Глава 5. Трение скольжения и качения

5.1 Трение скольжения

Тело весом положим на неподвижную поверхность, которая служит связью (рисунок 74,а). Это тело будет находиться в состоянии относительного покоя, так как действующая на него сила тяжести уравновешивается нормальной силой реакции связи. Приложим к телу силу , лежащую в касательной плоскости, проведенной через точку, в которой тело соприкасается со связью. Если бы реакция опорной поверхности, которая служит связью, сводилась только к нормальной силе, то сила, как бы мала она ни была, оставаясь неуравновешенной, заставила бы тело скользить по связи. Но опыт показывает,

что тело продолжает оставаться в состоянии относительного покоя, пока модуль силы не достигнет некоторого определенного максимального значениязависящего от природы и состояния соприкасающихся поверхностей, а также от данного давления между ними. При дальнейшем увеличении модуля силытело начнет скользить по связи. Это свидетельствует о том что, кроме нормальной реакции, на тело действует еще другая реакция связи, лежащая в плоскости, касательной к связи, и противодействующая скольжению тела по этой связи. Эта сила называется силой трения скольжения.

До тех пор пока не возникло скольжения тела по связи, будет иметь место равенство

,

из которого видим, что с увеличением силы увеличивается и сила трения скольжения F. Значит, сила трения скольжения , так же как и сила, может изменяться от нуля до некоторого максимального значения, соответствующего моменту начала относительного скольжения тела по связи. В этом отношении сила трения скольжения неопределенна. Поэтому за меру сопротивления скольжению в состоянии относительного покоя принимают максимальную силу трения скольжения.

Сила трения скольжения, возникающая при относительном покое тела, называется силой трения скольжения в покое.

Возникновение силы трения скольжения обусловлено многими факторами, среди которых существенную роль играют степень шероховатости поверхностей трущихся тел, силы сцепления, возникающие между частицами поверхностных слоев трущихся тел, и твердость трущихся тел. Если соприкасающиеся тела достаточно тверды и хорошо отполированы, то сила трения скольжения резко уменьшается. Но в инженерных расчетах силу трения скольжения всегда приходится принимать во внимание. Обычно при этом исходят из установленных опытным путем общих законов трения скольжения в покое, которые формулируются следующим образом:

1. Сила трения скольжения в покое направлена в сторону, противоположную возможному перемещению одного из трущихся тел относительно другого.

2. Сила трения скольжения в покое не может по модулю превосходить максимальной силы трения скольжения в покое .

Модуль максимальной силы трения скольжения в покое прямо пропорционален нормальному давлению одного из трущихся тел на другое, или, что то же, модуль нормальной силы реакции:

,

где называетсякоэффициентом трения скольжения в покое. Из этого равенства следует, что есть сила отвлеченное. Экспериментально установлено, чтозависит от природы, состояния и степени обработки трущихся поверхностей. При этомне зависит от силы нормального давления и площади контакта трущихся поверхностей. Однако следует иметь в виду, что это может лишь до некоторой величины удельного давления, т. е. давления, приходящегося на единицу площади контакта трущихся поверхностей.

Для абсолютно гладких тел равно нулю. Для реальных тел он находится в приделах

.

Из сказанного следует, что при отсутствии скольжения сила трения скольжения в покое

, или ,

где знак равенства относится к тому моменту, когда тело будет находиться, так сказать, на границе между покоем и скольжением.

Из предыдущего следует, что реакция опорной поверхности, которая служит реальной (шероховатой) связью, будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции и перпендикулярной к ней силы трения скольжения в покое. Следовательно, полная реакция опорной поверхностибудет составлять некоторый угол нормальной реакцией (рисунок 74,а). При изменении силы трения скольжения в покое от нуля до силабудет меняться отдо, а ее уголс нормальной реакцией будет расти от нуля до некоторого максимального значения (рисунок 74,б).

Угол между направлениями нормальной реакции и полной реакции , соответствующей максимальному значению силы трения скольжения в покоеназываетсяуглом трения.

Из рисунка 74, б видно, что

.

Так как , то отсюда находим следующую связь между углом тренияи коэффициентом трения скольжения в покое:

,

т. е. коэффициент трения скольжения в покое равен тангенсу угла трения.

Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет угол трения с нормалью к поверхности трущихся тел, называется конусом трения (рисунок 75).

Если коэффициент трения скольжения в покое при скольжении тела по поверхности, которая служит связью, в различных направлениях один и тот же, то полная реакция этой связи отклоняется от нормальной реакцииво всех направлениях на одинаковый угол трения, и конус трения будет круглым с углом при вершине, равным. Однако это условие не соблюдается, например, при скольжении по дереву в направлении волокон и в направлении, перпендикулярном к ним. Конус трения в этом случае будет сплющен в направлении волокон.

Пусть действующие на тело силы (включая и его вес) приводятся к одной равнодействующей силе , линия действия которой проходит через точкуА касания тела с поверхностью, служащей связью, и образует с нормалью к связи в этой точке угол (рисунок 76). Перенесем эту силу по линии ее действия в точкуА и разложим на две составляющие, из которых одна лежит в касательной плоскости, проведенной через точкуА, а вторая направлена по нормали в точкеА к поверхности, которая служит связью. Первая составляющая равна по модулю и будет стремиться вызвать скольжение тела по связи; вторая же вызовет равную себе по модулю и противоположно направленную нормальную силу реакции. Еслиесть статический коэффициент трения скольжения между рассматриваемым телом и связью, то модуль максимальной силы трения скольжения в покое будет

,

где – угол трения; при этом сила направлена в сторону, противоположную силе . Построив на силахикак на сторонах параллелограмм, найдем равнодействующую , образующую с нормальной реакцией угол трения .

