Глава 2. Приведение пространственной и плоской систем сходящихся сил к равнодействующей

2.1 Геометрический метод определения равнодействующей

Пространственной и плоской систем сходящихся сил

Система сил, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке, называетсясистемой сходящихся сил. Система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости, но пересекаются в одной точке, называется пространственной системой сходящихся сил. Система же сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, и пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящихся сил. Если мы перенесем точки приложения ,,…,всех сил , ,…, данной пространственной или плоской системы сходящихся сил в общую точку О пересечения линий действий этих сил (рисунок 24, а, б), то согласно первому следствию из аксиом I и II действие этой системы сил на абсолютно твердое тело не изменится. Таким образом, любую систему сходящихся сил можно заменить эквивалентной системой сил, приложенных в одной точке.

Всюду в статике, а также и в динамике мы будем иметь дело со случаями, когда к телу приложена какая-нибудь система сил. Мы увидим, что сложную систему сил можно заменить по определенным правилам простой системой, действие которой на тело будет таким же, как и действие сложной системы сил. Эта замена сложной системы сил простой системой называется приведением системы сил к простейшей, ей эквивалентной. Если система сил приводится только к одной силе, ей эквивалентной, то эта одна сила называется равнодействующей системы сил, а приведение системы сил называется в этом случае сложением сил. Обратный процесс носит название разложения сил.

В этой главе прежде всего рассмотрим пространственную систему сходящихся сил, действующих на тело, с целью замены этой системы одной равнодействующей и, в частности, с целью нахождения необходимого и достаточного условия равновесия этой системы сил.

Одновременно рассмотрим указанные две основные задачи статики (приведения и равновесия) и для плоской системы сходящихся сил. Далее мы рассмотрим более трудные задачи приведения и равновесия различных систем сил, требующих более сложных методов и новых понятий.

Предположим, что к точкеА абсолютно твердого тела приложены, например, четыре силы , ,,,линии действия которых не лежат в одной плоскости (рисунок 25, а). Постараемся установить, что эта пространственная система сходящихся сил приводится только к равнодействующей. Для этого будем складывать силы , ,,последовательно, пользуясь уже установленным нами для сложения двух сходящихся сил правилом силового треугольника. Сначала сложим по этому правилу какие-либо две из данных сил, например силы и , для чего из конца вектора силы (точки В) проведем вектор , равный силе . Равнодействующая сил и изобразится в выбранном масштабе замыкающей стороной треугольника, т. е. вектором . Сложим поэтому же правилу силы и , для чего из точки С проведем вектор, равный силе , и соединим точки А и D. Вектор представляет в выбранном масштабе равнодействующую сили , т. е. заменяет собой действие сил , ,. Затем сложим силы и . Для этого проводим из точки D вектор , равный силе , и соединяем прямой точки А и Е. Вектор , представляя в выбранном масштабе равнодействующуюсили будет, очевидно, служить и равнодействующей всей данной пространственной системы сходящихся сил (рисунок 25, а).

Процесс определения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил удобнее вести, как это видно из рисунка 25, а, несколько иным путем (рисунок 25, б). Из конца вектора силы (точки В) проводим вектор , равный силе .Из конца этого вектора (точки С) проводим вектор , равный силе .Из конца этого вектора (точки D) проводим вектор , равный силе . Полученный многоугольник AВСДЕ называется силовым многоугольником. Стороны этого многоугольника, равные заданным силам и одинаково с ними направленные, называются составляющими силами. Вектор , соединяющий начало А первой силы и конец Е последней силы и направленный навстречу составляющим силам, называется замыкающей стороной силового многоугольника. Поэтому можно сказать, что равнодействующая пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил изображается в выбранном масштабе по модулю и по направлению замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах (правило силового многоугольника).

Если в точке А тела приложены три силы , , (рисунок 26), линии действия которых не лежат в одной плоскости, то равнодействующая этой пространственной системы сходящихся сил изобразится по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, и будет приложена в той же точке А (правило параллелепипеда сил). В самом деле, для трех сил , , диагональ АD соответствующего параллелепипеда есть замыкающая сторона АD построенного многоугольника этих сил АВСD. Необходимо иметь в виду, что силовой многоугольник, получающийся при определении равнодействующей пространственной системы сходящихся сил (при любом числе сил), не будет плоским, так как линии действия сил этой системы не лежат в одной плоскости.

Полученное правило определения равнодействующей системы сходящихся сил справедливо при любом числе сил, входящих в состав данной системы.

Нахождение равнодействующей системы сходящихся сил по правилу силового многоугольника называется векторным или геометрическим сложением сил. Нужно заметить, что порядок, в котором производится векторное, или геометрическое, сложение сил, безразличен: при изменении порядка слагаемых сил замыкающая сторона силового многоугольника не изменит ни своего модуля, ни своего направления. Таким образом, мы доказали следующую теорему: пространственная и, следовательно, плоская система сходящихся сил в общем случае эквивалентна одной силе, являющейся равнодействующей, которая приложена в точке пересечения линий действия всех этих сил и равна их векторной (геометрической) сумме:

.

Для обозначения векторной (геометрической) суммы сходящихся сил , ,…, будем пользоваться обычным знаком (сигма):

, (1) где знакобозначает суммирование стоящих справа от него отмеченных индексомi сил по всем последовательным значениям этого индекса от до.

Эту же теорему, но применительно к плоской системе сходящихся сил, можно сформулировать аналогичным образом. Однако при этом нужно указать, что линия действия равнодействующей плоской системы сходящихся сил лежит в той же плоскости, в которой расположены линии действия всех сил этой системы.