Примеры выполнения

1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)

Решим систему дифференциальных уравнений, записанную в матричном виде:

_{Присвоим начальному индексу массивов значение 1.}

Зададим следующие начальные условия:

_,

Сформируем матрицы коэффициентов уравнения:

_,

Управляющее воздействие задано в виде:

Решение будем искать в виде:

или

Обозначим подинтегральное выражение:

Подставим в исходное выражение

_{Построим графики функции для каждого из элементов полученного вектора Х(t) – X(t)1 и X(t)2.}

Рис. 3.1. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений

2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad Метод Рунге-Кутта

Решим методом Рунге-Кутта исходную систему дифференциальных уравнений, записанную в виде:

для следующих начальных условий:

_,

_{Присвоим начальному индексу массивов значение 1.}

_{Сформируем вектор правых частей системы дифференциальных уравнений:}

_{Сформируем вектор начальных условий:}

_{Вызов функции rkfixed():}

_{Результат работы функции – матрица Xrk (таблица) значений, первый столбец которой содержит значения времени, второй искомые значения x1(t), третий – x2(t).}

Для построения графика функций предварительно зададим интервал изменения индекса:

Рис. 3.2. Сравнение численного решения методом Рунге-Кутта (штрихи) и аналитического (сплошные линии) решения системы дифференциальных уравнений

Метод Рунге-Кутта с адаптивным шагом

Решим ту же систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с адаптивным шагом.

Вектор правых частей уравнения и вектор начальных условий уже сформированы выше в примере решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

_{Вызов функции rkadapt():}

_{Результат работы функции – матрица Xrkа (таблица) значений, первый столбец которой содержит значения времени, второй искомые значения x1(t), третий – x2(t).}

Для построения графика функций предварительно зададим интервал изменения индекса:

Рис. 3.3. Сравнение численного решения методом Рунге-Кутта с адаптивным шагом (штрихи) и аналитического (сплошные линии) решения системы дифференциальных уравнений

Метод Булирша-Штера

Решим ту же систему дифференциальных уравнений методом Булирша-Штера. Вектор правых частей уравнения и вектор начальных условий уже сформированы выше в примере решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

_{Вызов функции Bulstoer():}

_{Результат работы функции – матрица Xrkb (таблица) значений, первый столбец которой содержит значения времени, второй искомые значения x1(t), третий – x2(t).}

Для построения графика функций предварительно зададим интервал изменения индекса:

Рис. 3.4. Сравнение численного решения методом Булирша-Штера (штрихи) и аналитического (сплошные линии) решения системыдифференциальных уравнений

3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду

Приведем дифференциальное уравнение к системе нормальных дифференциальных уравнений:

.

Введем замену:

x(t)=x₁(t),

_,

.

тогда

_,

.

Приводим к нормальному виду:

_,

.

В матричном виде система уравнений (44):

или

.

4. Приведение матричного уравнения к новым координатам

Решим систему дифференциальных уравнений с помощью MathCad. Задаем исходные данные:

Так как матрица А недиагональная, то приведем систему дифференциальных уравнений к новым координатам. Решение будем искать в виде:

Определяем собственные значения матрицы А – векторlи формируем матрицуL:

находим матрицу Т, а затем и матрицуL,обратнуюT:

Выполняем проверку:

Находим значения матрицы :

и подынтегрального выражения :

Находим функции y(t)иx(t):

Строим график :

Рис. 3.5. Решение с помощью приведения системы дифференциальных уравнений к новым координатам