5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра

Решим систему дифференциальных уравнений с помощью MathCad. Задаем исходные данные:

Решение будем искать в виде:

Так как матрица А недиагональная, то значение e^Atполучим с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра. Для этого определяем собственные значения матрицы А – векторlи задаем единичную матрицу:

Рассчитываем элементы фундаментальной матрицы

Находим значение подынтегрального выражения e^A(t-^⁾Bu():

Находим решение системы дифференциальных уравнений:

_{Задаем
интервал времени
и строим график функции:}

Рис. 1.6. Решение с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра

Контрольные вопросы

Представьте дифференциальное уравнение третьего порядка, описывающее систему, в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в нормальном виде.
Выведите общий вид аналитического решения дифференциального матричного уравнения.
Перечислите функции Mathcadдля численного решения систем дифференциальных уравнений.
Как решить дифференциальное уравнение четвертого порядка с помощью функций rkfixed,rkadapt,bulstoer?
В чем отличия между функциями rkfixed,rkadapt,bulstoer?
Как решить дифференциальное матричное уравнение третьего порядка с помощью диагонализации матриц?

Содержание отчета

Титульный лист, название и цель работы, постановку задачи в соответствии с вариантом задания
.Решения систем дифференциальных уравнений, в соответствии с вариантом аналитическим и численным методами и графики решения.
Выводы.

Задания

Динамическая система представлена дифференциальным уравнением второго порядка в виде:

Коэффициенты уравнения заданы в табл. 3.1. Получить аналитическое решение.

Таблица 3.1

№ варианта		Т₁	Т₂		№ варианта	Т₁	Т₂
		3.4	2.1	1.85		5.8	2.7	1.5
		-2.8	1.4	6.71		-1.3	1.9	2.71
		4.71	-3.38	3.18		0.78	-5.8	2.3
	5.18		1.97	-0.92		4.2	7.1	-0.2
	2.15		2.15	3.18		0.78	2.1	2.5
	-6.44		3.17	7.06		-5.6	0.78	0.2
	20.8		23.6	-12.1		0.45	0.12	0.1
	12.1		-14.7	9.56		4.7	0.79	0.3
	-4.8		4.8	2.7		0.34	0.81	0.1
	3.1		3.1	4.1		0.48	0.16	0.7

Задана система:

Получить решение численным методом и построить графики. Исходные данные заданы в табл. 3.2.

Таблица 3.2.

№	a	b	c					u(t)
1	-2.1	-0.1	2.11	0.16	0.02	1.53	1.2	функция
2	-0.8	2.1	3.21	0.19	0.43	1.32	1.4	единичный импульс
3	1.5	-0.11	2.67	1.23	0.36	-3.54	3.2
4	4.3	-0.32	3.24	2.87	-3.17	-2.32	2.7
5	0.9	0.78	-1.18	-1.23	-2.41	-1.13	1.3
6	6.5	2.3	-1.32	-3.14	-1.32	3.26	-2.7
7	4.7	1.7	-3.21	-2.12	- 3.12	4.67	-3.5
8	5.6	2.3	4	-0.8	0	0	0.2	t-2
9	1.8	2.7	3	1.1	0.2	0.6	0.7	5
10	2.8	9.2	1.6	0.6	4.5	2.3	0.9	11