- •Змістовий модуль 3.
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •1. Коротка історична довідка
- •2. Випадкові явища та їх природа
- •3. Предмет теорії ймовірностей
- •4. Класичне означення ймовірності
- •5. Статистична ймовірність
- •6. Геометрична ймовірність
- •1. Елементи комбінаторики без повторень
- •2. Елементи комбінаторики з повтореннями
- •3. Співвідношення між подіями
- •4. Операції над подіями. Діаграми Венна
- •5. Формула включень та виключень
- •1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
- •3. Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій
- •Семінарське заняття 20
- •2. Випробування за схемою Бернуллі
- •3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)
- •Семінарське заняття 21
- •Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Дискретні випадкові величини, їх характеристики
- •1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу
- •3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості
- •4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
- •5. Середнє квадратичне відхилення
- •6. Теоретичні моменти
- •1. Функція розподілу та її властивості
- •2. Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу
- •3. Числові характеристики неперервних випадкових величин
- •4. Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику
- •Семінарське заняття 22
- •2. Показниковий розподіл
- •3. Нормальний закон розподілу
- •4. Розподіли, пов’язані з нормальним
- •5.Поняття про розподіли, що використовуються в актуарній математиці
- •Семінарське заняття 24
- •Тема 22. Закони великих чисел та їх застосування у математичній статистиці. Тема 23. Основні поняття математичної статистики
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 25
- •Тема 24. Точкові та інтервальні оцінки. Тема 25. Перевірка статистичних гіпотез
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 26
- •2. Знаходження параметрів теоретичного рівняння регресії методом найменших квадратів
- •3. Властивості вибіркового коефіцієнта кореляції
- •4. Правило перевірки нульової гіпотези
- •Семінарське заняття 27
- •Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
Знаючи лише математичне сподівання величини , неможливо оцінити величину розсіюваннянавколо. Тому вводять до розгляду дисперсію.
Дисперсією дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:
.
Таким чином, для обчислення дисперсії, згідно з означенням, спочатку обчислюють , потім складають закон розподілу величини:
... | ||||
... |
та знаходять .
Для практичного обчислення дисперсії зручніше користуватися формулою
.
Дійсно, Дисперсія має такі властивості:
1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю.
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, піднісши його до квадрату:
.
Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:
.
Аналогічно дисперсія суми кількох взаємно залежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин; дисперсія суми постійної величини і випадкової величини дорівнює дисперсії випадкової величини.
Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:
.
Приклад №7. Визначити дисперсію числа появ події А в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірністьпояви події постійна.
Позначимо – число появ події А внезалежних випробуваннях,– число появ події А в -ому випробуванні (– незалежні випадкові величини). Тоді, і. При цьому, де,. Таким чином,; а.
5. Середнє квадратичне відхилення
Крім дисперсії, для оцінки розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення служить середнє квадратичне відхилення.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь з дисперсії: .
Розмірність співпадає з розмірністю.
Середнє квадратичне відхилення суми скінченого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин:
.
Дійсно, оскільки і, то, або.
Приклад №8. Визначити математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного взаємно незалежних випадкових величин, які мають однаковий розподіл.
Виявляється, що математичне сподівання середнього арифметичногодорівнює математичному сподіваннюкожної з цих величин. Дійсно:
.
Дисперсія середнього арифметичного враз меншавід дисперсії кожної з величин:
. Дійсно:
.
Середнє квадратичне відхилення враз менше середнього квадратичного відхиленнякожної з цих величин:.
Дійсно, .
Таким чином, середнє арифметичне досить великого числа взаємно незалежних випадкових величин має значно менше розсіювання, ніж кожна окрема величина.
6. Теоретичні моменти
Нехай – ціле,– дійсне число.
Моментом -го порядку випадкової величини відносно точкиназивається число .
Якщо , то момент називаєтьсяпочатковим; цей момент позначають через . Наприклад,.
Центральним моментом називається момент відносно точки . Центральний момент-го порядку позначають через. Наприклад,,. Очевидно,.
Розглянуті моменти називають теоретичними. Зауважимо, що у математичній статистиці використовують ще і емпіричні моменти.
Неперервні випадкові величини, їх числові характеристики. Про прийняття рішень в умовах ризику