Глава 4. Произвольная плоская система сил

4.1 Теорема о параллельном переносе силы. (Метод Пуансо)

Докажем следующую теорему: Действие силы на твердое тело не изменяется, если ее перенести параллельно самой себе в любую другую точку этого тела, приложив при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно той точки, в которую переносится сила.

Пусть на твердое тело действует сила , приложенная в точкеА (рисунок 55, а). Действие этой силы на точку не изменяется, если в произвольной точке В тела приложить две уравновешенные силы и, такие, что,. Полученная система трех сил,,(рисунок 55,б) эквивалентно одной заданной силе . При этом система сил,,представляет собой силу , но приложенную в точкеВ, и пару с моментом

,

так как момент парыравен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой.

Таким образом, теорема доказана. Если условиться пару изображать круглой стрелкой, то результат, даваемый этой теоремой, можно изобразить так, как показано на рисунке 55,в.

Доказанная теорема о параллельном переносе силы кладется в основу при решении задачи о приведении произвольной плоской системы сил к простейшей ей эквивалентной системе.

4.2. Приведение произвольной плоской системы сил к одной силе и к одной паре

Если линии действия сил данной системы расположены в одной плоскости произвольно, не пересекаются в одной точке и не параллельны между собой (но некоторые из них могут пересекаться в одной точке и могут быть параллельны между собой), то такая система сил называется произвольной плоской системой сил.

Пусть на твердое тело действует произвольная плоская система сил , , …,,приложенных соответственно в точках , , …,этого тела (рисунок 56, а). Возьмем в плоскости действие сил этой системы произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, пользуясь доказанной в § 17 теоремой, перенесем все заданные силы параллельно самим себе в точку О. При этом получим, что: 1) сила , приложенная в точке , эквивалентна силе , приложенной в точке О, и так называемой присоединенной паре с моментом , 2) сила , приложенная в точке , эквивалентна силе , приложенной в точке О, и присоединенной паре с моментом и т. д.

Таким образом, в результате приведения имеем систему сил:

, , …,, (1)

приложенных к произвольно выбранному центру приведения О (рисунок 56, б), и систему лежащих в одной плоскости присоединенных пар

, , …,,(2)

моменты которых соответственно будут равны

, , …,. (3)

Приведенные к точке О силы , , …, можно сложить по правилу силового многоугольника (геометрически) и, следовательно, заменить одной, эквивалентной им, силой , приложенной к той же точке О и равной их геометрической сумме , или, согласно равенствам (1),

. (4)

Все присоединенные пары (2) можно сложить по правилу сложения пар, лежащих в одной плоскости, и, следовательно, заменить их одной парой, расположенной в той же плоскости. Момент этой равнодействующей пары , или, согласно равенствам (3),

. (5)

Величина , равная геометрической сумме всех сил произвольной плоской системы сил (4), называется главным вектором этой системы.

Величина , равная алгебраической сумме моментов всех сил произвольной плоской системы сил относительно центра приведения О (5), называется главным моментом этой системы относительно центра приведения О.

В результате мы доказали следующую теорему: произвольную плоскую систему сил, действующую на твердое тело, в общем случае можно заменить одной силой, равной главному вектору системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения О, и одной парой с моментом, равным главному моменту системы относительно центра приведения О (рисунок 56, в).

Из этой теоремы видно, что две произвольные плоские системы сил для которых главные векторы и главные моменты одинаковы, эквивалентны. Таким образом, для задания произвольной плоской системы сил, действующей на твердое тело, достаточно задать ее главный вектор и главный момент относительно данного центра приведения О.

Модуль и направление главного вектора произвольной плоской системы сил можно найти или геометрически — построением силового многоугольника, или аналитически — по формулам для равнодействующей системы сходящихся сил (§ 2.3 и 2.4, 2.6):

; (6)

; . (7)

Модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения О, так как все силы переносятся в центр приведения О параллельно самим себе, и, следовательно, силовой многоугольник будет при перемене места центра приведения одним и тем же. Чтобы подчеркнуть это свойство главного вектора, говорят, что главный вектор произвольной плоской системы сил инвариантен по отношению к центру приведения (=invar).

Величина и знак главного момента произвольной плоскости системы сил определяется по формуле (5). При изменении положения центра приведения величина и знак главного момента произвольной плоской системы сил изменяется в следствии изменения моментов сил этой системы относительно центра приведения. Следовательно в общем случае главный момент не инвариантен по отношению к центру приведения. Поэтому, когда говорят о главном моменте произвольной плоской системы сил, то всегда указывают, относительно какого центра приведения он вычислен.

Заметим, что принятие равнодействующей и главного вектора – это различные понятия и смешивать их нельзя. Главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как он заменяет эту силу не один, а вместе с парой, момент которой равен главному моменту той же системы сил относительно выбранного центра приведения. Различие этих понятий заключается также и в том, что главный вектор может являться свободным вектором (т. е. его начало может быть выбрано где угодно), в то время как равнодействующая является скользящим вектором (т. е. имеет определенную линию действия). Кроме того, если главный вектор существует, то при этом равнодействующая может и не существовать.

Сходство понятий равнодействующей и главного вектора заключается в том, что если равнодействующая существует, то она геометрически равна главному вектору.