Кравченко. Практикум

72 8. РЕЗОНАНС В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

x

Uab

100

2

14,1 Ом,

С

I

10

1

r = хС = 14,1 Ом,

xL

UL

100

7,092 Ом.

10 2

I

Вариант 2

1. Из условия резонанса напряжений

Im(zвх) 0,

где

zвх jxL r( jxС) , r jxС

следует, что

Re(zвх) UвхI .

2. Поскольку I1 = I2, следовательно, r xC и входной ток (рис. 8.2)

II12 I22 102 14,1 A.

3.Решая совместно уравнения

r( jx

)

rx

2

r

2

x

r

2

x

Im jx

L

С

Im

С

j(x

L

С

)

x

С

0 ,

2 x

r

2 x

r

2 x2

r jxС

r

2

2

L

С

С

С

r( jxС )

2

Uвх

100

Re jx

rxС

7,092,

L

r jx

r

2

x

2

I

10

2

С

С

находим, что xС = r = 14,1 Ом, xL = 7,092 Ом.

Ответ: I = 14,1 A, r = 14,1 Ом, xL =7,092 Ом, xС = 14,1 Ом.

73

Задача 8.2

К цепи (рис. 8.3) приложено напряже-

ние Uвх 10 В,

r1 = 10 Ом, r2 = 20 Ом, L = 0,15 Гн, C = 60 мкФ.

Определить неразветвленный ток I и потребляемую цепью мощность при резонансной частоте.

Решение

1. Из условия резонанса в цепи

Imzвх Im(rвх jxвх) 0

следует, что

r1 r2

I

L C

Uвх

Рис. 8.3

																		xвх 0.
2. Комплекс входного сопротивления цепи
																									r ( j					1						)
											z				r1 j 0L											2				0C
												вх
															r1 j 0L											r2 j					1
																															0C
																								r ( j						1				)(r j										1							)
					r j L(r j L)
																								2				C								2								C
						1		0				1			0															0																0
																														1																1
				(r1 j 0L)(r1 j 0L)
																							(r2			j C)(r2 j C)
																														0																0
																										r2																				r2
				r 2L2										r2 L																																2
																										2C2
																																											C
					1 0						j				1 0											0									j											0
			r12 02L2										r12 02L2														1																				1
																								2												2
																								r2		2C2															r2						2C2
																										0																				0
											r2																												r22
		2 2																						2
										2			2																									0C
	r1 0L								0C								j				r1 0L																												r						jx .
r2		2L2						2					1					r2						2L2						2											1												вх		вх
	1	0						r2												1						0							r2
												2			2																									2						2
												0C																													0C

74 8. РЕЗОНАНС В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3. Определение резонансной частоты ω0.

					r2 L						r2	( C)
	x				1	0					2	0				0	,
				r12 02L2						r22 1 02C2
	вх
	или
				r	2 L					r	2	C
		1				0		2				0
														.
			r12 02L2						r22 1 02C2

Преобразовав полученное тождество

r12 02Lr22C2 r12L r12r22C r22C 02L2,

получим уравнение для определения частоты резонанса

								2r2LC(r2C L) r2																		(r2C L) 0,
						0 2													1			1				2
из которого следует
		r2			(r2C L)															102 (202 60 10 6 0,15)													156 с 1.
		1			2
		r2LC(r														202 0,15 60 10 6(102 60 10 6 0,15)
0						2C L)
		2			1
4. Определение входного тока:
							I				U		вх									U			вх
																				r 2L2
												rвх														r2 02C2
																			1		0
																		r12 02L2						r22 1 02C2
																			10												0,361 А.
					10 1562 0,152															20 1562 602 10 12
				102 1562 0,152															202		1 1562 602 10 12

5. Определение активной мощности P0: P0 I2rвх 0,3612 27,7 3,61 Вт.

Ответ: I = 0,361 A, P0 = 3,61 Вт.

75

Задача 8.3

Uсв

	I	IС	Сварочный аппарат мощностью Pсв = 1210 Вт при
		Iсв	напряжении сети Uсв =220 В и f = 50 Гц потребляет
			C
	Сварочный аппарат		ток Iсв = 11 А. Определить емкость и мощность бата-
			реи конденсаторов, которую необходимо включить
			параллельно сварочному аппарату (рис. 8.4), чтобы
			повысить коэффициент мощности (соs ) цепи до 1, а
			также ток, потребляемый цепью после подключения
		Рис. 8.4	батареи конденсаторов.

