- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа №1 основы работы вmathcad Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Основы пользовательского интерфейса
- •Операции с файлами
- •Входной язык системы MathCad
- •Алфавит входного языкаMathСad
- •Типы данных
- •Присваивание значений
- •Задание ранжированных переменных
- •Выполнение арифметических операций
- •Элементарные функции
- •Работа с массивами, векторами и матрицами
- •Задание формата результатов
- •Построение графиков функции
- •Символьные вычисления
- •Символьные операции с выделенными выражениями
- •Символьные операции с выделенными переменными
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №2 решение дифференциальных уравнений
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •1. Решение с помощью обратного преобразования Лапласа
- •2. Приближенное численное решение
- •3. Решение с помощью блока Given и функции odesolve
- •Примеры выполнения
- •1. Решение дифференциального уравнения с помощью преобразований Лапласа
- •2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
- •Лабораторная работа №3 решение систем дифференциальных уравнений
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)
- •2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad
- •3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду
- •4. Приведение матричного уравнения к новым координатам
- •5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
- •Примеры выполнения
- •1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)
- •2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad Метод Рунге-Кутта
- •Метод Рунге-Кутта с адаптивным шагом
- •Метод Булирша-Штера
- •3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду
- •4. Приведение матричного уравнения к новым координатам
- •5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №4 исследование временных характеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •1. Построение переходной и весовой функций идеального интегрирующего звена
- •2. Построение переходной и весовой функций апериодического звена первого порядка
- •3. Построение переходной и весовой функций реального дифференцирующего звена
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №5 исследование частотныхxарактеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №6 исследование устойчивости объектов управления и замкнутых систем автоматического управления
- •Порядок выполнения
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
Лабораторная работа №5 исследование частотныхxарактеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
Цель работы: получение навыков по построению частотных характеристик и исследованию влияния параметров звеньев на характер и показатели частотных характеристик.
Порядок выполнения работы
1. Для звеньев или соединений звеньев, заданных передаточными функциями:
, (5.1)
, (5.2)
, (5.3)
, (5.4)
, (5.5)
, (5.6)
, (5.7)
, (5.8)
построить АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ при различных значениях параметров.
2. Для заданной преподавателем передаточной функции промоделировать прохождение через исследуемый объект гармонического сигнала с различной частотой
Теоретические сведения
Амплитудно-фазовой (частотной) характеристикой (АФЧХ) называется функция W(j), определяющая изменение амплитуды и фазы выходной величины системы или ее отдельного элемента в установившемся режиме при приложении на входе гармонического воздействия. АФЧХ можно определить как преобразование Фурье весовой функции объекта или системы:
, (5.9)
либо формальным переходом от передаточной функции W(s) при заменеsнаj. Для, гдеи- многочленыm-й иn-й степеней отs, частотная характеристика будет равна
. (5.10)
Освобождаясь от мнимого числа в знаменателе, путем домножения на комплексно сопряженную знаменателю функцию получаем
,
где R(),I() – вещественная и мнимая части частотной функции системы.
(5.11)
. (5.12)
Представляя комплексные функции числителя и знаменателя (5.10) в показательной форме, можно записать:
(5.13)
,
или
(5.14)
где и – модули комплексных функций числителя и знаменателя частотной характеристики,
B(),D() – соответственно фазы комплексных функций числителя и знаменателя,
А() – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), равная
, (5.15)
() – фазовая частотная характеристика (ФЧХ),
. (5.16)
Если рассматривать прохождение гармонического сигнала через линейный объект, то при сохраняющейся частоте сигнала амплитудно-частотная характеристика также определяется как зависимость отношения амплитуды выходного гармонического сигнала в установившемся режиме к амплитуде входного сигнала от частоты сигнала. Соответственно, фазовая частотная характеристика есть зависимость смещения по фазе выходного гармонического сигнала относительно входного от частоты сигнала.
В MathCadдля выделения значения фазы предусмотрена функцияarg():
, (5.17)
либо функция atan, определяющие значения фазы только в пределах от -до +. Если фаза выходит за пределы (-,+), ее необходимо скорректировать с учетом знаков действительной и мнимой частей АФЧХ.
Графически амплитудно-фазовая частотная характеристика изображается на комплексной плоскости в полярных координатах (А, ) как годограф функцииW(j). Можно построить амплитудно-частотную характеристику и в прямоугольных координатах (Im[W(j)],Re[W(j)]). При этом частотуизменяют от 0 до.
Логарифмические частотные характеристики используются при исследовании систем автоматического управления с помощью частотных методов и представляют собой логарифмическую амплитудную и логарифмическую фазовую характеристики.
Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАХ) называется кривая, соответствующая 20 десятичным логарифмам модуля частотной характеристики системы, построенная в логарифмической координатной сетке: логарифм амплитуды – логарифм частоты (или частота, отложенная в декадах):
, (5.18)
где – логарифм частоты.
При построении логарифмической амплитудной характеристики по оси ординат откладывают величину , единицей измерения для которой является децибел. По оси абсцисс – логарифм частоты. Равномерной единицей на оси абсцисс является декада – отрезок, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс называется частотой срезас.
Значению А() = 1 исходя из (5.18) соответствует, в этом случае ЛАХ проходит по оси абсцисс. Верхняя полуплоскость ЛАХ соответствует значениям А() > 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость – значениям А() < 1 (ослабление амплитуды).
При построении логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ) отсчет углов () идет по оси ординат в обычном масштабе в радианах либо градусах, а по оси абсцисс откладывается логарифм частотыили частота в декадах.
Логарифмические частотные характеристики удобны для анализа систем, образованных последовательным соединением элементарных звеньев (рис. 5.1), поскольку позволяют перейти от операции умножения модулей частотных характеристик элементарных звеньев к операции сложения их логарифмических амплитудных характеристик, что иллюстрируется следующими зависимостями:
(5.19)
, (5.20)
, (5.21)
. (5.22)