Математика для инженеров(практика) I часть

а) a = 2i + 3 j + k - 12 (2i + 8 j + 6k );

æ

1

1

ö

б)

a = 5i + 3 j + 2k - 3

ç

i

+ j +

k ÷

;

3

6

è

ø

в) a = i + 2 j + k - 15 (4i + 8 j + 3k );

г) a = -i + 8 j - 6k + 4(i - j + 2k ).

6. Найти длину и

направляющие

косинусы вектора

если

d

= 3a - 5b + c ,

a = 4

+ 7

+ 3

,

=

+ 2

+

, c = 2

- 3

-

.

k

b

k

k

i

j

i

j

i

j

7. Нормировать вектор a :

а) a =

+ 2

- 2

;

б) a = 4

+ 3

;

k

k

i

j

i

в) a =

1

+

2

-

2

;

г) a = 2

- 3

+ 6

.

k

k

i

j

i

j

3

3

3

8. Найти скалярное произведение векторов a и

:

b

а) a = 2

+ 3

-

,

=

+ 4

;

б) a =

- 3

,

= 3

+ 2

+

;

k

b

k

k

b

k

i

j

i

i

i

j

в) a =

1

+

2

+

,

= 2

+ 3

+ 8

;

k

b

k

i

j

i

j

3

2

г) a = -2

+

2

,

= -

+ 5

+ 8

;

b

k

i

j

i

j

5

д) a = -2

+ 3

-

,

=

1

+ 2

- 3

;

k

b

k

i

j

i

j

2

е) a =

5

-

2

+

,

= 6

+ 3

+ 8

;

k

b

k

i

j

i

j

3

6

ж) a = 4

-

,

= -

- 7

;

b

i

j

i

j

з) a =

+ 2

-

,

= -4

+ 2

k

b

i

j

i

j

9. При каком значении m векторы a и

перпендикулярны:

b

101

а) a = 2mi

+ 3 j + k , b = i + mj + 3k ;

б) a = 3

+

,

+ k

b

+ 8k ;

i

j

= 3mi

+ mj

в) a = 3

+

2

+ 4

,

- 2

;

k

b

k

i

mj

= 2mi

+ 3mj

3

г) a =

+ 2

,

- 3

+ 2

;

+ mk

b

k

i

j

= mi

j

+ 3

+ 4

,

= 4

- 7

.

k

b

k

д) a = mi

j

i

+ mj

10

. Определить угол между векторами a и

:

b

а) a = 5

+ 6

,

= 6

- 5

;

б) a = 3

+ 4

,

= 5

+12

;

k

b

k

b

k

i

i

j

j

i

в) a =

-

+

,

= 5

+

+

; г) a =

-

+

,

= -2

+ 2

- 2

;

k

b

k

k

b

k

i

j

i

j

i

j

i

j

д) a = 4

-10

+

,

=11

- 8

- 7

;

k

b

k

i

j

i

j

е) a = 2

-

- 2

,

= 2

+ 4

+ 4

.

k

b

k

i

j

i

j

11

. Даны

a

= 3 и

= 4 ,

угол между векторами

a

и

b

b

равен

2π

. Найти: а)

a2

; б) (3a - 2

)(a + 2

);

в)

(a +

)2.

b

b

b

3

12

. Даны три вектора:

a = (1;-1;1),

= (5;1;1)

и

c = (0;3;−2).

b

Найти:

а)

a

2 +

c

2 - (a ×

)×(

×c ); б) (a ×c )×(a ×

)-

a

2 ×(

×c ).

b

b

b

b

13

. В плоскости Оху найти вектор

, перпендикулярный

b

вектору

a = (5;−3;4)

и

имеющий одинаковую

с

ним

длину.

14

=

×(a ×c ) - c ×(a ×

) ортогонален вектору

. Доказать, что вектор d

b

b

a .

102

15

. Вычислить угол ϕ между векторами a +

и a −

, если

b

b

π

векторы

a

и b

образуют

угол,

равный

и

6

=

=1.

a

3,

b

16

.

Дана

точка

A(3;0;5)

и

вектор a =

− 9

+ 3

.

