Кравченко. Практикум

62	7. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

9. Активная мощность цепи

P = Re {S} = 1966 Вт. 10. Реактивная мощность цепи

Q = Im {S} = 1575 ваp. 11. Топографическая диаграмма (см. рис. 7.2).

j

d

с

		b	n

UС

Uк1

m

f

a

Рис. 7.2

I

+

Полагаем, что a 0. Тогда

b a jxL2I 0 11,45 21,3 18 90 206,1 111,3 (B);

с b r2I 206,1 111,3 11,45 21,3 4 211 98,8 (B);

d c r3I 230,4 84,73 (B);

f d ( jxС)I 113 45 (B);

m f r1I 177,7 36,2 (B);

n m jxL1I 220 60 (B).

Проверка: a n U 0.

Примечание. Относительно одних и тех же точек цепи напряжение в схеме и на топографической диаграмме имеет противоположную ориентацию.

						63
Задача 7.3				z1	I1
В схеме (рис. 7.3)					I2	I3
Е	= 120 В,
z2	= 10 – j15 (Oм),		E		z2	z3
z3	= 2 + j6 (Ом),
z1	= 3,3 + j2 (Ом).	и	мгновенные
Определить комплексы
значения токов в схеме. Составить баланс				Рис. 7.3
мощностей.

Решение

1. Комплексное сопротивление цепи относительно источника

z		z		z2 z3	3,3 j2		(2 j6)(10 j15)		=
				z2 z3
	экв	1					(2 j6) (10 j15)
=3,3 j2	110	j30		3,3 j2		114 15,26		= 3,3 + j2 + 7,6 52,13° =
	12	j9
						15 36,87

=3,3 + j2 + 4,66 + j6 = 7,96 + j8 = 11,28 45,14° Ом.

2.Комплекс тока I1

I1

E

120

= 10,64 –45,14° (A).

zэкв

11,28 45,14

3. Токи в параллельных ветвях:

I

2

I

1

z3

10,64 45,14

2 j6

z2 z3

12 j9

=10,64 45,14 6,32 71,56 = 4,48 63,3 (A), 15 36,87

I3 = I1 – I2 = 10,64 –45,14° – 4,48 63,3° = 12,8 –64,5° (A). 4. Мгновенные значения токов:

i1(t) = 10,642sin( t 45,14 ) (А),

i2(t) = 4,482sin( t 63,3 ) (А) ,

i3(t) = 12,82sin( t 64,5 ) (А).

64 7. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

5. Мощность источника:

Sист E I1= 120 10,64 45,14° = 1276,8 45,14° = 900 + j905 (B A),

Pист = Re {Sист} = 900 Вт,

Qист = Im {Sист} = 905 вар.

6. Мощность потребителей

Sпотр = ∑I2z = I12z1 + I22z2 + I32z3 =

= 10,642(3,3 + j2) + 4,482(10 – j15) + 12,82(2 + j6) = 902 + j907,4 (В А),

Pпотр = Re {Sпотр} = 902 Вт,
Qпотр = Im {Sпотр} = 907,4 вар.
7. Баланс мощностей
Pист Рпотр ,	Qист Qпотр.
Относительная погрешность:

∆%P =902 900100% = 0,22 %, 900

∆%Q=907,4 905100% = 0,265 %. 905

Задача 7.4

В цепи (рис. 7.4) E1 = 127 В, E2 = 127 120° B, z1 = z2 = 1 + j3 (Ом), z3 = 4 + j3 (Ом).

Определить показание амперметра.

Решение

Определим ток I3 методом эквивалентного генератора:

I

3

Eэкв

.

zэкв z3

1. Комплекс внутреннего

сопротивления эквивалентного генератора

(рис. 7.5)

z

экв

z1z2

z1

0,5 j1,5 Ом.

z

z

2

2

1

65

					z	1	z2
							I1x a
					E1		E2
							Uabxx
							b
Рис. 7.4							Рис. 7.5
2. ЭДС эквивалентного генератора:
			Eэкв Uab .
					xx
Вариант 1
Для выбранного направления тока I1х (рис. 7.5)
где		Uabхх = E1 – I1xz1,
I	1x	E1 E2 127 127 120 =
		z	z	2	2 j6
		1
=127 63,5 j110 190,5 j110					220 30 34,8 101,5 (А).
2 j6		2 j6			6,32 71,5

В результате

Еэкв = Uabхх = 127 – 34,8 –101,5° (1+j3) =

= 127 – 34,8 –101,5° 3,16 71,5° = 31,7 + j55 = 63,48 60° (B).

