4. Розподіли, пов’язані з нормальним

Розглянемо деякі розподіли, пов’язані з нормальним.

1. Розподіл (“хі- квадрат”).

Нехай – нормальні незалежні нормовані випадкові величини, так що , =1 ). Тоді сума – розподілена по закону з степенями свободи. При цей розподіл наближається до нормального.

2. Розподіл Стьюдента

Нехай – нормована нормальна випадкова величина , а – незалежна від величина, розподілена по закону з степенями свободи.

Величина має розподіл, який називається – розподілом, або розподілом Стьюдента з степенями свободи.

При – розподіл швидко наближається до нормального.

3. Розподіл Фішера-Снедекора.

Якщо – незалежні випадкові величини, розподілені по закону з степенями свободи та відповідно, то величина

має розподіл, який називається розподілом Фішера-Снедекора із степенями свободи .

5.Поняття про розподіли, що використовуються в актуарній математиці

Зазначимо, що в актуарній математиці, крім рівномірного, використовуються такі розподіли:

1)α>B>0 (модель Гомпертца);

2) (модель Мейкхама);

3) (модель Вейбулла);

4), (модель Ерланга).

Семінарське заняття 23

Тема 21. Випадкові вектори. Функція випадкового аргументу

Питання для усного опитування та дискусії

21.1. Двовимірні випадкові величини, їх основні характеристики.

21.2. Числові характеристики двовимірних випадкових величин (умовне математичне сподівання, кореляційний момент, коефіцієнт кореляції).

21.3. Функція випадкової величини.

21.4. Математичне сподівання функції одного випадкового аргументу.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : двовимірні випадкові величини, умовне математичне сподівання, кореляційний момент, коефіцієнт кореляції, функція випадкової величини, математичне сподівання функції випадкового аргументу.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

1. Двовимірні випадкові величини, їх основні характеристики.

2. Числові характеристики двовимірних випадкових величин (умовне математичне сподівання, кореляційний момент, коефіцієнт кореляції).

3. Функція випадкової величини.

4. Математичне сподівання функції одного випадкового аргументу.

1. Нехай на просторі елементарних подій задано дві випадкові величини –X i Y. Вектор (X, Y) називають 2-вимірною випадковою величиною.

Функцією розподілу випадкового вектора (X, Y) називають функцією двох змінних F(x, y) = p(X<x, Y<y). Геометрично функція F(x, y) дорівнює ймовірності потрапляння випадкової точки ((X, Y) у нескінченний квадрант (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до означення функції F(x, y).

Функція F(x, y) має такі основні властивості:

1. Функція розподілу неспадна по кожному аргументу.

2. Мають місце граничні рівності:

;

3. При функція розподілу випадкового вектора (X, Y) прямує до функції розподілу одновимірної випадкової величини Y. Аналогічно, при функція F (x, y) прямує до функції розподілу одновимірної випадкової величини X.

Двовимірну випадкову величину називають дискретною, якщо вона може набувати скінчену або зчисленну множину значень. Дискретну випадкову величину (X, Y) задають за допомогою таблиці 3 двома входами (таблиця 1). Тут - ймовірність того, щоX = x_i Y = y_j (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, m) – для простоти ми вважаємо, що випадкова величина може приймати скінченне число, всього n m значень. При цьому виконується умова:

Таблиця 1.

Y X	х1	х2	…	хn
y1	p11	p12	…	p1n
y2	p21	p22	…	p2n
…	…	…	…	…
yn	pm1	pm2	…	pmn

Двовимірна випадкова величина називається неперервною, якщо ймовірність потрапляння випадкової точки (Х, Y) у довільну фіксовану точку дорівнює нулю. Випадкова величина (Х, Y) називається абсолютно неперервною, якщо існує така функція f (x, y), для якої виконується рівності:.

Функція f (x, y) називається щільністю розподілу випадкової величини.

Щільність розподілу f (x, y) має такі властивості:

а) б)в)

г)

Випадкові величини X i Y називаються незалежними, якщо F(x, y)=F₁(x) F₂(y), де F₁(x) – функція розподілу випадкової величини Х, F₂(у) – величини Y. В противному випадку Х і Y є залежними.

