b = (2;−3;−5);

з) a = (2;−1;1), b = (−4;2;−2).

2.Даны векторы a = (3;−1;−2) и b = (1;2;−1) . Найти координаты векторных произведений:

а) a ´

;

б) (2a +

)´

;

в) (2a -

)´(2a +

).

b

b

b

b

b

113

3.Раскрыть скобки и упростить выражения:

а) (3a − 4b )× (2a + 5b );

б) (2

− 3

+ 4

k

)× (4

+ 5

− 6

k

);

i

j

i

j

в)

× (

+

) −

× (

+

) +

× (

+

−

);

k

k

k

k

i

j

j

i

i

j

г) 2

× (

×

) + 3

× (

×

) + 4

× (

×

);

k

k

k

i

j

j

i

i

j

д) (2a +

)× (c − a ) + (

+ c )(a +

).

b

b

b

4.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах:

а) a = 2

+

+ 3

и

=

+

+

;

k

b

k

i

j

i

j

б) a = 2

+

+ 2

и

= 3

− 4

+ 2

;

k

b

k

i

j

i

j

в) a = −

+

и

=

+

+

;

k

b

k

i

i

j

г) a = 2

+ 3

−

и

=

−

+

.

k

b

k

i

j

i

j

5.

Вычислить площадь треугольника с вершинами:

а)

A(7;3;4), B(1;0;6), C(4;5;−2);

б)

A(1;1;1), B(2;3;4), C(4;3;2);

в)

A(3;−1;4), B(2;4;5), C(4;4;5);

г)

A(1;1;3), B(3;−1;6), C(5;1;−3);

д)

A(−1;1;5), B(3;−4;5), C(−1;5;2).

6.

Даны вершины

треугольника

A(3;−4;5), B(5;−3;7)

и C(6;−8;7).

Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины С на

сторону АВ.

7.

Найти

длину

высоты

AD

треугольника

АВС,

если

= 2

−

+

,

= 3

− 4

+

.

AB

AC

k

k

i

j

i

j

8.

Дан

треугольник

с

вершинами

в

точках

A(4;2;5), B(0;7;2), C(0;2;7). Вычислить длину его высоты BD.

9.

Векторы a

и

образуют угол ϕ =

2

π . Зная, что

a

=1,

= 2,

b

b

вычислить:

3

114

é

ù

2

é

ù2

а) a ´b ; б)

; в)

.

ë(2a + b ) ´ (a + 2b )û

ë(a + 3b ) ´ (3a - b )û

10. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы d1 = 3a - b , d2 = a + 5b, если a = 2, b = 3 и угол

между векторами a и b равен π6 .

11. Найти синус угла между векторами a и b :

а) a = (2;−2;1), b = (2;3;6); б) a = (2;−4;4), b = (2;1;−2);

в) a = (2;1;2), b = (−2;2;1).

12.Сила F = (3;2;-4) приложена к точке A(2;−1;1) . Определить момент этой силы относительно начала координат.

13.Сила F = (2;2;9) приложена к точке A(4;2;−3) . Определить

величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно C(2;4;0).

14. Даны три силы F1 = (1;1;1), F2 = (3;-1;-1), F3 = (-3;-2;1) ,

приложенные к точке A(1;2;3) . Определить величину момента их равнодействующей относительно точки (0;−1;−1).

15. Сила F = (3;-4;2) приложена в точке A(2;1;2) . Найти величину и

направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

16. Являются ли векторы a и b коллинеарными:

а) a = 3i + 4 j + k , b = 6i + 8 j + 2k ;

б) a = i + j + k , b = 3i + 3 j + k ;

г) a = 2i + k , b = 2i + j + 3k .

17. Выяснить, при каком значении α компланарны векторы a, b, c :

а) a = (α +1)i + 7 j - 3k , b = i +α j - k , c = 8i + 3 j - 7k ;

б) a = i +α j + k , b = i + (α +1) j + k ,с = i +α j - k .

115

18. Определить, при каких значениях α и β вектор α i + 3 j + β k будет коллинеарен вектору a × b , если a = (3;−1;1), b = (1;2;0).

