3. Теорема множення ймовірностей залежних подій

Вивчаючи ймовірності випадкових подій, ми вважали, що ці події можуть відбуватися чи ні при виконанні комплексу умов . Якщо ніяких інших обмежень, крім, не накладається, то ймовірність випадкової події називаютьбезумовною. У противному випадку говорять про умовну ймовірність.

Означення. Умовною ймовірністю називається ймовірність події В, обчислена в припущенні, що подія А вже з’явилась.

Сформулюємо теорему множення ймовірностей.

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, обчислену в припущенні, що перша подія вже з’явилась:

.

Оскільки , тоі, отже,.

Наслідок. Ймовірність сумісної появи декількох подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умові ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з’явились:

.

Зокрема, при , позначивши,,, одержимо:

.

Наприклад. Студент, який прийшов на екзамен, добре вивчив 90 із 100 питань програми. Знайти ймовірність того, що цей студент знає відповіді на 3 питання, задані йому екзаменатором.

Розв’язок. Нехай подія А полягає в тому, що студент правильно відповість на перше питання, В – на друге, С – на третє питання.

Знаходимо: ;;. Маємо:.

4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій

Вивчимо питання про незалежні події та про теорему множення для незалежних подій.

Означення. Подія В називаєтьсянезалежноювід події А, якщо поява події А не змінить ймовірність події В, тобто якщо умовна ймовірність події В дорівнює її безумовній ймовірності:.

Властивість незалежності подій взаємна: якщо подія В не залежить від події А, то і подія А не залежить від події В. Дійсно, оскільки і, то. Отже,.

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій має вигляд:

.

Зауважимо, що коли події А та В незалежні, то будуть незалежними також події ,,.

Розглянемо такі приклади.

№1. Ймовірність того, що фірма А отримає кредит, дорівнює. Для фірми В ця ймовірність дорівнює. Знайти ймовірність того, що кредит отримає тільки одна з цих двох фірм.

Розв’язок. Подія “тільки одна фірма отримає кредит” є сумою двох несумісних подій: “фірма А отримає кредит, а фірма В – ні” (перша подія) та “фірма А не отримає кредит, а фірма В – отримає” (друга подія).

Ймовірність першої з цих подій визначається як , а другої – як

.

Таким чином, шукана ймовірність дорівнює .

Означення.Декілька подій називаютьсяпопарно незалежними, якщо кожні дві з цих подій незалежні.

Декілька подій називаються незалежними в сукупності(або просто незалежними), якщо незалежні кожні дві з них та незалежні кожна подія та всі можливі добутки інших подій.

Виявляється, що коли декілька подій незалежні попарно, то звідси ще не випливає їх незалежність у сукупності.

Наприклад. В групі з чотирьох спортсменів один – волейболіст (подія А), один – баскетболіст (подія В), один – футболіст (подія С), а один – і волейболіст, і баскетболіст, і футболіст (подія АВС).

Знайдемо ймовірність того, що взятий навмання спортсмен – волейболіст ).

Маємо: . Обчислимо також– ймовірність того, що взятий навмання баскетболіст є волейболістом. Згідно з умовою, маємо:. Таким чином,. Аналогічно доводиться, що всі подіїпопарно незалежні. Але, виявляється, подіїне є незалежними в сукупності, оскільки(якщо спортсмен є баскетболістом і футболістом, то він – ще і волейболіст) і, отже,.

Для подій, незалежних в сукупності, має місце така теорема.

Теорема. Ймовірність сумісної появи кількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добуткові ймовірностей цих подій:

.

Наприклад. Ймовірність того, що студент знає відповідь на перше питання екзаменаційного білету, дорівнює, на друге –, на третє –. Знайти ймовірність того, що студент знає відповідь тільки на одне питання екзаменаційного білету.

Розв’язування. Позначимо через А подію, яка полягає у тому, що студент знає відповідь на перше питання білету, В – на друге, С – на третє. ПодіюD– “студент знає відповідь тільки на одне питання” можна представити у вигляді суми трьох несумісних подій:

.

Згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо:

.

Кожну з ймовірностей у правій частині цієї рівності можна знайти, користуючись теоремою множення ймовірностей незалежних подій.

Маємо: ;

;

.

Отже,