2. Умовним законом розподілу називається розподіл однієї випадкової величини, знайдений за умови, що інша випадкова величина системи набула деякого фіксованого значення. Нехай (X, Y) – дискретна випадкова величина. Проілюструємо побудову умовного розподілу на такому прикладі.

ПРИКЛАД. Задано таблицю розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y) (Таблиця 2).

Таблиця 2

Y Х	0	1	4
-2	0,2	0,1	0,3
-1	0,1	0,15	0,15

Потрібно:

а) знайти безумовні закони розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y);

б) визначити умовний закон розподілу Х за умови, що Y = -2;

в) виявити, залежні чи ні випадкові величини Х і Y.

Розв’язування.

а) Щоб записати безумовні закони розподілу X і Y, обчислимо наступні ймовірності:

Отже, безумовні закони розподілу X i Y мають вигляд: (Таблиця 3, Таблиця 4).

Таблиця 3

Таблиця 4

Х	0	1	4
р	0,3	0,25	0,45

Y	-2	-1
р	0,6	0,4

б) Для побудови умовного закону розподілу Х за умови, що Y=-2, обчислимо умовні ймовірності

Таким чином, умовний закон розподілу Х за умови, що Y=-2, матиме вигляд, представлений у Таблиці 5.

Таблиця 5

Х	0	1	4
р(Х)/Y=-2

в) Порівняємо безумовний закон розподілу величини Х (Таблиця 3) і умовний закон її розподілу (Таблиця 5). Оскільки ці закони розрізняються між собою, робимо висновок: величини Х і Y залежні.

Математичним сподіванням 2-вимірної випадкової величини (Х, Y) називається 2-вимірний вектор (М(Х), М(Y)), де М(Х) і М(Y) – математичні сподівання випадкових величин Х і Y відповідно.

Дисперсією (або дисперсійною матрицею) 2-вимірної випадкової величини (Х, Y) називається сукупність трьох чисел, що визначаються формулами:

причому і- дисперсії компонент випадкових величин, а- коваріація (кореляційний момент) випадкових величинХ і Y.

Коваріацію можна обчислити за формулою

Якщо Х і Y – дискретні випадкові величини, то коваріацію розраховують за формулою:

Якщо ж Х і Y - неперервні випадкові величини, то для обчислення коваріації користуються інтегральною формулою:

Коефіцієнтом кореляції системи випадкових величин (X, Y) називається числом ρ.

Для будь-яких випадкових велечин . Якщо випадкові величиниХ і Y незалежні, то . Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Випадкові величиниХ і Y, для яких , називаютьсянекорельованими.

ПРИКЛАД. Система дискретних випадкових величин (Х і Y) задана таблицею розподілу ймовірностей (Таблиця 6). Обчислити математичні сподівання М(Х) та М(Y), середні квадратичні відхилення і, кореляційний моменті коефіцієнт кореляції.

Таблиця 6.

X Y	-40	-30	-20	-10
2	0,25	0,08	0,017	0,012	0,359
4	0,05	0,06	0,04	0,014	0,164
6	0,02	0,1	0,013	0,016	0,149
8	0,08	0,06	0,03	0,158	0,328
	0,4	0,3	0,1	0,2	1

Розв’язування. Побудуємо безумовні закони розподілу Х і Y: (таблиці 7 і 8).

Таблиця 7

Таблиця 8

Х	-40	-30	-20	-10
Р	0,4	0,3	0,1	0,2

Y	2	4	6	8
р	0,359	0,164	0,149	0,328

Визначимо та. Маємо:

Оскільки , обчислимо спочаткутаза формулами

Маємо:

Отже,

Щоб знайти кореляційний момент , обчислимоза формулою:

Згідно з даними таблиці 6, одержуємо:

Таким чином,

Коефіцієнт кореляції ρ обчислюємо за формулою:

Маємо:

Таким чином, Х та Y корельовані.

Зауважимо, що у тому випадку, коли система випадкових величин (Х, Y) задана щільністю розподілу ймовірностей в області, математичні сподіванняМ(Х) і М(Y) визначають за формулами:

дисперсії та- за допомогою рівностей

Кореляційний момент в інтегральному поданні можна знаходити за формулою

3. Якщо кожному можливому значенню випадкової величини Х відповідає одне можливе значення випадкової величини Y, то Y називається функцією випадкового аргументу Х: Y = φ(X).