Найти

i

j

k

длину вектора

, перпендикулярного вектору

a , если

AB

известно, что точка В принадлежит оси Oz.

17

.

Найти

внутренние

углы

треугольника с

вершинами

A(1;7;2), B(5;−3;3), C(12;−1;−5).

18

. Найти прa

и пр

a , если

b

b

а)

a = (10;2;−11),

= (−2;1;−2);

б)

a = (2;2;1),

= (6;3;2);

b

b

в)

a = (1;−3;1),

= (12;−16;15).

b

19

.

Даны

три вектора:

a = (7;−5;3),

= (−2;4;−7), с = (4;4;−2).

b

Вычислить прc (a +

) .

b

20

.

Даны

две

точки

P(−5;7;6), Q(7;−9;9).

Вычислить

проекцию вектора a = (1;−3;1) на вектор

.

PQ

21

.

Найти проекцию

вектора

a = (1;2;3)

на

ось l ,

образующую с координатными осями равные острые углы.

22.

Вычислить

пр(

+c )a,

если

b

a = (4;3;8),

= (4;−9;8), с = (7;1;−6).

b

23.

Представить вектор c через

пару неколлинеарных

векторов a,

, если:

b

а)

с = (7;−5),a = (−1;3),

= (1;2);

b

б)

с = (−1;2),a = (−5;−1),

= (−1;3);

b

в)

с = (2;−6),a = (−5;−1),

= (−1;3).

b

103

24.	Даны	три	вектора			a = (3;−1),		= (1;−2), с = (−1;7).
							b
Представить вектор p = a +					+ c	через пару векторов a и
				b

b , предварительно показав, что они неколлинеарны.

25	. Даны векторы		a1 = (1;0;0), a2 = (1;1;0), a3 = (1;1;1).		Разложить
	вектор a = (−2;0;1)		по векторам a1, a2 , a3.
26	. Даны	три вектора		a1 = (3;−2;1), a2 = (−1;1;2), a3 = (2;1;−3).
	Найти	разложение		вектора a = (11;6;−7)	по базису

a1, a2 , a3.

27. Вычислить, какую работу производит равнодействующая сил

F1 = (1;−3;4), F2 = (2;5;−5), F3 = (7;−8;9), приложенных в одной точке, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения S1(3;−2;4) в положение S2 (6;8;7) .

28.

Под действием силы

= (5;2;1) точка перемещается из

F

.

C(3;0;3) в D(−1;2;1) . Найти работу силы F

29.

Даны три силы

F1 = (2;4;3), F2 = (3;−2;5), F3 = (−1;3;−2),

приложенных в одной точке. Вычислить работу равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения S1(2;−1;3) в положение S2 (7;4;8) .

30. Найти координаты вектора, совпадающего с высотой параллелограмма, построенного на векторах

a = (−1;2;−2), b = (3;5;−1), перпендикулярной к стороне a .

31. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на

векторах								a = 2 p − 3q и	b	= 3p + 4q , если известно, что
	p		= 2,		q		= 3	и угол между ними ϕ =			π .
											3

104

32	.	Даны		вершины		параллелограмма
		A(−3;5;6), B(3;2;1), C(6;4;4) . Найти его четвертую вершину.
33	. Доказать,		что четырехугольник с вершинами A(−3;5;6),
		B(3;2;1), C(6;4;4) и		D(4;7;−2) − квадрат.
34	.	Найти	косинус		угла	между	диагоналями
	параллелограмма,			если	заданы три		его вершины
		A(2;1;3), B(5;2;−1), C(−3;3;−3) .
35	.	Доказать,		что	cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1,			где

cosα,cos β ,cosγ − направляющие косинусы вектора.

36. Средствами векторной алгебры доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

§ 3. Векторное и смешанное произведение векторов

Тройку векторов называют упорядоченной, если указано,

какой из векторов считается первым, какой вторым и какой третьим. В записи (a;b;c ) вектор a считается первым, b – вторым, c – третьим; в записи (c;b;a) вектор c – первый, b –

второй, a – третий.