Для того чтобы тело оставалось на поверхности, служащей связью, в состоянии относительного покоя, необходимо, чтобы сила была по модулю меньше или равна максимальной силе трения скольжения в покое, т. е.

,

или

,

откуда

.

Из этого заключаем, что до тех пор пока линия действия равнодействующей всех сил, приложенных к телу, каков бы ни был ее модуль, проходит внутри конуса трения, скольжение тела по связи не возникает. Этим объясняется известные явления заклинивания, или самоторможения частей машины, когда никакой приложенной внутри конуса трения силой не удается сдвинуть с места соответствующую часть машины.

При совпадении линии действия равнодействующей всех сил, приложенных к телу, с образующей конуса трения наступает момент, когда тело будет находиться на грани между покоем и скольжением, и при малейшем отклонении ее за пределы конуса трения начинается скольжение тела по связи.

Все изложенное выше относилось к силе трения скольжения в покое.

Сила трения скольжения, возникающая при относительном скольжении одного тела по поверхности другого, называется силой трения скольжения в движении.

Опытным путем установлено, что модуль силы трения скольжения в движении также пропорционален нормальному давлению, т. е.

,

где называетсякоэффициентом трения скольжения в движении. При этом сила трения скольжения в движении направлена противоположно относительной скорости скольжения.

Коэффициент трения скольжения в движении f несколько меньше коэффициента трения скольжения в покое . Он зависит не только от природы, состояния, степени обработки поверхностей трущихся тел, но и от относительной скорости этих тел.

(Величины коэффициентов трения скольжения даются в технических справочниках). В большинстве случаев с увеличением скорости коэффициент трения скольжения в движении сначала несколько убывает, а затем сохраняет почти постоянное значение.

На основании вышеизложенного мы имеем теперь возможность решать задачи на равновесие тела или системы тел при наличии сил трения скольжения, если все активные силы, а также нормальные реакции и силы трения скольжения образуют произвольную плоскую систему сил.

При решении задач на равновесие с учетом сил трения скольжения следует иметь в виду все те общие указания, которые были сделаны в § 10 и 24.

Решая эти задачи, обычно приходится рассматривать тот момент, когда тело находится на грани между покоем и скольжением, т. е. когда сила трения скольжения в покое достигает своего максимального значения . Если задача решается аналитическим методом, то реакцию шероховатой связи изображают двумя составляющимии. Затем составляют обычные уравнения равновесия статики, подставляя в них вместо величины . Решая полученные уравнения равновесия, находим искомые данной задачи.

Когда тело находится в положении критического равновесия, т. е. на грани между покоем и скольжением, то сила трения скольжения в покое . В остальных положениях равновесия. Значит, эти положения равновесия можно найти, уменьшая в равенствестатический коэффициент трения скольжения в покое. Приполучим положение равновесия тела в случае, когда снизь является абсолютно гладкой. Следовательно, если в задаче требуется определить все возможные положения равновесия, то для ее решения также можно рассмотреть только критическое положение равновесия. Остальные положения равновесия найдутся, если в полученном решении уменьшать коэффициент трения скольжения в покоедо нуля.

Задачи на равновесие тел с учетом сил трения скольжения можно решать и графическом методом.

При графическом решении реакцию шероховатой связи удобнее изображать одной силой , которая в критическом положении равновесия будет отклонена от нормали к поверхности, служащей связью, на угол трения. При этом в точках соприкосновения поверхностей двух трущихся тел строится угол трения, и если линия действия равнодействующей силы всех внешних сил лежит внутри угла трения, то рассматриваемое тело будет находиться в равновесии.

Задача 16. Тяжелая пластина находится в покое на гладкой наклонной плоскости (рисунок 77, а). Кроме силы веса P, на пластинку действует горизонтальная сила . Определить угол наклона плоскости к горизонту, если коэффициент трения скольжения в покое равен.

Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет пластинка. Примем ее за материальную точку М. Эта точка несвободна. Связь, на нее наложенная, осуществляется шероховатой наклонной плоскостью. Отбрасываем связь и заменяем ее действие на точку М реакциями. Тогда точку М можно будет рассматривать как свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил: активных сил и , нормальной реакции наклонной плоскостиN и максимальной силы трения скольжения в покое , соответствующей началу скольжения пластинки по наклонной плоскости. Осьх направим по наклонной плоскости, ось у – перпендикулярно к ней.

Предположим, что угол а настолько велик, что точка М стремится двигаться вниз по наклонной плоскости. В этом случае максимальная сила трения скольжения в покое будет направлена вверх по наклонной плоскости (рисунок 77, а). Составим в этом предположении уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил

; .

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось (рисунок 77, а) и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы:

;

.

Так как

и ,

то эти уравнения примут вид

;

,

откуда находим

,

соответствующий максимуму угла , при котором еще возможно равновесие точкиМ.

Предположим теперь, что угол настолько мал, что точкаМ стремится двигаться вверх по наклонной плоскости. В этом случае максимальная сила трения скольжения в покое переменит свое направление, т. е. будет направлена в низ по наклонной плоскости (рисунок 77,б). В этом предположении уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил, действующих на точку М, примут вид

;

,

откуда получим

,

соответствующий минимуму угла , при котором будет равновесие точкиМ.

Таким образом, точка М будет находиться в равновесии в тех случаях, если содержится в пределах

.