2.4 Проекции силы на ось и на плоскость

Проекция силы на ось. Аналитический метод решения задач статики основан на понятии о проекции силы на ось.

Пусть мы имеем силу, приложенную в точке А тела, и некоторую ось х, положительное направление которой будем считать от точки а в ту сторону, где стоит буква х. Предположим, что линия действия силы и ось х лежат в одной плоскости (проекция силы на ось, расположенную любым образом, находится аналогично).

Опустим из начала и конца вектора силы на ось х перпендикуляры Аа и Вb (рисунок 30, а). Взятая с соответствующим знаком длина отрезка аb называется проекцией силы на ось х.

Проекция силы имеет знак "плюс", если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси (рисунок 30, а), и знак "минус", если в отрицательном (рисунок 30, б). Из этого определения следует, что проекция силы на ось является величиной скалярной.

Проекцию силы на ось будем обозначать той же буквой, которой обозначена сила, но со знаком внизу, указывающим наименование оси проекций (например, и, или прописной буквой и).

Таким образом,

;.

Если провести через начало вектора силы прямую , параллельную оси х, то легко видеть, что

,

Отсюда

,, (1) т. е.проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением, оси проекций.

Проекция силы на плоскость. Проекцией силы на плоскость Oxy называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца вектора силы на эту плоскость (рисунок 31). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Oxy. Модуль проекции силы на плоскость определяется по формуле

где – угол между направлением вектора силы и ее проекции на плоскость Oxy.

Заметим, что для нахождения проекции силы , например на ось х, можно сначала найти ее проекцию на плоскость Oxy, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость . спроектировать на данную ось:

.

2.5 Определение силы по ее проекциям на координатные оси

Если сила и ось проекций заданы, то проекция силы на ось определяется единственным образом. Но задание одной проекции силы еще не определяет саму силу, так как различные силы могут иметь одинаковые проекции на одну и ту же ось (рисунок32, а)-

Если линия действия силы расположена в координатной плоскости Оху (рисунок 32, б), то для определения этой силы нужно знать ее проекции и на две прямоугольные декартовы оси координат Ох и Оу (аналитический способ задания силы). В этом случае модуль силы численно равен диагонали прямоугольника, длины сторон которого численно равны абсолютным значениям проекций на координатные осиОх и Оу. Отсюда следует, что модуль силы равен

, (1) где перед корнем всегда надо брать знак "плюс", так как модуль силы есть число арифметическое.

Направление силы определяется из равенств:

;. (2)

Покажем теперь, что сила будет вполне определена, если будут известны ее проекции ,,,на три прямоугольные декартовы оси координат Ох, Оу и Оz (рисунок 33). В самом деле, из формулы (1, §7) следует, что

;;. (3)

Отсюда находим косинусы углов между вектором силы и положительными направлениями осей проекций:

;;, (4) которые называютсянаправляющими косинусами.

Возводя равенства (3) почленно в квадрат и складывая их, находим модуль силы по формуле:

, (5)

так как

. (6)

Формулы (4) и (5) позволяют, зная проекции силы на оси координат, найти ее углы с осями и модуль, т. е. определить силу. Заметим, что в формуле (5) перед корнем всегда берется знак "плюс", так как эта формула определяет модуль силы.

Из формулы (6) следует, что из трех направляющих косинусов независимыми являются только два. Поэтому нельзя задавать произвольно три угла , и образуемых силой с координатными осями Ох, Оу и Оz.

Докажем теперь следующую теорему о проекции равнодействующей на ось: проекция равнодействующей системы сходящихся сил (безразлично, пространственной или плоской) на какую-либо ось равна алгебраической сумме : проекций составляющих сил на ту же ось.

В самом деле, положим, что на точку А тела одновременно действуют сходящиеся силы , ,,…, (рисунок 34). Найдем их равнодействующую по правилу силового многоугольника.

Спроектируем силы , ,…, и их равнодействующую на данную ось х:

;;;;;.

Сложив последние пять равенств, находим

, или

, чем и доказывается теорема.

Данная теорема справедлива при любом числе сил, поэтому аналогично получим

, или

(7)