- •Змістовий модуль 3.
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •1. Коротка історична довідка
- •2. Випадкові явища та їх природа
- •3. Предмет теорії ймовірностей
- •4. Класичне означення ймовірності
- •5. Статистична ймовірність
- •6. Геометрична ймовірність
- •1. Елементи комбінаторики без повторень
- •2. Елементи комбінаторики з повтореннями
- •3. Співвідношення між подіями
- •4. Операції над подіями. Діаграми Венна
- •5. Формула включень та виключень
- •1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
- •3. Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій
- •Семінарське заняття 20
- •2. Випробування за схемою Бернуллі
- •3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)
- •Семінарське заняття 21
- •Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Дискретні випадкові величини, їх характеристики
- •1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу
- •3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості
- •4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
- •5. Середнє квадратичне відхилення
- •6. Теоретичні моменти
- •1. Функція розподілу та її властивості
- •2. Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу
- •3. Числові характеристики неперервних випадкових величин
- •4. Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику
- •Семінарське заняття 22
- •2. Показниковий розподіл
- •3. Нормальний закон розподілу
- •4. Розподіли, пов’язані з нормальним
- •5.Поняття про розподіли, що використовуються в актуарній математиці
- •Семінарське заняття 24
- •Тема 22. Закони великих чисел та їх застосування у математичній статистиці. Тема 23. Основні поняття математичної статистики
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 25
- •Тема 24. Точкові та інтервальні оцінки. Тема 25. Перевірка статистичних гіпотез
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 26
- •2. Знаходження параметрів теоретичного рівняння регресії методом найменших квадратів
- •3. Властивості вибіркового коефіцієнта кореляції
- •4. Правило перевірки нульової гіпотези
- •Семінарське заняття 27
- •Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
Семінарське заняття 22
Тема 20. Приклади законів розподілу неперервної випадкової величини
Питання для усного опитування та дискусії
20.1. Рівномірний розподіл.
20.2. Експоненціальний розподіл.
20.3. Нормальний розподіл та розподіли, з ним пов’язані.
20.4. Поняття про розподіли, що використовуються в актуарій математиці
Аудиторна письмова робота
Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.
Методичні вказівки
Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : рівномірний розподіл, експоненціальний розподіл, нормальний розподіл, розподіл , розподіл Гомпертца, розподіл Мейкхама, розподіл Вейбулла, розподіл Ерланга, актуарна математика.
З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.
Приклади неперервних законів розподілу.
1. Рівномірний розподіл
Говорять, що випадкова величина розподілена рівномірно у скінченому інтервалі , якщо всі її можливі значення зосереджені на цьому інтервалі і якщо щільність розподілу її ймовірностей на цьому інтервалі постійна:
.
Параметр с визначається із умови нормування: . Звідси одержуємо: .
Якщо випадкова величина рівномірно розподілена в інтервалі , то ймовірність її попадання в будь-який інтервал пропорційна довжині цього інтервалу:
.
Неважко підрахувати, що математичне сподівання рівномірно розподіленої величини дорівнює , а дисперсія .
(Студентам рекомендується перевірити це самостійно).
2. Показниковий розподіл
Закон розподілу ймовірностей з щільністю
називається показниковим.
Цей закон часто зустрічається в теорії масового обслуговування. До показникового закону розподілу приводить задача про розподіл проміжку часу Т між двома послідовними подіями найпростішого потоку.
При цьому виконується умова нормування:
,
.
3. Нормальний закон розподілу
Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, який описується щільністю
.
Ляпунов довів, що коли випадкова величина є сумою дуже великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив яких на всю суму надзвичайно малий, то має розподіл, близький до нормального.
Зупинимося детально на цьому законі розподілу.
Виявляється, що – це математичне сподівання, а – середнє квадратичне відхилення нормального розподілу.
Зауважимо, що нормальний розподіл з довільними параметрами
і називається загальним. Нормованим називають нормальний розподіл з параметрами і . Якщо – нормальна величина з параметрами і , то – нормована нормальна величина, оскільки
,
.
Щільність нормального нормованого розподілу – це протабульована функція , а інтегральна функція нормованого нормального розподілу – це функція . Таким чином, ймовірність попадання нормованої нормальної величини в інтервал можна обчислити, користуючись функцією Лапласа:
(тобто ).
Графік щільності загального нормального рівняння розподілу називається нормальною кривою (кривою Гаусса): .
Областю визначення цієї функції є вся числова вісь: . При цьому , . За допомогою першої похідної неважко показати, що монотонно зростає, а при – спадає; . Графік кривої Гаусса симетричний відносно осі . За допомогою похідної другого порядку визначаємо, що при та крива має точки прегину, які відокремлюють проміжки увігнутості графіка від інтервалу його вигнутості вгору . Студентам рекомендується побудувати цей графік самостійно, використовуючи результати проведеного дослідження.
Зауважимо, що при зміні величина форма нормальної кривої не змінюється; крива зсувається вздовж осі вправо, якщо зростає, та вліво, якщо спадає.
При зміні параметра площа, обмежена віссю і нормальною кривою, залишається незмінною. Але при зростанні максимальна ордината кривої спадає, а сама крива стає більш пологою, “ближчою” до осі . При зменшенні нормальна крива стає “гострішою”, розтягується в додатному напрямку осі .
Знайдемо ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини:
.
Виконаємо заміну змінних ; одержуємо:
,
де – функція Лапласа. Отже, .
За допомогою останньої рівності можна одержати формулу для обчислення ймовірності заданого відхилення . Дійсно,
Таким чином,
.
З цієї формули випливає, що чим менше , тим більше і, значить, тим більша ймовірність .
Нехай . У цьому випадку маємо:
.
При , зокрема, одержуємо:
.
Це – число, яке дуже мало відрізняється від одиниці. Таким чином, якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення. Це – правило трьох сигм.
Аналогічно доводиться правило двох сигм:
Якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання з ймовірністю 0,954 не перевищує подвоєного середнього квадратичного відхилення:
.
Нормальному закону розподілу підпорядковуються будь-які розміри людського тіла (зріст, повнота і т.п.). Щоб задовольнити населення одягом, взуттям підходящих розмірів, потрібно знати, в якому асортименті слід випускати одяг і взуття тих чи інших розмірів.
Наприклад. Фабрика випускає 1000 штук чоловічих пальт в день для деякого регіону, де середній обхват грудей чоловічого населення дорівнює см, причомусм. Скільки виробів 48-го розміру повинна випускати фабрика в день, якщо цьому розміру відповідає інтервал обхвату грудей від 94 до 98 см?
Маємо:
(або 13,54%).
Це означає, що фабрика повинна випускати 135 пальт 48-го розміру.