- •Змістовий модуль 3.
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •1. Коротка історична довідка
- •2. Випадкові явища та їх природа
- •3. Предмет теорії ймовірностей
- •4. Класичне означення ймовірності
- •5. Статистична ймовірність
- •6. Геометрична ймовірність
- •1. Елементи комбінаторики без повторень
- •2. Елементи комбінаторики з повтореннями
- •3. Співвідношення між подіями
- •4. Операції над подіями. Діаграми Венна
- •5. Формула включень та виключень
- •1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
- •3. Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій
- •Семінарське заняття 20
- •2. Випробування за схемою Бернуллі
- •3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)
- •Семінарське заняття 21
- •Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Дискретні випадкові величини, їх характеристики
- •1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу
- •3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості
- •4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
- •5. Середнє квадратичне відхилення
- •6. Теоретичні моменти
- •1. Функція розподілу та її властивості
- •2. Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу
- •3. Числові характеристики неперервних випадкових величин
- •4. Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику
- •Семінарське заняття 22
- •2. Показниковий розподіл
- •3. Нормальний закон розподілу
- •4. Розподіли, пов’язані з нормальним
- •5.Поняття про розподіли, що використовуються в актуарній математиці
- •Семінарське заняття 24
- •Тема 22. Закони великих чисел та їх застосування у математичній статистиці. Тема 23. Основні поняття математичної статистики
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 25
- •Тема 24. Точкові та інтервальні оцінки. Тема 25. Перевірка статистичних гіпотез
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 26
- •2. Знаходження параметрів теоретичного рівняння регресії методом найменших квадратів
- •3. Властивості вибіркового коефіцієнта кореляції
- •4. Правило перевірки нульової гіпотези
- •Семінарське заняття 27
- •Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
Семінарське заняття 26
Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
Питання для усного опитування та дискусії
26.1. Основні задачі теорії кореляції.
26.2. Побудова прямої лінії регресії.
26.3. Коефіцієнт кореляції, його властивості.
Аудиторна письмова робота
Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.
Методичні вказівки
Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : кореляційна залежність, лінія регресії, параметри прямої лінії регресії, коефіцієнт кореляції, властивості коефіцієнта кореляції.
З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.
1. Регресійний аналіз і кореляція. Основні означення
Нехай ми маємо дві випадкові величини – і . Кожну з них окремо можна характеризувати, наприклад, за допомогою її середнього значення, дисперсії тощо. Вивчаючи та в сукупності, будемо розглядати ще і вплив однієї величини на іншу. При цьому величина може бути і не випадковою, а заданою експерементатором. Можливі такі ситуації.
та – незалежні величини: зміна не впливає на розподіл .
та пов’язані функціональною залежністю: кожному значенню відповідає цілком певне значення (тут – область визначення функції).
Між існує статистична (стохастична) залежність, коли одному і тому ж значенню величини відповідає статистична сукупність значень величини з законом розподілу, що змінюється зі зміною . Якщо, зокрема, при зміні однієї величини () змінюється середнє значення другої (), то статистична залежність називається кореляційною. Отже, кореляційна залежність – це функціональна залежність між значеннями величини та умовними середніми значеннями випадкової величини (тобто середніми значеннями величини , обчисленими при даних ).
Неповною називається кореляція, коли одній величині (наприклад, ) надаються певні фіксовані значення і для кожного з них шляхом експерименту знаходять сукупність значень у величини .
Повною називається кореляція, коли кожен із відібраних елементів статистичної сукупності об’єктів вивчається відразу і по , і по .
В теорії кореляції розв’язується такі дві основні задачі:
питання про форму кореляційного зв’язку між та (підбір певного виду функціональної залежності);
оцінка тісноти кореляційного зв’язку між та (наскільки близька залежність до вибраної функціональної).
Перша з цих задач розв’язується за допомогою регресій. Емпірична лінія регресії – це ламана лінія, яка з’єднує точки з координатами (тут – умовна середня ). Теоретичною лінією регресії по називається лінія, яка “згладжує” емпіричну лінію регресії. Її рівняння, таким чином, дає наближений аналітичний вираз регресії. Щоб одержати теоретичну лінію регресії, спочатку підбирають тип лінії, навколо якої групуються експериментальні точки: пряма, гіпербола, показникова функція і т.д. Далі обчислюють параметри вибраної залежності (наприклад, методом найменших квадратів).
Кореляційна залежність між випадковими величинами та називається лінійною кореляцією, якщо обидва теоретичні рівняння регресії та лінійні (тобто їх графіки – прямі лінії). В противному випадку кореляційна залежність називається нелінійною.
Якщо – не випадкова величина, то кореляційна залежність між та називається лінійною, якщо теоретичне рівняння лінійне, і нелінійною – в противному випадку.