19.Докажите, что точки (3;−1;2), (1;2;−1), (−1;1;−3) и (3;−5;3) служат вершинами трапеции.

20.Найти смешанное произведение векторов:

а)

a = (1;2;1),

= (1;2;−2), c = (8;6;4);

b

б) a = (9;7;8),

= (6;4;5), c = (1;2;3);

b

в)

a = (3;1;−1),

= (2;0;−3), c = (1;1;1);

b

г)

a = (1;−1;1),

= (7;3;−5), c = (−2;2;−2);

b

д) a = (1;−1;3),

= (−2;2;1), c = (3;−2;5);

b

е)

a = (2;3;5),

= (7;1;−1), c = (3;−5;−11).

b

21. Являются ли компланарными векторы:

а)

a = (3;−2;1),

= (2;1;2), c = (3;−1;−2);

b

б) a = (2;−1;2),

= (1;2;−3), c = (3;−4;7);

b

в)

a = (2;0;1),

= (5;3;−3), c = (3;3;10);

b

г)

a = (2;1;2),

= (1;2;2), c = (2;2;1);

b

д) a = (1;7;1),

= (8;1;8), c = (1;2;1).

b

22. Вычислить:

а)

a

(c + αa + β

) , где α и β − любые числа;

b

b

б) (a +

)(

+ c )(c + a);

в) (a +

+ c )(a − 2

+ 2c )(4a +

+ 5c );

b

b

b

b

b

г) (a + c )

(a +

);

д) (a −

)(a −

− c )(a + 2

− c ).

b

b

b

b

b

23. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках:

а) A(3;5;4), B(8;7;4), C(5;10;4), D(4;7;8);

б) A(1;3;2), B(5;2;−1), C(5;5;6), D(2;2;4);

116

в) A(2;−3;5), B(0;2;1), C(−2;−2;3), D(3;2;4);

г) A(1;2;6), B(0;3;8), C(−5;−1;4), D(−3;2;−6);

д) A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6), D(2;3;8).

24. Даны вершины тетраэдра. Найти длину высоты из указанной

вершины на указанную грань:
а)	A(−5;−4;8), B(2;3;1), C(4;1;−2), D(6;3;7) − из А на ВСD;
б)	A(3;5;4), B(8;7;4), C(5;10;4), D(4;7;8)				− из D на AВС;
в)	A(1;1;1), B(2;0;2), C(2;2;2), D(3;4;−3)				− из D на AВС;
г)	A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6), D(2;3;8) − из D на AВС;
д)	A(2;3;1), B(4;1;−2), C(6;3;7), D(−5;−4;8) − из D на AВС.
25. Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости:
а)	A(1;2;−1), B(0;1;5), C(−1;2;1), D(2;1;3);
б)	A(0;2;−1), B(3;1;1), C(2;−1;0), D(−4;1;2);
в)	A(3;1;4), B(−1;1;6), C(5;2;2), D(−1;6;1);
г)	A(5;5;4), B(3;8;4), C(3;5;10), D(5;8;2);
д)	A(1;2;−1), B(0;1;5), C(−1;2;1), D(2;1;3).
26.	Объем	пирамиды	с	вершинами			в	точках
A(4;1;−2), B(6;3;7), C(2;3;1), D(x;−4;8) равен 51						1	куб ед. Найти х.
					3

Ответы и указания

§1

1.а) 13; б) 3; в) 10; г) 7; д) 11. 2. p = 5 + 13 . 3. а) 60; б) 15; в) 6;

г) 18. 4. Указание. Построить	ABC в декартовой системе
координат и рассмотреть его	площадь, как линейную

117

комбинацию площадей соответствующих трапеций. 5. См.

решение примера 5. 6. а) (−3;−3); б) (0;0); в) (2;−5;4); г) (1;1;-5).

7. М(0;1;0). 8. С(−6;4;3). 9. 10 2 . 11. Тупоугольный. Указание:

3

Зная длины сторон а, b, c треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно установить, является ли данный треугольник

прямоугольным

( a2 + b2 = c2 ),

остроугольным ( c2 < a2 + b2 )

или

тупоугольным ( c2 > a2 + b2 ). 12. (8;−1;10). 13. С(1;0),

C (6;0) . 14.

