- •Раздел I. Статика
- •Глава 1. Основные понятия и аксиомы статики
- •Введение: предмет, метод, место среди естественных наук и границы применимости теоретической механики
- •1.2 Сила, система сил, эквивалентная система сил и уравновешенная система сил
- •1.3 Аксиомы статики и некоторые следствия из них
- •1.4 Исследование связей и установление направления их реакций
- •Глава 2. Приведение пространственной и плоской систем сходящихся сил к равнодействующей
- •2.1 Геометрический метод определения равнодействующей
- •Пространственной и плоской систем сходящихся сил
- •2.2 Условие равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил в геометрической форме
- •2.3 Разложение силы на сходящиеся составляющие
- •2.4 Проекции силы на ось и на плоскость
- •2.5 Определение силы по ее проекциям на координатные оси
- •2.6 Аналитический метод определения равнодействующей пространственной и плоской систем сходящихся сил
- •2.7 Условия равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил в аналитической форме. Указания к решению задач
- •2.8. Момент силы относительно точки. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Глава 3. Система параллельных сил и теория пар, как угодно расположенных в одной плоскости
- •3.1 Приведение систем двух параллельных сил, направленных
- •В одну сторону, к равнодействующей
- •3.2 Приведение системы двух неравных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны, к равнодействующей
- •3.3 Пара сил. Момент пары сил
- •3.4 Эквивалентность пар
- •3.5 Сложение пар, расположенных в одной плоскости. Условие равновесия пар
- •Глава 4. Произвольная плоская система сил
- •4.1 Теорема о параллельном переносе силы. (Метод Пуансо)
- •4.2. Приведение произвольной плоской системы сил к одной силе и к одной паре
- •4.3 Приведение произвольной плоской системы сил к равнодействующей
- •4.4 Теорема Вариньона о моменте равнодействующей произвольной плоской системы сил. Условие равновесия рычага
- •4.5 Приведение произвольной плоской системы сил к одной паре
- •4.6 Условия равновесия произвольной плоской системы сил
- •4.7 Условия равновесия плоской системы параллельных сил
- •4.8 Указания к решению задач
- •4.9 Равновесие сочлененной системы тел
- •Глава 5. Трение скольжения и качения
- •5.1 Трение скольжения
- •5.2 Трение качения
- •5.3 Понятие о ферме
- •5.4 Способ вырезания узлов
- •5.5. Способ разрезов фермы
- •Глава 6. Произвольная пространственная система сил и теория пар, как угодно расположенных в пространстве
- •6.1 Момент силы относительно точки как вектор
- •6.2 Момент силы относительно оси
- •6.3. Зависимость между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно точки, лежащей на этой оси
- •6.4 Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •6.5 Теорема о переносе пары в другую плоскость, параллельную плоскости действия этой пары
- •6.6 Момент пары как вектор
- •6.7 Условие эквивалентности двух пар
- •6.8 Сложение пар, лежащих в разных плоскостях. Условие равновесия пар
- •6.9 Приведение произвольной пространственной системы сил к одной силе и к одной паре
- •6.10 Изменение главного вектора-момента при перемене центра приведения
- •6.11 Инварианты произвольной пространственной системы сил
- •6.12 Приведение произвольной пространственной системы сил к динамическому винту
- •6.13 Случай приведения системы сил, не лежащих в одной плоскости, к равнодействующей. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •6.14 Случай приведения системы сил, не лежащих в одной плоскости, к паре
- •6.15 Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай пространственной системы параллельных сил
- •6.16 Равновесие твердого тела с одной и с двумя закрепленными точками. Указания к решению задач
- •Глава 7. Центр тяжести
- •7.1 Приведение системы параллельных сил к равнодействующей. Центр параллельных сил
- •7.2 Центр тяжести
- •7.3 Способы определения координат центров тяжести тел
- •7.4 Центр тяжести некоторых линий, площадей и объемов
- •7.5 Графическое определение положения центра тяжести плоских фигур
Глава 6. Произвольная пространственная система сил и теория пар, как угодно расположенных в пространстве
6.1 Момент силы относительно точки как вектор
В случае произвольной плоской системы сил мы рассматривали момент силы относительно точки как алгебраическую величину, равную произведению модуля силы на ее плечо, взятому со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того направления, в котором сила стремится вращать тело.
В случае же произвольной пространственной системы сил указания только модуля момента силы относительно точки (модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы на ее плечо) и его знака для полной характеристики вращательного действия силы недостаточно. Взяв произвольную пространственную систему сил и выбрав какую-нибудь точку в пространстве, можно провести через эту точку и через линию действия каждой из сил в отдельности плоскость. Эти плоскости у разных сил будут разными, т. е. они будут расположены под различными углами друг к другу. В этом случае силы, имеющие одинаковые модули моментов относительно одной и той же точки, будут производить различные вращательные действия на тело, если плоскости, проходящие через линии действия этих сил и выбранную в пространстве общую точку, не будут совпадать. Поэтому при рассмотрении произвольной пространственной системы сил необходимо так обобщить понятие момента силы относительно точки, чтобы в определение этого понятия уже входило задание положения в пространстве плоскости, проходящей через линию действия силы и выбранную в пространстве точку (в случае же произвольной плоской системы сил выбранный центр моментов и линии действия всех сил лежат в одной плоскости. Поэтому необходимость задавать каждый раз положение плоскости, проходящей через центр моментов и линию действия силы, отпадает). Положение плоскости в пространстве, как известно, можно задать направлением перпендикуляра к этой плоскости. Таким образом, в определение момента силы относительно точки должны входить как модуль момента, так и указание направления перпендикуляра к плоскости, проходящей через линию действия силы и через выбранную точку. Отсюда вытекает следующее векторное определение момента силы относительно точки О (рисунок 91): моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный по модулю произведению модуля силы на ее плечо и направленный по перпендикуляру к плоскости ОАВ, проходящей через линию действия силы и точку О, в ту сторону, откуда вращение тела силой представляется происходящим против часовой стрелки.
Обозначим момент силы относительно точки О символом . Модуль этого момента , где d — плечо силы, т. е. Длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы .
Выразим теперь момент силы относительно точки О с помощью векторного произведения , где вектор называется радиусом-вектором точки А приложения силы относительно точки О (рисунок 91). Модуль этого векторного произведения (рисунок 91)
(1)
Но модуль вектора-момента силы относительно точки О тоже равен Fd или , поэтому
. (2)
Направлен же вектор перпендикулярно к плоскости ОАВ в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение вектора с вектором силы (если их отложить от одной точки) видно происходящим против хода часовой стрелки. Но точно так же направлен и вектор-момент силыотносительно точкиО. Расставим модуль вектора-момента , определяемый формулой (2), и принимая во внимание его направление, приходим к заключению, что вектор-момент можно выразить с помощью векторного произведения т. е.
. (3)
Таким образом, момент силы относительно точки равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.