Решение

Вариант 1

1. Коэффициенту мощности, равному 1, соответствует режим резонанса токов в цепи (рис. 8.4), условием которого является:

Im yвх Im(gвх jbвх) 0,

и, как следствие,

bвх bLсв bC 0.

2. Заданные характеристики сварочного аппарата (Pсв, Uсв, Iсв) позволяют определить его коэффициент мощности

cos	св		Pсв		1210	0,5
			UсвIсв
					220 11

и реактивную проводимость

b y

св

sin

Iсв

sin

св

Lсв

св

Uсв

Iсв

11

1 (cos

)2

1 0,52

0,0432

Ом 1.

Uсв

св

220

3. Требуемая емкость определяется из условия резонанса:

bC C bLсв 0,0432 Ом 1.

76	8. РЕЗОНАНС В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

В результате

СbLсв 0,0432 139мкФ.

2 50

4.Мощность батареи конденсаторов

QС Uc2вbС 2202 0,0432 2100 вар.

5. Входной ток цепи может быть определен с помощью первого закона Кирхгофа

IILсв IС .

6.В режиме резонанса токов реактивная составляющая тока сварочного аппарата уравновешивается током батареи конденсаторов

Iсвр IС ,

поэтому входной ток цепи определяется лишь активной составляющей тока сварочного аппарата:

I Iсва Iсв cos св 11 0,5 5,5 А.

Ответ: С = 139 мкФ, QC = 2100 вар, I = 5,5 A.

Вариант 2 (расчет с помощью векторной диаграммы)

			Векторная диаграмма, соответствующая режиму
			резонанса (совпадение по фазе входного напряжения
			и входного тока), представлена на рис. 8.5. Диаграм-
Uсв		IC	ма строится на основании первого закона Кирхгофа
			I Iсв IC .
I
		Iсв	Порядок построения диаграммы:
			в произвольном направлении строится вектор
		Рис. 8.5	входного напряжения Uсв;
			строится (в соответствующем масштабе) век-
тор тока сварочного аппарата Iсв , отстающий от вектора входного напряжения

Uсвна угол

	св	arccos	Pсв	60 .
			UсвIсв

77

К концу вектора Iсв пристраивается вектор емкостного тока IC , опере-

жающий на прямой угол вектор Uсввходного напряжения, причем длина век-

тора емкостного тока принимается такой, чтобы вектор результирующего тока

I оказался в фазе с вектором Uсввходного напряжения.

Диаграмма позволяет определить емкостный ток

IC Iсв sin св 11sin60 9,526 A,

найти сопротивление конденсатора

xС UсвIС 2209,526 23,1 Ом

и величину емкости, обеспечивающую резонанс:

С 1 xС 1 23,1 314 139 мкФ.

Задача 8.4					A	IA
В цепи (рис. 8.6)	ток амперметра А равен 0,					IC a	I L
U = 240 B, L = 40 мГн, C = 1 мкФ. Сопротивления ам-							L
перметров равны нулю. Определить показания ампер-						Uab
					C
метров А1 и А2 токи IA	и IA		.			IA1 A
		2		U	b		b
1						1
Решение					r3	Ubc	r4
							IA2
1. Так как IA = 0, в цепи имеет место резонанс то-
						c	A2
ков на участке ab.
Векторная диаграмма для этого случая показана					Рис. 8.6
на рис. 8.7.
Из условия резонанса токов

Im yab Im(gab jbab) 0

следует, что bab bL0 bC0 0. При этом частота резонанса

		1			1	5 103 c 1.
0		LC			40 10 3 1 10 6

78 8. РЕЗОНАНС В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2. С учетом того, что

U

bc

I

r3r4

0,

A r

r

3

4

из уравнения по второму закону Кирхгофа следует:

U

ab U

U

bc U

240 В.

Рис. 8.7

В результате ток в индуктивности

I

L

U

ab

240

j1,2A .

j 0L

j5 103 40 10 3

3. Так как

I

I

r3

0, или I

Ubc

0,

А2

A r

r

A2

r

3

4

4

искомый ток через амперметр А1, как следует из первого закона Кирхгофа для узла «b»:

IA1 IA2 IL 0 ( j1,2) j1,2 A.

