5.3 Понятие о ферме

Фермы применяются при постройке мостов, подъемных кранов, зданий, мачт, самолетов и других сооружений.

В теоретической механике под фермой понимают жесткую решетчатую конструкцию, состоящую из прямолинейных невесомых стержней, соединенных по концам идеальными (лишенными трения) шарнирами. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все активные силы к ферме прикладываются только к узлам. Если оси всех стержней фермы и линий действия всех приложенных к ее узлам сил лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской. В нашем курсе будем рассматривать методы расчета только плоских ферм. Так как все заданные силы приложены в узлах фермы и трения в шарнирах нет, то каждый прямолинейный невесомый стержень фермы будет на-,ходитьс5ппод действием только двух сил, приложенных к его концам (все силы, приложенные в каждом из концов стержня, всегда можно заменить одной равнодействующей). Но при равновесии стержня под действием только двух сил эти силы должны быть равны по модулю и направлены вдоль стержня в противоположные стороны. Л это значит, что каждый стержень фермы будет испытывать только сжатие или растяжение.

Данное нами определение фермы является идеализированным. Однако оно позволяет произвести расчет реальных ферм, которые встречаются на практике, наиболее простым способом и получить результаты, достаточно близкие к действительности. В реальной ферме стержни, конечно, обладают весом и соединяются между собой не шарнирно, а наглухо, при помощи сварки или заклепок. Вследствие этого стержни реальной фермы будут еще и изгибаться под действием собственного веса. Но так как вес каждого стержня реальной фермы обычно является незначительным по сравнению с силами, приложенными в ее узлах (на практике часто встречаются и силы, распределенные вдоль стержней (вес снега или давление ветра). Обычно они малы по сравнению с силами, приложенными в узлах фермы, и ими можно пренебречь), то для простоты расчета им можно пренебречь. Считая при этом ферму состоящей из прямолинейных стержней, соединенных между собой при помощи идеальных (лишенных трения) шарниров, мы приходим к заключению, что каждый стержень будет испытывать сжатие или растяжение и не будет подвергаться изгибу.

Не всякое шарнирное соединение стержней является фермой. Ферма представляет собой жесткую, или неизменяемую, стержневую систему: вследствие наличия стержней узлы фермы под действием приложенных, к ним сил не могут изменять своего взаимного положения. Чтобы получить простейшую ферму, достаточно соединить шарнирами три стержня (рисунок 83, а). Если соединить шарнирами четыре стержня, то мы получим не ферму, а механизм (рисунок 83, б), в котором под действием приложенных к узлам сил стержни будут иметь относительные перемещения. Чтобы сделать это шарнирное соединение стержней фермой, достаточно перетянуть его по одной диагонали стержнем (рисунок 83, в). На рисунке 84 показана плоская ферма, состоящая из нескольких стержневых треугольников с шарнирными соединениями в вершинах.

Если при снятии хотя бы одного стержня ферма теряет свойства жесткости, то про такую ферму говорят, что она не имеет лишних стержней. Примером фермы без лишних стержней является треугольная ферма (рисунок 83, а) или построенная из стержневых треугольников плоская ферма (рисунок 83, в и 84). Если же при снятии одного или нескольких стержней ферма не теряет свойства жесткости, то про такую ферму говорят, что она имеет лишние стержни. Простейшим примером фермы с лишними стержнями является перетянутая двумя диагоналями четырехугольная ферма (рисунок 85). Если от этой фермы отнять стержень, направленный по диагонали, то она останется жесткой (рисунок 83, в). Следовательно, второй стержень, направленный по диагонали, с точки зрения обеспечения жесткости является лишним (эта ферма имеет один лишний стержень).

В плоской ферме без лишних стержней, образованной из стержневых треугольников, имеет место следующая зависимость между числом стержней k и числом узлов п:

. (1)

В самом деле, в треугольной ферме имеем три узла и три стержня (например, на рисунке 84 стержневой треугольник имеет три узла I, II и III и три стержня 1, 2 и 3). Присоединение каждого следующего узла потребует два стержня (например, на рисунке 84 узел IV присоединен двумя стержнями 4 и 5). Следовательно, для получения всех остальных узлов потребуетсястержней. В результате число стержней рассматриваемой фермы. Это равенство как раз и выражает искомую зависимость между числом стержней и числом узлов плоской фермы без лишних стержней.