Упорядоченная тройка некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму вектору можно совершить против часовой стрелки. В противном случае указанная тройка векторов называется

левой.

10. Векторное произведение двух векторов. Векторным

произведением векторов a и b называется вектор c , длина которого численно равна S − площади параллелограмма,

построенного на векторах a и b , приведенных к общему началу, который перпендикулярен перемножаемым векторам и

направлен так, что векторы a,b ,c образуют правую тройку векторов

(рис. 1).

Из определения векторного произведения следует, что

(рис.1)

105

c

=

a

sinϕ = S ,

(1)

b

где ϕ – угол между векторами a

и

, S – площадь

b

параллелограмма.

Векторное произведение

двух

векторов a и

b

обозначают символом

é

ù

é

ù

a ´b , или

ëa b û , или

ëa,b û .

Рис. 1 Рис. 2

Выясним физический смысл векторного произведения. В

физике момент силы F с точкой приложения А относительно точки О изображают вектором OM , перпендикулярным

плоскости, в которой

лежат точка

О

и

вектор

(рис. 2).

F

Длина

вектора

OM

определяется

как

произведение

длины

вектора

на

плечо

h , где h – расстояние от

точки

О до

F

прямой, на которой лежит вектор силы

F

,

т.е.

OM

=

F

× h , или

OM

=

F

r

точки

приложения

sin(F, r ), (r = OA – радиус-вектор

силы F) . Таким образом, момент силы F относительно некоторой точки O , есть векторное произведение радиус-

вектора r точки приложения силы на вектор силы

:

F

OM

=

r

´

F

.

Свойства векторного произведения.

1) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак

(антикоммутативность), т.е.

a ´

= -(

´ a) .

(2)

b

b

2) Ассоциативность:

(α a)´

= α (a ´

), α Î .

(3)

b

b

106

3) Дистрибутивность:

(a +

)× c = a × c +

× c .

(4)

b

b

4) Векторное произведение

a ×

= 0 ,

если a

и

–

коллинеарные

b

b

векторы. Пусть

векторы

a и

заданы своими координатами:

b

a = (a1;a2;a3),

= (b1;b2;b3 ) .

Тогда

b

i

j

k

a ×

=

a1

a2

a3

.

(5)

b

b1

b2

b3

Пример 1. Найти векторное

произведение

векторов

a = 3

+ 2

+ 7

и

= 2

+

+

.

k

b

k

i

j

i

j

Решение.

a ×

=

i

j

k

=

2

7

−

3

7

+

3

2

=

b

3

2

7

k

i

j

2

1

1

1

1

2

1

2

1

= −5i +11j − k . □

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма,

построенного на векторах a = 5

+ 3

− 4

и

= 3

− 2

+ 7

.

k

b

k

i

j

i

j

Решение. Находим векторное произведение векторов

a и

:

b

i

j

k

3

−4

5

4

5

3

a ×

=

5

3 −4

=

−

+

=

b

k

i

j

3

−2

7

−2

7

3

7

3

−2

=13i − 47 j −19k . □

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них

параллелограмма,				то			S =	a ×			=
									b
= 132 + 472 +192 =				=		(кв.ед.). □
			169 + 2209 + 361		2739
	Пример 3.		Вычислить площадь				треугольника с

вершинами A(1;2;3), B(2;3;4), C(3;4;6).

Решение. Находим векторы AB и AC :

107

AB = (2 -1)i + (3 - 2) j + (4 - 3)k = i + j + k ,

AC = (3 -1)i + (4 - 2) j + (6 - 3)k = 2i + 2 j + 3k .

Площадь треугольника АВС равна половине площади

параллелограмма, построенного на векторах AB и AC , поэтому находим векторное произведение этих векторов:

´

=

i

j

k

=

1 1

-

1 1

+ k

1 1

=

-

+ 0×

AB

AC

1 1 1

i

j

i

j

k

.

2

2

3

2

3

2

3

2

2

1

1

2

Следовательно,

SABC =

AB ´ AC

=

1+1 =

(кв.ед.). □

2

2

2

Пример 4. Вычислить площадь параллелограмма,

построенного на векторах

2a +

и

4a + 3

, если

a

=

=1,

b

b

b

а угол между векторами a

и

равен 30o .

b

Решение.