Ответ: IA1 j1,2 A; IA2 0.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 8.5

Определить (рис. 8.8) индуктивность L и входной ток цепи в режиме резонанса, если

С = 58 мкФ, U = 220 В, f = 50 Гц.

Расчет провести для случаев:

а) r = 22 Ом; б) r = 0.

Ответ: а) L = 140 мГн, Iвх = 2,012 А,
		Рис. 8.8
L = 35 мГн, Iвх = 7,99 А;
б) L = 175 мГн,	Iвх = 0.

79

Задача 8.6

Показание амперметра А равно нулю			r1	L1	I2
	2			A2
(рис. 8.9). Чему равен ток I4, если
U = 200 B, L1 = 0,2 Гн,				C5		L4
r1 = 50 Ом, C3 = 10 мкФ, L4 = 0,1 Гн,		U
				C3
C5 = 5 мкФ, r5 = 50 Ом?
				r5
Построить векторную диаграмму токов						I4
и напряжений.
Ответ: I4 = 4,123 A.				Рис. 8.9
Задача 8.7
	Определить резонансные частоты в цепи (рис. 8.10),
	если L = 0,01 Гн, С1 = 0,25 мкФ, С2 = 0,2 мкФ, активным
	сопротивлением цепи пренебречь.
	Ответ. 1. Резонанс		токов	при ω1 = 3·104		(с–1).
Рис. 8.10	2. Резонанс напряжений при ω2 = 2·104(с–1).
Задача 8.8
Определить индуктивность катушки L2, если ре-
зонанс токов в	цепи (рис. 8.11) возникает		при
ω0 = 4·103 с–1. Параметры цепи:
r = 20 Ом, L1 = 20 мГн, С = 20 мкФ.
Ответ: L2 = 24 мГн.				Рис. 8.11

Задача 8.9

	В цепи (рис. 8.12) имеет место резонанс токов.
	Амперметр А1	показывает 6 А, показание ампер-
	метра А3 составляет 3,6 А. Определить показание
	амперметра А2.
Рис. 8.12	Ответ: IA2	4,8 А.

80	8. РЕЗОНАНС В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Задача 8.10

Цепь находится в состоянии резонанса: Е = 40 В,

UL = 30 B, U12 = 50 B. Мощность, потребляемая цепью, Р = 40 Вт.

Определить параметры цепи: r, xL, xC.

Ответ: r = 62,5 Ом, xL = 30 Ом, xC = 83,33 Ом.

Рис. 8.13

9. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ СО ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Основные сведения

Взаимоиндукция – явле-

i

L1

M

L2

i2

ние наведения ЭДС в какой-

1

либо ветви цепи при измене-

eM1

M di2

eM2

M di1

нии тока в другой ветви этой

же илидругой цепи

dt

dt

При

согласном включе-

L1

L2

L1

L2

нии токи в индуктивно связан-

i1

M

i2

i1

M

i2

ных катушках ориентированы

i1

L1

M

L2

i2

i1

L1

M

L2

i2

одинаково

относительно

их

одноименных зажимов (обо-

Согласное включение

Встречное включение

значены звездочками)

При

согласном включе-

u1 L1 di1

M di2 ;

нии индуктивно связанных

U1 jxL I

1 jxM I2

катушек напряжения самоин-

dt

dt

1

дукции и

взаимоиндукции

в

u

2

L

di2 M di1 ;

U

2

jx

L2

I

2

jx

M

I

1

каждой из

катушек – одного

2

dt

dt

знака, при встречном включе-

xL L,

xM M

нии – противоположного знака

Расчет цепей с взаимной индуктивностью проводится в основном с использованием за-

конов Кирхгофа, методов контурных токов и наложения

Развязка индуктивных связей

двух индуктивно связанных катушек, присоединенных к общему узлу

L1

M

L2

Одноименные зажимы

a

L1

M

M

L2

M

в общем узле а

L1

L2

M

a

a

L1

M

L2

Разноименные зажимы

a

L1

M

M

L2

в общем узле а

L1

M

L2

M

a

a

Мощность индуктивно связанных катушек

(при согласном и встречном включении)

Q I2x

L

I2x

L

2x

M

I I

2

1

2

1

1

2