Если , то система шарнирно сочлененных концами стержней будет изменяемой стержневой системой и, следовательно, не является фермой (рисунок 83,б). В этом случае конструкция получает подвижность, становится механизмом. Если же , то ферма имеет лишние стержни (рисунок 85), удаление которых не нарушает жесткости фермы (рисунок 83, в). Такие фермы пригодны для сооружений, так как лишние стержни практически не являются вредными, наоборот, они улучшают прочность фермы. Однако расчет таких ферм не может быть выполнен методами статики твердого тела (фермы, удовлетворяющие условию , являются статически неопределимыми. Способы расчета таких ферм рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики). Поэтому мы будем рассматривать плоские фермы без лишних стержней, т. е. те, которые точно удовлетворяют условию (1).

Произвести расчет фермы — это значит определить реакции опор фермы и усилия в ее стержнях, возникающие под действием приложенных к узлам фермы сил (знание усилий, возникающих в реальных стержнях в результате их деформаций, необходимо при проектировании фермы для подбора стержней требуемой прочности).

Каждый стержень своими концами входит в два узла. Если под влиянием действия на него со стороны узлов сил и стержень растягивается (рисунок 86,а), то его реакции на узлы будут направлены от узлов к середине стержня. Если же под влиянием действующих на стержень со стороны узлов сил истержень сжимается (рисунок 86,б), то его реакции на узлы будут направлены от середины стержня к узлам. Следовательно, зная направление реакций стержня, можно определить, будет ли он растянут или сжат. При этом необходимо обратить внимание на то, чтореакции каждого стержня, приложенные к узлам, которые этот стержень соединяет, равны между собой по модулю и противоположны по направлению. Эти реакции по модулю равны, очевидно, искомым усилиям в стержнях.

Так как ферма представляет собой неизменяемую систему, то число неизвестных опорных реакций в ней не должно быть более трех.

В противном случае задача определения опорных реакций для данной фермы становится статически неопределимой.

Поэтому ферму устанавливают на две опоры, из которых одна должна быть неподвижная, а другая – установлена на катках. Но, кроме трех неизвестных опорных реакций, требуется еще определить усилие для каждого из k стержней фермы. Всего, таким образом, мы имеем неизвестных. Посмотрим теперь, сколько же можно составить независимых уравнений равновесия для определения этих неизвестных. Для этого мысленно вырежем какой-нибудь узел фермы, изображенной на рисунке 87, а например узел IV, и рассмотрим этот узел в отдельности (рисунок 87, б). К узлу IV приложены данная сила и реакции,истержней1, 3 и 4, соединяющихся в этом узле. При этом реакции ,инаправлены вдоль перерезанных стержней1, 3 и 4 по модулю искомым усилиям в этих стержнях. Приложенная к узлу IV система сил ,,,представляет собой уравновешенную плоскую систему сходящихся сил. Поэтому будем иметь для этого узла два уравнения равновесия (в форме,). Точно так же можно поступить и по отношению к каждому из остальных узлов фермы. Таким образом, получим для фермы сп узлами 2п независимых уравнений равновесия.

Для того чтобы рассматриваемая задача была статически определимой, число неизвестных должно равняться числу независимых уравнений равновесия, т. е. , или. Но это равенство, как мы уже знаем, имеет место для фермы без лишних стержней. Отсюда следует, чтоферма без лишних стержней является статически определимой.

Отметим, что условие статической определимости фермы ,являющееся в то же время и условием жесткости, или неизменяемости, фермы, должно, конечно, соблюдаться как для всей фермы в целом, так и для отдельных ее частей. Это условие является необходимым, но, вообще говоря, не будет достаточным. Может случиться, что стержни будут распределены так, что некоторые части фермы будут иметь лишние стержни, а другие не будут иметь достаточного числа стержней для сохранения жесткости фермы. Так, например, для фермы, изображенной на рисунке 88, условие статической определимости будет соблюдено, но, как нетрудно видеть, такое соединение стержней не будет фермой (средний квадрат).

Для определения усилий в стержнях статически определимых ферм существует ряд способов (как графических, так и аналитических). В этой главе мы рассмотрим следующие способы определения усилий в стержнях статически определимых ферм: способ вырезания узлов и способ разрезов фермы (способ Риттера).