- •Змістовий модуль 3.
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •1. Коротка історична довідка
- •2. Випадкові явища та їх природа
- •3. Предмет теорії ймовірностей
- •4. Класичне означення ймовірності
- •5. Статистична ймовірність
- •6. Геометрична ймовірність
- •1. Елементи комбінаторики без повторень
- •2. Елементи комбінаторики з повтореннями
- •3. Співвідношення між подіями
- •4. Операції над подіями. Діаграми Венна
- •5. Формула включень та виключень
- •1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
- •3. Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій
- •Семінарське заняття 20
- •2. Випробування за схемою Бернуллі
- •3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)
- •Семінарське заняття 21
- •Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Дискретні випадкові величини, їх характеристики
- •1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу
- •3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості
- •4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
- •5. Середнє квадратичне відхилення
- •6. Теоретичні моменти
- •1. Функція розподілу та її властивості
- •2. Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу
- •3. Числові характеристики неперервних випадкових величин
- •4. Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику
- •Семінарське заняття 22
- •2. Показниковий розподіл
- •3. Нормальний закон розподілу
- •4. Розподіли, пов’язані з нормальним
- •5.Поняття про розподіли, що використовуються в актуарній математиці
- •Семінарське заняття 24
- •Тема 22. Закони великих чисел та їх застосування у математичній статистиці. Тема 23. Основні поняття математичної статистики
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 25
- •Тема 24. Точкові та інтервальні оцінки. Тема 25. Перевірка статистичних гіпотез
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 26
- •2. Знаходження параметрів теоретичного рівняння регресії методом найменших квадратів
- •3. Властивості вибіркового коефіцієнта кореляції
- •4. Правило перевірки нульової гіпотези
- •Семінарське заняття 27
- •Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
1. Функція розподілу та її властивості
Неперервну випадкову величину неможливо задати законом розподілу, аналогічним розглянутому раніше для дискретних випадкових величин. Існує спільний спосіб задання будь-якого типу величин (і дискретних, і неперервних) – за допомогою функції розподілу.
Функцією розподілу (інтегральною функцією) називається функція , яка визначає ймовірність того, що випадкова величинау результаті випробування прийме значення, менше, ніж:
.
З геометричної точки зору – це ймовірність того, що випадкова величинаприйме значення, яке зображається на числовій осі точкою, що лежить зліва від точки.
Відзначимо такі властивості функції розподілу.
Значення функції розподілу належать відрізку :
.
Це випливає з того, що як ймовірність події може приймати лише значення з множини.
Функція неспадна: якщо, то.
Дійсно, згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо
,
або
.
Оскільки останній доданок невід’ємний, то звідси випливає, що . Властивість 2) доведена.
Аналізуючи викладки, проведені при доведенні даної властивості, одержуємо таке
Правило. Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке знаходиться в інтервалі , дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі:
.
Зауважимо, що формально ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме одне певне значення, дорівнює нулю. Дійсно, нехай. Маємо:
.
Оскільки – неперервна функція, то при. Виходить, що ймовірність того, що, дорівнює нулю. Таким чином,
.
Згідно з класичним означенням ймовірності, виходить, що події неможливі. Але насправді це не так. При користуванні функцією розподілу ймовірностей ставлять питання не про визначення ймовірності події, а про те, щоприйме значення, яке належить інтервалу.
Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу , топриіпри.
Якщо можливі значення неперервної випадкової величини розміщені на всій осі , то мають місце такі граничні рівності:
; .
Приклад. Знайти функцію розподілу для дискретної випадкової величини, заданої законом розподілу
1 |
3 |
5 | |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Розв’язування. Маємо: при . При. При. При.
2. Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу
Неперервні випадкові величини характеризуються не тільки інтегральною, але і диференціальною функцією (щільністю розподілу).
Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називають функцією , яка є першою похідною від функції розподілу : .
Неважко довести таку теорему.
Теорема. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу, дорівнює визначеному інтервалу від щільності розподілу, взятому в межах віддо:
.
Дійсно, оскільки , а; то.
Знаючи функцію , легко знайти:
.
Це дійсно так, оскільки .
Приклад 2. Знаючи щільність розподілу , знайти функцію розподілу:
Розв’язування. Розглянемо такі випадки:
а) . При цьому;
б).Тоді;
в) . Маємо: .
Відзначимо такі властивості щільності розподілу
Щільність розподілу – невід’ємна функція: . Це дійсно так, оскільки – монотонна неспадна функція, а – її похідна . Графік щільності розподілу називають кривою розподілу.
Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від додорівнює одиниці:.
Дійсно, подія, яка полягає в тому, що прийме значення в інтервалі, є достовірною:.
Зауважимо, що сам термін “щільність розподілу” було введено по аналогії з щільністю маси в точці. Дійсно, оскільки , то. Отже, ймовірність того, щоприйме значення, яке належить інтервалу, наближено дорівнює добуткові щільності ймовірності в даній точці на довжину інтервалу.