7. 15. (−1;8),

16. Центр

1

(1;9),

(3;10).

масс

О однородного

стержня находится в его середине; О(3;−2;−2). 18. а)

æ

5π

ö

M1 ç 2;

÷ ;

3

è

ø

æ

3π ö

в) M3 (7;π ) ; г)

æ

4π ö

æ

3π

ö

б) M2 ç

3;

÷

;

M4 ç

2 2;

÷

; д)

M5 ç

2;

÷

;

е)

3

4

è

π

2 ø

è

ø

è

ø

æ

ö

19.

а)

M1(-5;0) ;

б)

M2 (0;10) ;

в)

M3 (-1;1) ;

2;

M6 ç

4

÷.

è

ø

æ

ö

г)

M

2

2

;

д) M

;

е) M

20.

Указание:

;-

(1;

3)

(-

2;- 2).

4

ç

÷

5

6

ç

2

2

÷

è

ø

использовать

формулы

(2)

и

(4).

21. а) 13 + 6

б) 5; в)

;

2;

65

г)

22.

æ

π

ö

æ

π

ö

æ

π

ö

æ

5π

ö

E (5;π ;2),

2 .

Aç

2;-

;2

÷;

B

ç3;

;1÷

; C ç

4;

;3÷

;

Dç

2;

;0÷

,

4

2

6

4

è

ø

è

ø

è

ø

è

ø

æ

3π

ö

æ

π

ö

23.

B (1;

3;4) ,

F

ç

2;

;1÷ ,

G ç

2;

;3

÷ .

A(1;1;2),

4

3

è

ø

è

ø

æ

ö

æ

ö

C

3

3

, D

(

)

, E

1

3

, F 1;-1;-2

)

G

(

0;-6;-1 .

ç

;

;0÷

0;1;3

ç

;

;4

÷

,

ç

2

2

÷

ç

2

2

÷

(

)

è

ø

è

ø

24. а)

æ

π

ö

æ

π

ö

æ

2π ö

б)

æ

7π

ö

æ

5π

ö æ

π

ö

ç6;-

÷

,

ç

8;

÷

,

ç

2;

-

÷;

ç

6;

÷,

ç8;

÷,

ç 2;-

÷.

6

6

6

6

3

è

ø

è

ø

è

3 ø

è

ø

è

ø è

ø

25. а) 3 ; б) 40 . 26. (6;−1), (5;−3). 27 (12;−2;−11). 28. 13. 29. (4;2). 30. 83 .

§ 2

118

1. а) a = -2																										- 3																	+ 3															;													б) a = 4																					- 2												+ 4												;						в) a = 4												- 8										+ 0										;
																																																							k																																																										k																																						k
																							i																j																																																		i												j																																i								j
г)			a = 0														- 2														- 3																.														2. а)											m2 - m +1;																																б)										m2 + m +1.												3.																3
																																																																																																																																																				10.
													i															j																k
																																																																																																																																											4
																																																	1																															-3																																						-6
4. а)																								cosα =																																							,				cos β =																										,						cosγ =																						;
															46,
																																																	46																															46																																						46
б)																cosα =																								3														,							cos β =															-2							,							cosγ =																					2							;
						17,
																																								17																																				17																																			17
в)
			4, cosα = 0,																																	cos β = −1,																															cosγ = 0;
г)		70, cosα =																											2				,												cos β =																			3		,						cosγ =														6				;
																										7																																					7
																																																																																7
5. а)																																								1											,cos β =																			-			1		, cosγ =																				-				2			;
										6, cosα =
																																								6																																6																									6
																																								8																																																		3
б)							73			,cosα =																																								,cos β =0, cosγ =																																																	;
		2
																																								73																																																		73
в)			3		, cosα =																					1						, cos β =																												2			,				cosγ =													2				;
		5																								3																																	3																					3
г)											cosα =																													3										,cos β =																					4						, cosγ =																							2							.
						29,
																																								29																																29																									29
6.																																																							cosα =																	9							,																				cos β =																					8		,				cosγ =																				3						.
																		154,
																																																																								154																																																154																									154
7. а) a =																			1								+								2											-						2									;												б) a =																	4								+					3							;											в) a =				1							+					2						-				2						;
																																																											k																																																	k																																										k
																								i																		j																																																						i																																i												j
		0									3																					3																	3																															0										5							5																									0	3										3												3
г)		a0 =									2									-					3												+								6										.				8. а)												−2 ; б) 0; в) 11; г) 4; д) 8; е) 11; ж) 3; з)
																i																j																		k
										7															7
																																								7
0. 9. а) m = -																															3						; б) m = -																												16						;		в) m = 1, m = −4;																																										г)					m = 2 ; д) m = 4.																					10. а)
																														5
																																																															10																																																			π
π			б)																							63																		в) arccos																							5						г) 180															o			; д) ϕ =																												; е)				æ			-							8 ö								11. а)
2	;									arccos																												;																																	;																																												4							arccosç														÷.
																										65																																									9																																																								è							18 ø
9;			б)								−61;																							в)															13.														12.										а)							11;																	б) −28.																							13. çæ			15						;				25							;0÷ö												и
																																																																																																																										è	17										17												ø