Имеем

(2a +

) ´ (4a + 3

) = 8a ´ a +

´ 4a + 6a ´

+

b

b

b

b

+3

´

= 8×0 - 4a ´

+ 6a ´

+ 3×0 = 2a ´

(поскольку

a × a =

b

b

b

b

b

´

= 0,

´ a = -a ´

).

b

b

b

b

Итак, S = 2

a ´

= 2 ×1×1×sin30o =1 (кв.ед.). □

b

Пример

5.

Даны

вершины

треугольника

A(1;−1;2), B(5;−6;2)

и C(1;3;−1). Вычислить длину его высоты,

опущенной из вершины В на сторону АС.

Решение.

Найдем

и

´

.

Имеем

AC

AB

AC

= (0;4;-3) ,

= (4;-5;0).

Тогда

=

42 + (-3)2 =

= 5,

AC

AB

AC

25

´

=

AB

AC

i

j

k

-5 0

4 0

4

-5

=

4 -5 0

=

i

-

j

+

k

=15

i

+12

j

+16

k

,

0

4

-3

4

-3

0

-3

0

4

108

AB × AC = 15i +12 j +16k = 152 +122 +162 = 625 = 25.

AB

×

AC

25

Тогда длина искомой высоты h =

=

= 5. □

5

AC

Пример 6. Даны три силы F1 = (2;−1;−3), F2 = (3;2;−1)

и

C(−1;4;−2).

F3 = (−4;1;3), приложенных

к точке

Определить

величину и направляющие косинусы момента

M

равнодействующей этих сил относительно точки A(2;3;−1).

Решение. Найдем координаты вектора

−

R

равнодействующей сил

F1, F2 , F3 :

R = F1 + F2 + F3 = (1;2;−1).

Далее находим момент силы R относительно точки А. Так как AC = (−3;1;−1), то, учитывая, что момент силы M

относительно данной точки есть векторное произведение этой силы на радиус-вектор точки приложения, будем иметь:

i

j

k

1 −1

−

−3

−1

+

−3 1

=

− 4

− 7

.

M

= AC × R =

−3 1 −1

=

i

j

k

i

j

k

1

2

−1

2

−1

1

−1

1

2

Тогда

=

=

Пронормировав

вектор

M

1+16 + 49

66.

M

,

имеем

=

1

−

4

−

7

,

то

есть

cosα =

1

,

M

0

i

j

k

66

66

66

66

cos β = −

4

,

66

cosγ = −

7

. □

66

Из

свойства

4)

и

формулы

(5)

вытекает, что

два

ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда для их координат выполняется равенство

a1 = a2 = a3 . b1 b2 b3

109

Пример 7. Даны векторы a = 2

i

+ 2

j

+

k

и

= 4

+ 4

+

. Являются ли векторы коллинеарными?

b

k

i

j

Решение. Проверим условие коллинеарности векторов в координатах ортонормированного базиса:

24 = 24 ¹ 11.

Векторы a и b неколлинеарны. □

20 . Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением векторов a, b и c называют скалярное произведение вектора a ×b на

вектор c , т.е. (a ×b ) c . Обозначают также abc или (a, b , c ). Смешанное произведение (a ×b ) c равно объему V

параллелепипеда, построенного на векторах a,b ,c , взятому со знаком «+»,

если тройка a,b ,c – правая, со знаком «–», если тройка a,b ,c – левая.

Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный, т.е.

a b c = b c a = c a b = −(b a c ) = −(c b a) = −(a c b ).

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов a,b ,c является равенство нулю их смешанного произведения:

Если векторы a,

,c

ab

c = 0 .

(6)

заданы

своими координатами,

т.е.

b

a = (a1;a2;a3 ),

= (b1;b2;b3 ),

c = (c1;c2;c3 ), то

b

(a ×

) c =

a1

a2

a3

b

b1

b2

b3

.

(7)

c1

c2

c3

Отметим также, что объем треугольной пирамиды, образованной векторами a,b ,c , равен 16 ab c .

110