- •Змістовий модуль 3.
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •1. Коротка історична довідка
- •2. Випадкові явища та їх природа
- •3. Предмет теорії ймовірностей
- •4. Класичне означення ймовірності
- •5. Статистична ймовірність
- •6. Геометрична ймовірність
- •1. Елементи комбінаторики без повторень
- •2. Елементи комбінаторики з повтореннями
- •3. Співвідношення між подіями
- •4. Операції над подіями. Діаграми Венна
- •5. Формула включень та виключень
- •1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
- •3. Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій
- •Семінарське заняття 20
- •2. Випробування за схемою Бернуллі
- •3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)
- •Семінарське заняття 21
- •Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Дискретні випадкові величини, їх характеристики
- •1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу
- •3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості
- •4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
- •5. Середнє квадратичне відхилення
- •6. Теоретичні моменти
- •1. Функція розподілу та її властивості
- •2. Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу
- •3. Числові характеристики неперервних випадкових величин
- •4. Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику
- •Семінарське заняття 22
- •2. Показниковий розподіл
- •3. Нормальний закон розподілу
- •4. Розподіли, пов’язані з нормальним
- •5.Поняття про розподіли, що використовуються в актуарній математиці
- •Семінарське заняття 24
- •Тема 22. Закони великих чисел та їх застосування у математичній статистиці. Тема 23. Основні поняття математичної статистики
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 25
- •Тема 24. Точкові та інтервальні оцінки. Тема 25. Перевірка статистичних гіпотез
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 26
- •2. Знаходження параметрів теоретичного рівняння регресії методом найменших квадратів
- •3. Властивості вибіркового коефіцієнта кореляції
- •4. Правило перевірки нульової гіпотези
- •Семінарське заняття 27
- •Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
4. Правило перевірки нульової гіпотези
Вибірковий коефіцієнт кореляції , як і будь-яка статистична оцінка, є наближеною характеристикою теоретичного коефіцієнта кореляції . У тих випадках, коли коефіцієнт малий, важливо встановити, значущий він чи ні. Якщо вибірковий коефіцієнт кореляції значущий, то і корельовано.
В противному випадку між та немає лінійної залежності. Отже, при певному рівні значущості (наприклад, ) слід перевірити нульову гіпотезу про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції при конкуруючій гіпотезі .
Критерій перевірки нульової гіпотези – випадкова величина , яка має розподіл Стьюдента з степенями свободи при справедливості нульової гіпотези.
Сформулюємо правило перевірки нульової гіпотези.
Обчислити .
По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента за даними та знайти .
Якщо ., то немає підстав відкинути нульову гіпотезу. У цьому випадку коефіцієнт незначущий, а випадкові величини і некорельовані (лінійно незалежні).
Якщо , то нульову гіпотезу відкидають. Коефіцієнт значущий. Випадкові величини і корельовані.
Наприклад. Сировина, яка надходить на завод, містить дві корисні речовини – мінерали А та В. Проведені аналізи показали, що в партіях з підвищеним вмістом мінералу А виявлено більш високий вміст мінералу В. Аналізи 10 зразків сировини наведені в таблиці. Знайти коефіцієнт кореляції, оцінити тісноту зв’язку між вмістом мінералів А і В у сировині. Скласти рівняння прямої лінії регресії на .
(%) |
64 |
51 |
69 |
61 |
36 |
19 |
55 |
40 |
43 |
31 |
(%) |
21 |
12 |
20 |
16 |
13 |
8 |
17 |
13 |
14 |
10 |
Обчислюємо коефіцієнт кореляції: . Знаходимо : . За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента для та знаходимо: . В розглядуваному прикладі . Отже, коефіцієнт значущий. Величини А та В корельовані.
Обчисливши параметри і , одержимо рівняння регресії:
.
Зауважимо, що кореляційно-регресійний аналіз є математичним апаратом багатьох задач прогнозування. За допомогою регресії можна розв’язати задачу прогнозування величини для даного фактора . Середнє значення прогнозу знаходимо за формулою , де – рівняння теоретичної лінії регресії. У випадку лінійного рівняння .
Дисперсія прогнозу середніх значень
,
де . похибка прогнозу , де – статистика. Стьюдента при рівні значимості . Для прогнозу величини з надійністю можна вказати довірчий інтервал
.
Похибка прогнозу виникає із-за впливу врахованих факторів (нагадуємо, що рівняння регресії має ймовірний характер) і через невідповідність вибіркової сукупності, за якою будувалося рівняння регресії, генеральній сукупності.
Якщо , то границі довірчого інтервалу розміщені найближче одна до одної.
Семінарське заняття 27
Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
Питання для усного опитування та дискусії
26.4. Нелінійна кореляційна залежність.
26.5. Лінеаризація кривих.
26.6. Побудова логістичної кривої.
26.7. Прогнозування за логістичною кривою.
Аудиторна письмова робота