- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа №1 основы работы вmathcad Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Основы пользовательского интерфейса
- •Операции с файлами
- •Входной язык системы MathCad
- •Алфавит входного языкаMathСad
- •Типы данных
- •Присваивание значений
- •Задание ранжированных переменных
- •Выполнение арифметических операций
- •Элементарные функции
- •Работа с массивами, векторами и матрицами
- •Задание формата результатов
- •Построение графиков функции
- •Символьные вычисления
- •Символьные операции с выделенными выражениями
- •Символьные операции с выделенными переменными
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №2 решение дифференциальных уравнений
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •1. Решение с помощью обратного преобразования Лапласа
- •2. Приближенное численное решение
- •3. Решение с помощью блока Given и функции odesolve
- •Примеры выполнения
- •1. Решение дифференциального уравнения с помощью преобразований Лапласа
- •2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
- •Лабораторная работа №3 решение систем дифференциальных уравнений
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)
- •2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad
- •3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду
- •4. Приведение матричного уравнения к новым координатам
- •5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
- •Примеры выполнения
- •1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)
- •2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad Метод Рунге-Кутта
- •Метод Рунге-Кутта с адаптивным шагом
- •Метод Булирша-Штера
- •3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду
- •4. Приведение матричного уравнения к новым координатам
- •5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №4 исследование временных характеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •1. Построение переходной и весовой функций идеального интегрирующего звена
- •2. Построение переходной и весовой функций апериодического звена первого порядка
- •3. Построение переходной и весовой функций реального дифференцирующего звена
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №5 исследование частотныхxарактеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №6 исследование устойчивости объектов управления и замкнутых систем автоматического управления
- •Порядок выполнения
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
Примеры выполнения
Передаточная функция разомкнутой цепи
. (6.5)
Характеристическое уравнение
(6.6)
имеет два нулевых корня
и один отрицательный действительный
,
следовательно, разомкнутая система является неустойчивой.
Функция Михайлова для разомкнутой системы соответственно равна:
(6.7)
Вид годографа функции Михайлова показан на рис.6.3.
Анализ годографа показывает, что характеристическое уравнение 6.6не имеет правых корней, так как годограф уходит в бесконечность в третьей четверти, но поскольку он проходит через начало координат (начинается в начале координат), имеются нулевые корни.
Передаточная функция замкнутой системы с отрицательной единичной обратной связью для
равна:
, (6.8)
Рис.6.3. Годограф функции Михайлова
а функция Михайлова для замкнутой системы имеет вид:
. (6.9)
ПриKo:=1,Kn:=3,и различныхKi, соответствующих устойчивому (), граничному () и неустойчивому () состояниям годограф функции Михайлова показан на рис.6.4.
Рис.6.4. Годограф функции Михайлова замкнутой системы для различных
Если действительная и мнимая части функции (6.9)одновременно обращаются в 0 и замкнутая система будет находиться на границе устойчивости.
При действительная часть функции Михайлова изменит знак быстрее нежели мнимая и годограф Михайлова пройдет слева от начала координат, что соответствует по критерию Михайлова устойчивой системе.
При годограф Михайлова пройдет справа от начала координат и система будет неустойчивой.
Для анализа устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста следует построить частотную характеристику разомкнутой системы и, поскольку, она имеет разрыв на нулевой частоте (разомкнутая цепь содержит интегрирующие звенья), дополнить годограф полуокружностью, начинающейся на положительной действительной полуоси и проходящей по часовой стрелке до пересечения с годографом.
Частотная характеристика разомкнутой системы описывается выражением
. (6.10)
Выделим действительную и мнимую части:
(6.11)
. (6.12)
Графики частотной характеристики разомкнутой системы для различных Kiпоказаны на рис. 6.5.
Поскольку характеристическое уравнение разомкнутой системы не содержит правых корней и, в соответствии с критерием Найквиста, годограф функции W(j) присовместно с дополняющей окружностью, как не охватывающий точку с координатами (-1, j0), соответствует устойчивой замкнутой системе.
Рис.6.5. АФЧХ разомкнутой системы при различныхKi
Годограф функции W(j) присоответствует системе, находящейся на границе устойчивости, годограф функции W(j) при- неустойчивой системе.
Условие попадания системы на границу устойчивости тождественно условию прохождения годографа через точку (-1, j0) или существованию решения системы уравнений:
ReW()=-1
ImW()=0
Для частотной характеристики (6.5) эта система после преобразования дает решение вида . Это означает, что при, не зависимо от частоты, мнимая часть превращается в 0, а действительная проходит по отрицательной полуоси абсцисс играфик частотной характеристики попадает в точку (-1, j0).
Логарифмические частотные характеристики определяются выражениями:
.
Графики ЛАХ и ЛФЧХ, соответствующие устойчивому, граничному и неустойчивому состояниям замкнутой системы приведены на рис.6.6, 6.7.
Рис.6.6. Логарифмические амплитудные характеристики
Рис.6.7.Логарифмические фазовые характеристики
Как следует из графиков, для Ki=2 значение фазы на частоте среза ЛАХ больше -, дляKi=15=Kn/T1– фаза равна -, а дляKi=25 – фаза меньше -. Соответственно, в первом случае замкнутая система будет устойчивой, во втором – находиться на границе устойчивости, в третьем – не устойчивой.