Вариант 2

По методу двух узлов (рис. 7.5)

					E1			E2				127			127 120
						z1		z2													127 127 120
	U		ab									1 j3				1 j3
						1		1					1			1
			хх																	2
						z1		z2				1 j3				1 j3
=	127 63,5 j110										63,5 j110							126,8 60				63,48 60 (В)
				2								2								2

Рис. 7.6

Задача 7.5

66

7. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Таким образом,

Еэкв = U

abхх

= 63,48 60°(В).

3.

Комплекс действующего значения тока I3:

I3

Eэкв

63,48 60

zэкв z3

0,5 j1,5 4 j3

=

63,48 60

63,48 60

10 15 (A).

4,5 j4,5

6,345 45

4.

Показание амперметра:

IA = |I3| = 10 A.

Ответ: I3 = 10A.

Параметры схемы (рис. 7.6) z1 = 10 Ом, z2 = j5 Ом,

z3 = j10 Ом, z4 = 5 Ом, z5 = –j10 Ом, Е = 130 В.

Найти все токи, используя методы преобразования электрических цепей. Построить топографическую диаграмму.

Решение

1. Для преобразования исходной цепи в последо-

вательно-параллельную цепь целесообразно преобразовать один из «треугольников», например z1, z3, z5, в эквивалентную «звезду» z13, z15, z35. В результате

рассматриваемая схема принимает вид, представленный на рис. 7.7 с параметрами элементов:

z13

z1z3

10 j10

j10Ом,

z z

3

z

5

10 j10 j10

1

z15

z1z5

10 ( j10)

j10Ом,

z z

3

z

5

10 j10 j10

1

67

z	35	z3z5					j10 ( j10)	10Ом.
		z z	3	z	5		10 j10 j10
	1

2. Ток в ветви с источником ЭДС (рис. 7.7)

	I					E
				(z z			2	)(z	35		z		4	)
			z		15
	13				(z z	2	) (z			35		z		4	)
					15

Рис. 7.7

3. Токи I2 и I4:

	I	2		I				z35 z	4
								z15 z2 z35 z4
	I		4		I			z15 z	2
								z15 z2 z35 z4

4. Ток I5 (рис. 7.6):

	130
	j10 ( j10 j5) (10 5)

			( j10 j5) (10 5)
=	130			22,8 74,75 (A).
	j10	( j5) 15
	15		j5

	22,8 74,75	15	21,6 56,3 (A),
		15 j5
	22,8 74,75	j5	7,2 146,3 (A).
		15 j5

I5 Ucb .

z5

Как следует из рис. 7.6 (второй закон Кирхгофа),

Ucb = I4z4 – I2z2 =

=7,2 –146,3° 5 – 21,6 –56,3° j5 = 142,2 –146,3° (B).

Врезультате

I5 146,6 146,3 14,42 56,3 (A).j10

687. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

5.Остальные токи исходной цепи (рис. 7.6) определяются по первому закону Кирхгофа:

I1 = I2 – I5 = 21,6 –56,3°– 14,42 –56,3°= 7,2 –56,3° (A),

I3 = I4 + I5 = 7,2 –146,3°+ 14,42 –56,3°= 16,12 –82,87° (A).

6. Топографическая диаграмма (рис. 7.8) рассматриваемой цепи в предположении, что d 0:

b d z2I2			108 33,7 (B),
c d z4I4		36 146,3 (B),
	a b z1I1 130(B).
j			b
d			a
I4			+
c	I1
I3	I2
	Рис. 7.8

8. РЕЗОНАНС В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Основные сведения

Резонанс – явление в электрической цепи, содержащей участки индуктивного и емкост-

ного характера, при котором разность фаз напряжения и тока на входе цепи равна нулю.

