- •Змістовий модуль 3.
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •1. Коротка історична довідка
- •2. Випадкові явища та їх природа
- •3. Предмет теорії ймовірностей
- •4. Класичне означення ймовірності
- •5. Статистична ймовірність
- •6. Геометрична ймовірність
- •1. Елементи комбінаторики без повторень
- •2. Елементи комбінаторики з повтореннями
- •3. Співвідношення між подіями
- •4. Операції над подіями. Діаграми Венна
- •5. Формула включень та виключень
- •1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
- •3. Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій
- •Семінарське заняття 20
- •2. Випробування за схемою Бернуллі
- •3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)
- •Семінарське заняття 21
- •Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Дискретні випадкові величини, їх характеристики
- •1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу
- •3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості
- •4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
- •5. Середнє квадратичне відхилення
- •6. Теоретичні моменти
- •1. Функція розподілу та її властивості
- •2. Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу
- •3. Числові характеристики неперервних випадкових величин
- •4. Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику
- •Семінарське заняття 22
- •2. Показниковий розподіл
- •3. Нормальний закон розподілу
- •4. Розподіли, пов’язані з нормальним
- •5.Поняття про розподіли, що використовуються в актуарній математиці
- •Семінарське заняття 24
- •Тема 22. Закони великих чисел та їх застосування у математичній статистиці. Тема 23. Основні поняття математичної статистики
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 25
- •Тема 24. Точкові та інтервальні оцінки. Тема 25. Перевірка статистичних гіпотез
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 26
- •2. Знаходження параметрів теоретичного рівняння регресії методом найменших квадратів
- •3. Властивості вибіркового коефіцієнта кореляції
- •4. Правило перевірки нульової гіпотези
- •Семінарське заняття 27
- •Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
Семінарське заняття 20
Тема 16. Формула повної ймовірності. Формули Байєса.
Тема 17. Випробування за схемою Бернуллі. Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа
Питання для усного опитування та дискусії
16.1. Формули повної ймовірності. Приклади.
16.2. Формули Байєса, їх застосування.
17.1. Випробування за схемою Бернуллі.
17.2. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.
17.3. Теорема Пуассона.
Аудиторна письмова робота
Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.
Методичні вказівки
Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : гіпотези, повна група подій (гіпотез), формула повної ймовірності, апріорні ймовірності, апостеріорні ймовірності, формули Байєса, схема Бернуллі, локальна теорема Лапласа, інтегральна теорема Лапласа, формула Пуассона.
З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.
Деякі важливі формули теорії ймовірностей
Наслідки з теорем додавання і множення ймовірностей:
а) формула повної ймовірності;
б) формули Бейєса.
Має місце формула повної ймовірності:
. (1)
Тут А – це подія, яка може відбутися лише при умові появи однієї з несумісних подій і гіпотез , які утворюють повну групу;– ймовірність появи події А при умові, що має місце гіпотеза.
Дійсно, подія А відбудеться, якщо з’явиться одна з несумісних подій . За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо:
.
За теоремою множення ймовірностей одержуємо: . Отже,, що і потрібно було довести.
Нехай подія А, яка може з’явитися при появі однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу, в результаті проведеного випробування з’явилась. Знайдемо ймовірності. За теоремою множення ймовірностей маємо:;. Отже,. Звідси одержуємо:
,
або
.
Це – формули Байєса, які дозволяють переоцінювати ймовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування.
Розглянемо такі приклади.
Приклад №1. Студент вивчив білетів з. Коли ймовірність витягнути “щасливий” білет для нього буде більшою: коли він тягне білет першим (а) чи другим (б)?
Розв'язування.
а) Нехай подія – дістався “щасливий” білет, а подія– “нещасливий” білет. Згідно з класичним означенням ймовірності, маємо:
.
Таким чином, якщо студент тягне білет першим, то ймовірність витягнути “щасливий” білет дорівнює .
б) Якщо студент тягне білет другим, то можливі такі гіпотези:
– перший студент витягнув “щасливий” для другого студента білет;
– перший студент витягнув “нещасливий” для другого студента білет.
Тоді ,. Використовуючи формулу повної ймовірності, маємо:
Отже, ймовірності витягнути “щасливий” білет однакові – і коли студент тягне білет першим, і коли він тягне білет другим.
Приклад №2. Ймовірність одержання кредиту для першої фірми – 0,6, для другої – 0,5, для третьої – 0,4. Відомо, що двом фірмам надано кредит. Визначити ймовірність того, що кредит надано третій фірмі.
Розв'язок. Нехай подія А – це першій фірмі надано кредит, В – другій фірмі надано кредит, С – третій фірмі надано кредит. – двом фірмам надано кредит. Висуваємо такі дві гіпотези:
– третій фірмі надано кредит;
– третій фірмі не надано кредит .
Згідно з умовою, маємо: ,. Шукану ймовірністьвизначимо за формулою Байєса:. Зауважимо, що(ми користуємося формулою для обчислення ймовірності тільки однієї події), а.
Таким чином, ,а.