Семінарське заняття 21

Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини

Питання для усного опитування та дискусії

18.1. Дискретна випадкова величина, її закон розподілу.

18.2. Приклади дискретних випадкових величин.

18.3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його імовірнісний зміст.

18.4. Дисперсія, середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

19.1. Неперервна випадкова величина, її функція розподілу. Властивості функції розподілу.

19.2. Щільність розподілу, її властивості.

19.3. Числові характеристики неперервних випадкових величин.

19.4. Приклад випадкової величини змішаного типу.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : дискретна випадкова величина, неперервна випадкова величина, випадкова величина змішаного типу, математичне сподівання та його властивості, дисперсія та її властивості, середнє квадратичне відхилення, функція розподілу, щільність розподілу.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Дискретні випадкові величини, їх характеристики

1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Випадковою називається величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, залежне від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими буквами , а їх значення – відповідними малими буквами.

Дискретною називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями.

Наприклад, кількість правильних відповідей на три питання деякої вікторини – це дискретна випадкова величина , яка приймає чотири значення:.

Неперервною називають випадкову величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченого проміжку (число можливих значень неперервної випадкової величини нескінченне).

Наприклад, відстань від центру мішені до центру кулі, що влучила у мішень – неперервна випадкова величина.

Щоб задати дискретну випадкову величину, потрібно назвати всі її можливі значення і вказати їх ймовірності.

Закон розподілу (ряд розподілу) дискретної випадкової величини – це відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий у виглядітаблиці, перший рядок якої містить можливі значення , а другий – ймовірності(і=1,2, ,п ):

			...
			...

При цьому . (Якщо множина значеньнескінченна, то рядзбігається до одиниці).

Закон розподілу дискретної випадкової величин можна зобразитиграфічно. Для цього в прямокутній системі координат будуть точки та з’єднують їх відрізками прямих. Одержану фігуру називаютьмногокутником розподілу.

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий у виді формули –аналітично: або за допомогою інтегральної функції.

2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу

Приклад №1. Проводиться незалежних випробувань. В кожному випробуванні подія А може з’явитися з однією і тією ж самою ймовірністю. Позначимо черезчисло появ подіїА у цих випробуваннях. Це – випадкова величина. Задамо закон її розподілу:

	0	1	...		...
			...		...

Ймовірність появиподій ввипробуваннях визначається за формулою Бернуллі:

.

Такий розподіл називається біномним.

Якщо, скажімо, гральний кубик підкинуто тричі та нас цікавить закон розподілу випадкової величини – числа випадань чотирьох очок, то біномний розподіл має вигляд ():

	0	1	2	3

Приклад №2. Якщо проводяться випробування за схемою Бернуллі, причому число – велике, а– мале, то, як відомо, для обчисленняслід користуватися формулою Пуассона

,

де – середнє число появ події в різних серіях випробувань. Одержуємо закон розподілу Пуассона ймовірностей масових рідкісних подій.

Зауважимо, що Пуассон вивчав потоки подій – послідовності подій, які з’являються у випадкові моменти часу. Найпростішим (пуассонівським) називається потік подій, який має наступні властивості:

а) стаціонарність: ймовірність появиподій на будь-якому проміжку часуне залежить від початку відліку, а залежить тільки віді;

б) відсутність післядії: ймовірність появи подій на будь-якому проміжку часу не залежить від того, з’являлися чи ні події в момент часу, що передує початку даного проміжку;

в) ординарність: поява двох і більшого числа подій за малий проміжок часу практично неможлива.

Інтенсивністю потоку називається середнє число подій, які з’являються протягом одиниці часу.

Для найпростішого потоку подій має місце формула:

.

Приклад №3. Нехай проводяться незалежні випробування, у кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює . Випробування закінчуються, як тільки з’явиться подіяА.

Позначимо через число випробувань, які потрібно провести до першої появиА. Це – дискретна випадкова величина, яка може приймати значення . Ймовірність того, що, дорівнює; що, дорівнює, і т.д. Ймовірність того, що, дорівнює. Одержуємо такий розподіл:

	1	2	...		...
			...		...

Цей розподіл називають геометричним.

Приклад №4. Нехай в партії з виробів єстандартних. З партії випадково відібрановиробів. Потрібно скласти закон розподілу дискретної випадкової величини– числа стандартних виробів середвідібраних.

Випадкова величина може приймати значення. Ймовірністьтого, що, визначаємо за формулою

.

Одержаний розподіл називають гіпергеометричним розподілом ймовірностей. Він визначається трьома параметрами – . Пригіпергеометричний розподіл близький до біномного.