6.12 Приведение произвольной пространственной системы сил к динамическому винту

Пусть в результате приведения произвольной пространственной системы сил к центру О оказалось, что главный вектор и главный вектор-момент этой системы сил отличны от нуля. При этом главный вектор-момент не перпендикулярен к главному вектору , т. е. скалярное произведение главного вектора на главный вектор-момент не равно нулю ().

Разложим по правилу параллелограмма главный вектор-момент (рисунок 105) на две составляющиеи, т. е. по направлению главного вектора и по направлению перпендикулярному к главному вектору, так что

, причем

;.

Это последнее равенство, определяющее проекцию главного вектора-момента на направление главного вектора , можно, оче­видно, записать так:

. (1)

Так как проекция главного вектора-момента на направление главного вектора не зависит от выбора центра приведения, то отсюда следует, что вектор инвариантен по отношению к центру приведения.

Вектор перпендикулярный к главному вектору , заменим парой сил, которую он изображает. При этом плечо этой пары подберем так, чтобы силы пары были равны и . Это плечо, очевидно, должно быть равным .

Ясно, что силы и , приложенные в точке О, эквивалентны нулю. Следовательно, в результате получаем силу , приложенную в точке А, и пару с вектором-моментом , параллельным этой силе.

Так как вектор есть вектор свободный, то его можно перенести на линию действия силы (рисунок 106).

Совокупность силы , равной главному вектору , и пары, вектор-момент которой параллелен силе , называется динамическим винтом, или динамой.

Проходящая через точку А прямая , по которой направлены сила , равная главному вектору , и главный вектор-момент динамы, называется центральной винтовой осью данной системы сил, или осью динамы.

Так как для всех центров приведения, лежащих на центральной винтовой оси, главный вектор-момент направлен по главному вектору, то, очевидно, модуль главного вектора-момента является наименьшим по сравнению с модулем главного вектора-момента данной системы относительно всякого другого центра приведения О, не лежащего на центральной оси. Поэтому главный вектор-момент динамы называют наименьшим главным вектором-моментом.

Выведем уравнение центральной винтовой оси данной системы сил. Для этого примем за начало координат центр приведения О (рисунок 106). Центральная винтовая ось данной системы сил представляет собой геометрическое место точек А, для которых векторы и параллельны друг другу. Напишем условие параллельности этих векторов

,где р – постоянная линейная величина, называемая параметром динамы. Это условие в проекциях запишется так:

. (2)

Очевидно, что (см. рисунок 105)

. (3) где – вектор-момент относительно точкиО силы , действующей вдоль центральной оси.

Момент силы , приложенной к точкеА, относительно координатных осей можно найти по формулам (3, §34):

;

;

,а поэтому в проекциях равенство (3) напишем так:

;

;

,где x, y, z – текущие координаты точки А на центральной оси. В результате вместо уравнения (2) получим следующие два уравнения, представляющие собой уравнения прямой линии:

, (4)где ,,и,,определяются соответственно по формулам (5, §39) и (8, §39).

Так как точка А выбрана на центральной оси совершенно произвольно, то координаты x, y, z всякой точки, лежащей на этой оси, удовлетворяют уравнениям (4). Следовательно, эти уравнения являются уравнениями центральной оси. Чтобы найти из уравнений (4) точки пересечения центральной оси с координатными плоскостями, положим последовательно в этих уравнениях ,и.

Таким образом, мы доказали следующую теорему: если для данной произвольной пространственной системы сил выполняется условие т. е.и, и при этом векторы и не перпендикулярны и не параллельны друг другу, то такая система сил приводится к динаме. Следует при этом иметь в виду, что свободное твердое тело под действием такой системы сил может одновременно совершать вращательное и поступательное движения, т. е. винтовое движение.

Если для данной системы сил , и при этом главный вектор-момент относительно центра приведенияО параллелен главному вектору , то такая система сил также приводится к динаме, но только ось этой динамы будет проходить через центр приведения О.