Припустимо, що Х – дискретна випадкова величина, причому різним можливим значенням Х відповідають різні можливі значення Y. Тоді ймовірності відповідних значень Х і Y рівні між собою.

ПРИКЛАД. Задано розподіл дискретної випадкової величини Х:

	0	3	5
	0,1	0,6	0,3

Знайти розподіл функції Y=X².

Розв’язування. Розподіл Y має вигляд:

	0	9	25
	0,1	0,6	0,3

Якщо Х – дискретна випадкова величина, причому різним можливим значенням Х відповідають значення Y, серед яких є рівні між собою, то потрібно додавати ймовірності тих значень Y, які повторюються.

ПРИКЛАД. Знайти розподіл функції Y=X², якщо розподіл Х має такий вигляд:

	-2	2	3
	0,4	0,5	0,1

Розвязування. Оскільки (-2)²=2²=4, ймовірності відповідних появ події Х, що дорівнюють 0,4 і 0,5, додаються: 0,4+0,5=0,9. Таким чином, розподіл Y наступний:

Y	4	9
	0,9	0,1

Якщо Х – неперервна випадкова величина, то випадкова величина Y = φ(X) може бути:

- дискретною, якщо - ступінчаста, розривна функція, яка набуває не більше, як зліченну кількість значень;

- неперервною, якщо - неперервна функція без інтервалів сталості;

- випадковою величиною змішаного типу (ані дискретною, ані неперервною).

Можна довести наступне твердження. Якщо Х – неперервна випадкова величина, причому - її диференціальна функція, то у випадку, коли- диференційована строго монотонна функція, обернена до якої – функція, диференціальну функціювипадкової величиниY знаходять за формулою:

(*)

ПРИКЛАД. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл на відрізку [0; 2]. Знайти закон розподілу випадкової величини Y = φ(X), якщо:

Розвязування.

У випадку а) дискретна випадкова величина Y може приймати значення 5; 6 або 7. При цьому ймовірність того, що Y=5, згідно з умовою, дорівнює ймовірності події Цю останню ймовірність легко знайти за допомогою функції розподілу, яка для рівномірного розподілу на відрізку [0; 2] має форму

Таким чином

Аналогічно визначаємо: Y приймає значення 6 з ймовірністю І, нарештіY=7 з ймовірністю

Отже, ряд розподілу випадкової величини Y має вигляд

Y	5	6	7
	0,5	0,25	0,25

У випадку б) Зауважуємо: Функціяє монотонно зростаючою, диференційованою. Випадкова величинанеперервна, причому щільність її розподілувизначається за формулою (*).

Зазначимо, що .

Оскільки Знаходимо:Примаємо:При

Відповідь:

4. Знаючи закон розподілу (чи функцію розподілу) функції Y випадкового аргументу, можна знайти числові характеристики цієї функції. Для прикладу покажемо, як знайти математичне сподівання у випадку а), коли Х – дискретна випадкова величина і у випадку б), коли Х – неперервна випадкова величина, задана диференціальною функцією .

а) За відомим законом розподілу Х будують закон розподілу . Тоді математичне сподіванняМ(Y) – це математичне сподівання виду

ПРИКЛАД. Відомий закон розподілу дискретної випадкової величини Х:

Х	1	3	5
	0,2	0,5	0,3

Знайти математичне сподівання функції .

Розвязування. Зауваживши, що одержуємо:

Y	2	10	26
	0,2	0,5	0,3

Звідси маємо:

Відповідь:

б) Нехай Х – неперервна випадкова величина, диференціальна функція якої - . Щоб знайти математичне сподіванняможна знайти диференціальну функціювеличиниY і скористатися формулою .

Для визначення не обов’язково шукати- математичне сподіваннядорівнює, причому

Якщо можливі значення х належать інтервалу (а, в), то .

ПРИКЛАД. Неперервна випадкова величина Х задана диференціальною функцією в інтервалі (а, в); за межами цього інтервалу. Знайти математичне сподівання функції .

Розв’язування.

.

Відповідь: .