3. Співвідношення між подіями

Під множиноюбудемо розуміти групи предметів (елементів). Кількість елементів множини(якщо їх можна перелічити) позначають як(або). Множину, яка складається з усіх можливих елементарних подій, називаютьуніверсальноюі позначають буквамиабо. Підмножину, яка складається з декількох елементарних подій, називаютьскладною подією.

Подія А має таку геометричну інтерпретацію: навмання вибрана точка з універсальної множини належить підмножині А.

Той факт, що із А слідує В (А входить в В), позначають так: (або).

Наприклад: якщо подія А – “поява чотирьох очок при підкиданні грального кубика”, а подія В – “поява парного числа очок при підкиданні грального кубика”, то . Якщоі, тоце записують так: (і вважають події ірівносильними). Наприклад, якщо А – “поява герба при підкиданні монети”, а В – “непоява цифри при підкиданні монети”, то .

Таким чином, між подіями спостерігаються співвідношення, аналогічні відношенням “більше”, “менше” або “дорівнює” між числами.

4. Операції над подіями. Діаграми Венна

Введемо операції над подіями.

а) Додавання.

Сумою подій називають подію, яка полягає у появі хоча б однієї з цих подій (або, абоабо, або кількох із них, або всіх). Символічно:

(або ).

Наприклад, подія А – “поява одного очка при підкиданні грального кубика”, подія– “поява не більше двох очок при підкиданні грального кубика”.

Неважко помітити, що , причому А та В – несумісні події .

Розглянемо інший приклад. Нехай подія А – це “поява більше, ніж 4 очок при підкиданні грального кубика”, подія В – “поява 4 або 5 очок при підкиданні грального кубика”, подія С – “поява більше, ніж 3 очок при підкиданні грального кубика”.

У цьому прикладі також , але А та В – сумісні події.

б) Множення. Добутком подій називається подія А, яка полягає в одночасній появі всіх (іі, ..., і) подій.

Символічно: (або).

Наприклад:

А – “людина, що зайшла в інститут, – студент”;

В – “людина, що зайшла в інститут, – відмінник”;

С – “людина, що зайшла в інститут – студент-відмінник”.

Оскільки подія С відбувається при появі і події А, і події В, то (або).

Дві події А та В, добуток яких – неможлива подія– це несумісні події. Добуток несумісних подій (з геометричної точки зору) – це пуста множина.

Якщо сума подій А і В – достовірна подія, а їх добуток – неможлива подія, то події А і В протилежні. Позначимо черезподію, протилежну події. Тоді.

в) Різницею подій іназивається подія, яка полягає в тому, що відбулися ті елементарні події, які входять в, але не входять в. Це записують так:(або).

Неважко помітити, що .

Наприклад:А – навмання вибраний чоловік – студент; В – навмання вибраний чоловік – високого зросту. Тоді подіяполягає в тому, що навмання вибраний чоловік – невисокий студент.

5. Формула включень та виключень

Розглянемо формулу решта, яка має застосування в теорії ймовірностей і ілюструється за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

Нехай – підмножини множини. Нехай– доповнення до цих множин. Позначимо,, ...,,,– число елементів відповідних множин.

Має місце формула:

.

Якщо, зокрема, мова йде про три підмножини (скажімо,), то одержуємо формулу:

. (*)

Наприклад.Із 90 випускників вузу 50 знають англійську мову, 30 – німецьку і 20 – французьку. Англійську і німецьку мову знають 10 випускників, англійську і французьку – 8, німецьку і французьку – 5, всі 3 мови – 3 випускники. Скільки випускників не знають жодної з цих мов?

Розв'язок. Позначимо через А множину випускників, що знають англійську мову, через В – німецьку, через С – французьку. Нехай– множина усіх 90 випускників.

За формулою (*) одержуємо:

.

Таким чином, 10 випускників не знають жодної з цих мов.

Цей же самий приклад можна розв’язати за допомогою діаграм Ейлера-Венна .

Основні теореми теорії ймовірностей