	æ		15			25			ö	15.	æ			2			ö		16.							17.
																					10 .
	ç	-			;-			;0	÷.		ϕ = arccosç						÷.
	è		17			17			ø		è			7			ø
	ÐB = 90o , ÐС = 45o .									18. а) прa			=			4		,	пр		a =		4	;		б)
												b
														15					b		3

ÐA = 45o ,

прa b = 203 ,

119

	пр		a =			20	; в) прa				=	75			,			пр				a = 3. 19. 4. 20. 3. 21. 2													. 22.	4		21			.
																																		3
										b
	b		7									11								b																	7
	23. а) c = -3a + 2								, б) c =								1		a +				11				, в) c = 0× a - 2			.		24. p = 2a - 3										.
								b																		b			b										b
																16
																			16
	25.		a = −2a1 + a2 − a3.									26.					a = −2a1 − 3a2 + a3. 27. 4. 28. −18. 29.																				75.
	30.				= (-4;-3;-1). 31.																			. 32. (4;0;6). 34.				43					.
														139,						487
				h
																			25												13
																			§ 3

1. а) 3i - 5 j - 9k ; б) -7i + 3 j + k ; в) 7i - 6 j -16k ; г) 14i - 42 j - 21k ;

д) 38		- 26		- 21		;	е) (20;-20;-10) ; ж) (11;19;-7) ; з) (0;0;0) .
	i		j		k
2. а) (5;1;7); б)							(10;2;14); в) (20;4;28). 3. а) 23(a ´		) ; б)
								b

-2i + 28 j + 22k ; в) -2i + 2k ; г) 3; д) a × c . 4. а) S = 6 кв. ед.; б)

	S = 15 кв.			ед.; в) S =		6	кв. ед.; г)		S =			38		кв. ед. 5.			а) 24,5; б)
	2		; в)		; г) 14; д) 12,5. 6. 5. 7.					14	. 8. 3					. 9. а)		; б) 27; в)
		6		26											5		3
									2

	300.	10.	24.				11.		а) sinϕ =					5		17	;	б) sinϕ =					65	;		в) sinϕ = 1 .
															21							9
	12. (2;11;7). 13. 28; cosα = -									3		, cos β = -						6	, cosγ =	2	.	14.
																									M			=	27. 15.
									7									7		7
	15;	cosα =	2		,cos β =			2	,cos = -		11		.		16. а)				Да; б)	нет;				в) нет.					17. а)
			3
							15		15
	α1 = 1, α2 =			13		;	б) нет таких α . 18. α = −6, β = 21.															20. а) −30; б) −9;
			7

в) 2; г) 0; д) − 7; е) 0. 21. а) Нет; б) да; в) нет; г) нет, д) да. 22.

а)

a

c ; б) 2 a

c ; в) 0; г) − a

c ; д) 3 a

c . 23. а) 14; б) 9; в) 6; г)

b

b

b

b

62

; д) 14. 24. а) 11; б) 4; в) 3

; г)

; д) 11. 25. а) Да; б) нет;

2

14

3

в) да; г) нет; д) да. 26. x = -5, x

2

= 46

1

.

1

3

120