4.5 Приведение произвольной плоской системы сил к одной паре

В § 4.2 было доказано, что произвольная плоская система сил эквивалентна совокупности силы, равной главному вектору и пары, момент которой равен главному моментуотносительно выбранного центра приведенияО. Поэтому если в результате приведения произвольной плоской системы сил окажется, что главный вектор данной системы сил равен нулю(При этом силовой многоугольник, построенный для произвольной плоской системы сил, окажется замкнутым. Этого условия было бы достаточно для равновесия системы сходящихся сил. Однако при выполнении только этого условия произвольная плоская система сил не будет находиться в равновесии (см.§ 4.6), а его главный момент отличен от нуля , то, очевидно, данная система сил приводится к одной паре с моментом . В этом случае главный момент не будет зависеть от выбора центра приведения, так как мы получили бы, что одна и та же произвольная плоская система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами. А это невозможно.

Задача 10. К точкам А и В тела приложены две равные по модулю и взаимно перпендикулярные силы и , а в точке С приложена сила модуль которой равен . Сила образует с направлениями сил и равные углы по 135⁰ (рисунок 62). Размеры тела указаны на рисунке 62. Привести эту систему сил к точке С.

Решение. Перенесем силы и параллельно самим себе в точку С. В результате такого переноса получим силы ,иприложенные к точке С, и лежащие в одной плоскости присоединенные пары ис моментами и. Построив на силах ,исиловой треугольник, убеждаемся, что он будет замкнут, а поэтому главный вектор рассматриваемой системы сил равен нулю. Следовательно, эта система сил приводится только к одной паре сил, момент которой равен главному моменту данной системы сил относительно точки С:

.

4.6 Условия равновесия произвольной плоской системы сил

Выше было установлено, что произвольная плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда ), или к одной паре (когда ).

Однако в результате приведения произвольной плоской системы сил может оказаться,, что одновременно главный вектор этой системы сил и главный момент ее относительно центра приведения равны нулю, т. е.

; ,

или

; ,

где 0 — любая точка плоскости.

Условия (1) являются необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной плоской системы сил. В самом деле, условия (1) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то рассматриваемая система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре (когда ), и, следовательно, эта система сил не будет находиться в равновесии. Одновременно условия (1) являются достаточными, потому что при произвольная плоская система сил может приводиться только к паре с моментом , а так как, то эта система сил будет находиться в равновесии.

Таким образом, для равновесии произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно и главный вектор, и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю.

Найдем теперь вытекающие из равенств (1) аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил.

В § 4.2 было установлено, что

; ;

отсюда следует, что и обращаются в нуль в том и только в том случае, когда

; ; . (2)

Эти равенства выражают следующие аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и. достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух любым образом выбранных в плоскости действия этой системы сил координатных осей и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки той оке плоскости были равны нулю.

Одновременно равенства (2) выражают необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил (предполагается, что до приложения указанной системы сил рассматриваемое тело находилось в состоянии покоя относительно выбранной системы отсчета).

Равенства (2) являются основной формой условий равновесия произвольной плоской системы сил. Они могут быть выражены и в другом виде.

Докажем, например, следующую теорему о трех моментах: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно каждой из трех любых точек А, В и С, взятых в плоскости действия этой системы сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

; ;. (3)

Необходимость этих условий очевидна, так как при равновесии произвольной плоской системы сил алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки, взятой в плоскости действия этой системы сил, должна равняться нулю. Докажем, что эти условия и достаточны.

Возьмем за центр приведения точку А. По условию доказываемой теоремы

, (4)

поэтому для рассматриваемой системы сил должно быть . Если при этом главный вектор , то в этом случае данная система сил приводится только к одной равнодействующей силе . Согласно теореме Вариньона и условию (4) будем иметь

,

что может быть в двух случаях: или когда равнодействующая сила , или когда ее линия действия проходит через точкуА (тогда плечо равнодействующей будет равна нулю).

Предположим, что . Взяв последовательно за центры приведения точки В и С и принимая во внимание условия

; ,

мы также установим, что линия равнодействующей пройдет и через точкиВ и С. А это невозможно, так как точки А, В и С не лежат на одной прямой. Следовательно при выполнении условий (3) обязательно должно быть , и, следовательно, произвольная плоская система сил при выполнении условий (3) будет находиться в равновесии.

Докажем теперь, что условия равновесия произвольной плоской системы сил можно сформулировать так: для равновесии произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно. чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из двух любых точек А и В, взятых в плоскости действия этой системы, и алгебраическая сумма проекций всех этих сил на любую ось Ox, не перпендикулярную к прямой, проходящей через точки А и В, были равны нулю:

; ;. (5)

Необходимость этих условий вытекает из того, что при равновесии произвольной плоской системы сил равны нулю как алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки, взятой в плоскости действия этой системы, так и алгебраическая сумма проекции всех сил на любую ось.

Докажем достаточность этих условий. Для этого примем последовательно точки А и В за центры приведения. Если для рассматриваемой системы сил выполняются первые два из условий (5), то ,. При этом данная система сил, как мы уже знаем из § 4.3, может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую , одновременно проходящую через точки А и В (рисунок 63). Но согласно третьему условию должно быть . Так как ось Ох есть произвольная прямая, не перпендикулярная к АВ, то это последнее условие может быть выполнено, если равнодействующая будет равна нулю , и, следовательно, произвольная плоская система сил при выполнении условий (5) будет находиться в равновесии.