2. Випробування за схемою Бернуллі

Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з’явитися (з однією і тією ж ймовірністю).

Знайдемо ймовірність того, що принезалежних випробувань подія А з’явиться рівноразів (і, отже, не з’явитьсяразів), причому в довільній послідовності.

За теоремою множення ймовірностей незалежних подій для кожної такої послідовності ймовірність появи події А раз (і не появираз) дорівнює, де. Таких послідовностей є. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій одержуємо формулу Бернуллі:

,

або

.

Приклад №3. Два рівносильних супротивника проводять спортивні змагання. Що ймовірніше виграти – одну партію з двох чи дві партії з чотирьох? Нічиї до уваги не приймаються.

Розв'язування. Згідно з умовою задачі, . Виявляється, що ймовірніше виграти одну партію з двох, оскільки. Дійсно:

, ..

Приклад № 4. Новий приклад випробовують на міцність, стійкість до вібрації, інші перевантаження. Ймовірність небезпечного перевантаження для приладу при одному випробуванні дорівнює 0,4. Керівництво вирішило провести з приладом три випробування. Відомо, що ймовірність виходу з ладу приладу при одноразовому перевантаженні – 0,2, при дворазовому – 0,8. Визначити ймовірність виходу з ладу приладу після 3-х випробувань.

Розв'язок. Позначимо через А подію – вихід з ладу приладу, а через – гіпотези, які полягають відповідно у відсутності перевантаження, в одно-, дво-, і трикратному перевантаженні приладу.

Згідно з формулою повної ймовірності, маємо:

.

Ймовірності гіпотез визначимо за допомогою формули Бернуллі:

;

;

.

При цьому ,,.

Отже, .

Число появ події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює, називається найвірогіднішим, якщо ймовірність того, що подія з’явиться в цих випробуванняхраз, не менша, ніж ймовірність інших можливих результатів випробувань.

Найвірогідніше число визначається з подвійної нерівності:

,

причому

а) якщо – дробове, то існує одне найвірогідніше число;

б) якщо число – ціле, то існує два найвірогідніших числа, а саме:і;

в) якщо число – ціле, то найвірогідніше число.

Приклад №5. Товарознавець оглядає 15 зразків товарів, Ймовірність того, що кожен із зразків буде визнано придатним для продажу, дорівнює 0,9. Знайти найвірогідніше число зразків, які товарознавець визнає придатними для продажу.

Розв'язування. За умовою ;;. Знайдемоз подвійної нерівності

.

Одержуємо:

,

або . Отже, число 14 є найвірогіднішим.

3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)

При великих значеннях користуватися формулою Бернуллі складно (– дуже велике число). В цьому випадку є корисною асимптотична формула Лапласа. Наведемо її .

Теорема1. (Локальна теорема Лапласа). Якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні стала і відмінна від 0 і 1, то ймовірністьтого, що подія А з’явиться ввипробуваннях рівнораз, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше) значенню функції

,

.

Існує таблиця значень функції (при). При користуванні нею слід враховувати парність функції:.

Приклад №6. Ймовірність того, що деталь якісна, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що із перевірених 100 деталей рівно 60 – якісних.

Розв’язування. Згідно з локальною теоремою Лапласа, маємо:

.

Таким чином, ймовірність цієї події практично дорівнює нулю.

Теорема 2. (Інтегральна теорема Лапласа).

Якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні стала (і відмінна від 0 та 1), то ймовірністьтого, що подія А з’явитьсяу випробуванні від дораз, наближено дорівнює визначеному інтегралу:

,

де ,.

Якщо ввести функцію Лапласа

(ця функція протабульована, причому ; при), то

.

Приклад №7. У швейному цеху є машин. Ймовірність того, що на протязі деякого періоду часу зламається одна голка, дорівнює. Яка ймовірність того, що наявністьзапасних голок забезпечить роботу всього цеху, якщо,,.

Розв’язок. Використовуємо інтегральну теорему Лапласа. Приймаємо, що ,. Маємо:

,

де ;

.

За допомогою таблиці значень функції Лапласа знаходимо:

.

Маємо:

.

Нехай проводиться випробувань,у кожному з яких ймовірність появи події А одна і та ж сама , причому. За допомогою інтегральної теореми Лапласа можна знайти ймовірність виконання нерівності:, тобто. Виявляється, що

.

Зауваження. Якщо число випробувань велике, а ймовірність появи події в кожному випробуванні дуже мала, то для обчисленнякористуються формулою Пуассона:, де– число появ події внезалежних випробуваннях,– середнє число появ події ввипробуваннях.

Приклад №8. Фермер продає огірки в ящиках - по 100 огірків у кожному ящику. Виявилось, що в кожній партії із 1000 огірків є приблизно 15 неякісних. Питається, скільки огірків потрібно покласти в кожен ящик, щоб з ймовірністю 0,8 задовольнити запити покупців (інакше кажучи, щоб в ящику виявилося не менше, ніж 100 якісних огірків, з ймовірністю 0,8).

Розв’язування. Згідно з умовою, ймовірність того, що огірок неякісний, дорівнює 0,015. Стала Пуассона дорівнює:.

Нехай – це те число огірків в ящику, при якому покупець з ймовірністю 0,8 одержить не менше ста якісних огірків. Позначимо через А подію, ймовірність якої нас цікавить – “середогірків єбракованих”. Має місце рівність:

,

причому .

Застосовуючи формулу Пуассона, маємо:

.

Таким чином, .

Невідома величина , згідно з умовою, повинна задовольняти нерівність:

.

При одержуємо:.

При .

Таким чином, покупці будуть задоволені, якщо в кожному ящику упаковано 102 огірки.

Аналогічно можна розраховувати запаси промислових товарів, інших продуктів харчування тощо.