- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа №1 основы работы вmathcad Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Основы пользовательского интерфейса
- •Операции с файлами
- •Входной язык системы MathCad
- •Алфавит входного языкаMathСad
- •Типы данных
- •Присваивание значений
- •Задание ранжированных переменных
- •Выполнение арифметических операций
- •Элементарные функции
- •Работа с массивами, векторами и матрицами
- •Задание формата результатов
- •Построение графиков функции
- •Символьные вычисления
- •Символьные операции с выделенными выражениями
- •Символьные операции с выделенными переменными
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №2 решение дифференциальных уравнений
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •1. Решение с помощью обратного преобразования Лапласа
- •2. Приближенное численное решение
- •3. Решение с помощью блока Given и функции odesolve
- •Примеры выполнения
- •1. Решение дифференциального уравнения с помощью преобразований Лапласа
- •2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
- •Лабораторная работа №3 решение систем дифференциальных уравнений
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)
- •2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad
- •3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду
- •4. Приведение матричного уравнения к новым координатам
- •5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
- •Примеры выполнения
- •1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)
- •2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad Метод Рунге-Кутта
- •Метод Рунге-Кутта с адаптивным шагом
- •Метод Булирша-Штера
- •3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду
- •4. Приведение матричного уравнения к новым координатам
- •5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №4 исследование временных характеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •1. Построение переходной и весовой функций идеального интегрирующего звена
- •2. Построение переходной и весовой функций апериодического звена первого порядка
- •3. Построение переходной и весовой функций реального дифференцирующего звена
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №5 исследование частотныхxарактеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №6 исследование устойчивости объектов управления и замкнутых систем автоматического управления
- •Порядок выполнения
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
Лабораторная работа №4 исследование временных характеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
Цель работы: получение навыков по построению временных характеристик и исследованию влияния параметров звеньев на характер и показатели временных характеристик.
Порядок выполнения работы
Для звеньев или соединений звеньев, заданных передаточными функциями:
, (4.1)
, (4.2)
, (4.3)
, (4.4)
, (4.5)
, (4.6)
, (4.7)
построить переходные и импульсные переходные процессы при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления
При построении временных характеристик воспользоваться приемлемым методом:
обратным преобразованием Лапласа выражения для определения соответствующей временной характеристики по известной передаточной функции для нулевых начальных условий;
записью по передаточной функции дифференциального уравнения для искомой временной характеристики и его решению при соответствующих начальных условиях.
Теоретические сведения
Общие сведения о динамических характеристиках объектов управления и математическом описании объектов даны во всех учебниках по теории автоматического управления, ниже приведены только основные определения:
Переходный процесс – реакция объекта или системы на единичное ступенчатое воздействие, полученная при нулевых начальных условиях.
Единичная ступенчатая функция, подающаяся на вход звена, определяется как
Функция времени, которая описывает переходный процесс, называется переходной функцией и обозначаетсяh(t).
Импульсным переходным процессомявляется реакция звена или системы на входное воздействие в виде-функции при нулевых начальных условиях. Соответствующее описание процесса носит названиевесовой функции и обозначаетсяw(t).
Единичная импульсная функция (дельта-импульс), подающаяся на вход звена, обладает следующими свойствами:
, .
Зачастую -функцию определяют предельным переходом
.
Преобразование по Лапласу весовой функции называется передаточной функцией.
В MathCad имеются встроенные единичная ступенчатая и единичная импульсная функции, которые обозначаются соответственно: Ф(t) иDirac(t).
Передаточная функция определяется также как отношение изображений по Лапласу реакции звена Y(s) или системы и вызвавшего ее входного воздействияX(s) при нулевых начальных условиях
, (4.8)
откуда временная характеристика может быть найдена:
. (4.9)
Таким образом, для построения переходной и весовой функций необходимо предварительно найти изображения X(s) входных воздействий 1(t) и(t) соответственно. Их можно получить с помощью преобразований Лапласа:
,
.
Тогда переходной процесс может быть найден как:
, (4.10)
а весовая функция получается обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции:
. (4.11)
Связь между переходным процессом и весовой функцией описывается уравнением
. (4.12)
Пример выполнения
1. Построение переходной и весовой функций идеального интегрирующего звена
Передаточная функция интегрирующего звена .
Переходной процесс находим обратным преобразованием Лапласа, используя (4.10) при :
.
Присвоим полученный результат функции h(t), умножив его на единичную ступенчатую функцию Ф(t):
,
что отражает условие физической реализуемости единичного ступенчатого воздействия на объект (при t<0), позволяет формализовать операции с переходными и весовыми функциями, а также строить наглядные графики этих функций на временной оси с отрицательным участком.
Импульсная переходная характеристика звена имеет вид:
, .
Поскольку , то.
Построим графики переходной и весовой функций
Рис. 4.1. Графики временных характеристик интегрирующего звена