6.13 Случай приведения системы сил, не лежащих в одной плоскости, к равнодействующей. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

В результате приведения произвольной пространственной системы сил может оказаться, что скалярное произведение равно нулю, а каждый из сомножителей отличен от нуля, т. е., нои.

Так как, тои, следовательно, сила и пара, к которым приводится данная система сил, лежат в одной плоскости (рисунок 107,а). Преобразуем эту пару следующим образом. Возьмем силы и, составляющие пару, равными по модулю. При этом плечо этой пары придется взять равным. Расположим пару так, чтобы одна из сил этой пары (на рисунке 107,б она обозначена через ) была бы приложена в точкеО и была бы направлена в сторону, противоположную направлению главного вектора . Другая сила той же парыравна главному векторуи приложена в точкеА, лежащей на перпендикуляре к и. Силыивзаимно уравновешиваются. Остается одна сила, приложенная в точкеА. Следовательно, если , но и ,то данная система сил приводится к одной равнодействующей , равной главному вектору этой системы сил и приложенной в точке А, лежащей на перпендикуляре к векторам и на расстоянии .

Если , но, то систем сил, очевидно, также приводится к одной равнодействующей , линия действия которой проходит через центр приведения О. Следует при этом иметь в виду, что свободное тело под действием такой системы сил может совершать только поступательное движение (при этом необходимо, чтобы центр приведения совпал с центром тяжести тела и чтобы в начальный момент скорости всех точек этого тела были векторно равны).

Докажем теперь следующую теорему Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил, как угодно расположенных в пространстве, приводится к равнодействующей, то вектор-момент этой равнодействующей относительно любого центра равен векторной сумме векторов-моментов всех сил этой системы относительно того же центра.

Пусть вектор есть равнодействующая данной системы сил, приложенная в точкеА (рисунок 108, б). Перенесем равнодействующую в произвольную точкуО (рисунок 108, а). Тогда вследствие перенесения вектора в другую точку появится пара (,), вектор-моменткоторой будет равен вектору-моментуравнодействующей, приложенной в точкеА, относительно точки О, т. е.

. (1)

С другой стороны, если бы мы взяли за центр приведения сразу точку О (рисунок 108, а), то данная система сил привелась бы к главному вектору и главному вектору-моменту , перпендикулярному главному векторуи равному векторной сумме векторов-моментов всех сил системы относительно центра приведенияО, т. е.

. (2)

Сравнивая правые части равенств (1) и (2), получим теорему Вариньона

, (3)

что и требовалось доказать.

6.14 Случай приведения системы сил, не лежащих в одной плоскости, к паре

Если главный вектор системы сил, не лежащих в одной плоскости, равен нулю, а главный вектор-момент относительно произвольно выбранного центра приведения О не равен нулю, т. е. ,а , то заданная система сил приводится к одной паре с вектором-моментом (рисунок 109). В этом случае главный момент системы не изменяется с изменением центра приведения, т. е. относительно любого центра приведения главный момент будет равен.

Действительно, согласно формуле (2, §40) и условию , имеем

, следовательно,.

Следует при этом иметь в виду, что свободное твердое тело под действием такой системы сил может (но не всегда) совершать только вращательное движение.