Входное сопротивление при резонансе чисто активное.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений (последовательный резонанс) возможен в цепи, содержащей по-

следовательно соединенные участки индуктивного и емкостного характера

Условие последовательного резонанса

Im(zâõ) Im râõ jxâõ 0

Резонанс в последовательном RLC-контуре

Im(z

L

1

L

1

вх

) Im r j

C

0

0

0

C

0

0

1

– резонансная частота

0

LC

Векторная диаграмма RLC-контура

до резонанса

0

после резонанса

0

при резонансе 0

1 C L,

1 C L,

0L 1 0C,

UC UL 0

UC UL

UL UC 0

UL

UC

0

UL

UC

UL

UC

U

Ur

Ur

Ur

U

Входное сопротивление

zвхрез

Re(zвх ) min

Входной ток

Iрез U / zвхрез U /Re(zвх) max

Напряжения на реактивных элемен-

UL

UC I 0L I 1 0C

тах

Идеальный последовательный контур L–C (при резонансе эквивалентен закоротке)

a I

L

C b

a

I

b

zab j 0L 1 j 0C 0

UL

I

UL

UC

Uab

0

Uab zab I UL UC 0

UC

70

8. РЕЗОНАНС В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Активная мощность

P

UI

рез

cos UI

рез

I2 Re(z

вх

) max

(сos = 1)

рез

Реактивная мощность

Q

Q , Q

x

L

I2, Q

x I2,

Q

Q Q 0

L

C

L

C

C

рез

L

C

Резонанс токов

Резонанс токов (параллельный резонанс) возможен в цепи или на участке цепи, содержащем параллельные ветви индуктивного и емкостного характера.

Основное условие параллельного резонанса:

Общий случай параллель-

Im(yвх) Im(gвх jbвх ) 0

ного резонанса

Im(yвх) 0 b1

b2

I2

I

I2

I2p

r

r2

0L

1 0C

I2a

I=Ia

U

1

2

2

I1a

U

( 0L)

2

(1 0C)

2

C

L

r1

r2

0

I1p

I1

I1

Входная проводимость

yвхрез

Re(yвх) gвх min

Ток в неразветвленной

I U y

Ugвх

Iа min

части цепи

вхрез

Реактивные составляю-

I1р bLU ,

I2р bCU ,

Iр I1р I2р 0

щие токов

Реактивные мощности

Q

Q , Q

b U

2 , Q

b U2

, Q

Q

Q

0

L

C

L

L

C

C

рез

L

C

Идеальный параллельный контур L–C (при резонансе токов эквивалентен разрыву)

I

a

I=0

y 1 j 0L j 0C 0

вх

U

a

L

C

U

1 L C 1

b

0

0

0

LC

I1

I2

I U yвх

I1 I2 0

b

Библиографический список к разделу 8

1 Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Нету-

шил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 5.1, 5.2, 5.4 ,5.5, 5.7.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 3.25–3.30.

71

ПРИМЕРЫ

Задача 8.1

Известны показания приборов (рис. 8.1). Амперметры А1 и А2 показывают по 10 А, вольтметр на входе цепи показывает 100 В. Входные ток и напряжение совпадают по фазе. Определить входной ток I и параметры цепи r, xL, xC.

Решение	Рис. 8.1
Вариант 1 (расчет с помощью векторной диаграммы)

Совпадения по фазе входных напряжения и тока являются признаком резонанса в цепи. Векторная диаграмма цепи (рис. 8.2) построена в соответствии

с уравнениями

по

первому

и

второму законам Кирхгофа:

I = I1 I2

и

Uвх Uab UL

при условии совпадения фаз

Uвх

Uвх и I. Порядок построения векторной

U L

диаграммы следующий:

I1

I

произвольно выбираем направление

о

вектора Uab;

Uab

вектор тока I2 совпадает по направ-

I2

Рис. 8.2

лению с вектором Uab, а вектор тока

I1

опережает его на угол, равный 90°;

в силу того,

что I

I

2

, входной ток

цепи равен

I

I2

I2

1

1

2

10

14,1 A,

а изображающий его вектор I

опережает напряжение Uab

2

на 45°;

вектор Uab (длина его выбрана произвольно) суммируется с вектором

UL , опережающим вектор общего тока I на 90° так, чтобы вектор входного напряжения Uвх совпал с направлением вектора тока I .

Из диаграммы (рис. 8.2) следует:

UL = Uвх = 100 B,

Uab Uвх2 UL2 1002 В ,