2.2 Условие равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил в геометрической форме

Пусть на свободное тело действует пространственная (или плоская) система сходящихся сил , ,…, (рисунок 27, а).

Сложив по правилу силового многоугольника из этих сил,мы приведем данную систему сходящихся сил к системе двух сил и , эквивалентной данной системе , ,…,. Но из аксиомы I известно, что две силы и ,приложенные к свободному абсолютно твердому телу, находятся в равновесии в том и только в том случае, если эти силы имеют равные модули и направлены по одной прямой в прямо противоположные стороны (), т. е. если их равнодействующая равна нулю. Таким образом,необходимым и достаточным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил является равенство нулю равнодействующей этой системы сил, т. е.

, или

. (1)

Это векторное равенство называютвекторным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил. Геометрически это условие выражается требованием, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, замыкался сам по себе. Заметим, что в замкнутом силовом многоугольнике конец вектора последней силы совпадает с началом вектора первой силы , а стрелки векторов всех сил указывают одну и ту же сторону обхода периметра силового многоугольника (рисунок 27, б).

Таким образом, мы приходим к следующему геометрическому (или графическому) условию равновесия: для равновесия пространственной, а также плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на векторах слагаемых сил этой системы, был замкнут.

2.3 Разложение силы на сходящиеся составляющие

Разложить данную силу на две или несколько сходящихся составляющих сил значит найти такую систему двух или нескольких сходящихся сил, для которой данная сила является равнодействующей.

Разложение силы по двум заданным направлениям. Пусть, например, требуется разложить на две сходящиеся силы силу , модуль и направление которой заданы. Возьмем два произвольных направления ОМ и ОN и построим вектор , изображающий в некотором масштабе данную силу . Из точки А проведем прямые АВ и АС, соответственно параллельные прямым ОN и ОМ (рисунок 28). Получается параллелограмм ОВАС, для которого сила является диагональю. Векторы и дают в том же масштабе составляющие силы, равнодействующая которых равна .

Взяв два других произвольных направления и и аналогичным образом построив новый параллелограмм , мы получим другие составляющие силы и, дающие в сумме ту же самую равнодействующую.

Таким образом, по данной силе, очевидно, можно построить бесчисленное множество параллелограммов сил, и, следовательно, задача о разложении данной силы на две сходящиеся составляющие силы является в такой постановке неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании двух дополнительных условий.

Такими дополнительными условиями могут, например, быть: 1) задание двух направлений, по которым должны действовать составляющие; 2) задание модулей обеих составляющих сил; 3) задание модуля одной составляющей силы и направление другой.

Рассмотрим первый случай. Разложим заданную силу (рисунок 28) на две сходящиеся составляющие силы по направлениям, параллельным данным прямым ОN и ОМ (линия действия силы и эти прямые лежат в одной плоскости). Задача сводится к построению такого параллелограмма, у которого диагональ будет изображать силу , а стороны будут параллельны прямым ОМ и ОN. Для решения задачи проводим через начало и конец вектора силы прямые, параллельные ОN и ОМ. При этом стороны таким образом построенного параллелограмма ОВ и ОС, направление которых совпадает с заданными направлениями искомых составляющих сил, дадут нам эти искомые составляющие силы в том же масштабе, в каком отложена данная сила .

Два последних случая предоставляем читателю рассмотреть самостоятельно.

Разложение силы по трем заданным направлениям. Исходя из правила параллелепипеда сил, можно решить задачу о разложении данной силы на три сходящиеся силы по трем заданным направлениямОN, ОМ и OL, не лежащим в одной плоскости (рисунок 29). Для этого, очевидно, достаточно построить параллелепипед, ребра которого ОА, ОВ и ОС имели бы заданные направления, а диагональю ОD являлась бы заданная сила . При этом ребра этого параллелепипеда ОА, ОВ и ОС дадут нам модули искомых составляющих данной силы в том же масштабе, в каком отложена сила .