23. Математичні моделі елементів електронних пристроїв. Визначення і класифікація, методи розробки.
Математической моделью какого-либо объекта называется любое формализованное (записанное с помощью математических, т. е. условных однозначно трактуемых символов) описание, отражающее состояние или поведение объекта с требуемой степенью точности.
Основными характеристиками модели являются тип рабочего сигнала, способ представления, характер зависимостей, уравнений и т.д. Говоря о различных способах представления моделей, следует отметить аналитические модели как наиболее простые, алгоритмические модели как наиболее точные и универсальные табличные модели как наиболее быстрые в смысле затрат машинного времени на их обработку, но требующие больших объемов памяти. Рассмотрим модели объектов на уровне исходных уравнений, используемых на разных функциональных уровнях проектирования.
Распределенные модели (модели с распределенными параметрами) для проектирования компонентов (элементов) интегральных микросхем представляют собой уравнения в частных производных, описывающие процессы в пленочных или полупроводниковых структурах. Иногда, если распределенным характером процессов можно пренебречь, как, например, в МДП-транзисторах, вместо распределенных используются сосредоточенные модели, в которых внутренними параметрами обязательно должны быть физико-топологические параметры компонента (элемента), характеризующие его размеры, топологию, свойства материалов и т. д.
Модели компонентов (элементов) для схемотехнического проектирования в общем случае представляются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих компонент (элемент) его схемой замещения с сосредоточенными параметрами.
Модели компонентов для функционального проектирования – это функции или алгоритмы, позволяющие по заданной форме входного сигнала Хвх(і) или Xвх() найти форму выходного сигнала Xвых(t) или Xвых().
Модели компонентов для структурного проектирования обычно считаются идеальными в смысле выполнения своих функций, так как на структурном уровне чаще всего изучаются лишь характеристики структуры, в том числе точностные, обусловленные тем или иным способом соединения компонентов и их составом, а не ошибками в их работе.
Методика получения математических моделей элементов. На каждом иерархическом уровне проектирования различают понятия математических моделей системы (ММС) и элемента (ММЭ) системы.
Как правило, элементная база любого класса систем состоит из небольшого числа типовых элементов, для которых заранее разрабатываются ММЭ и заносятся в соответствующую библиотеку моделей. В то же время число систем, создаваемых на заданной элементной базе, может быть очень большим, и для каждой системы получается своя ММС. Поэтому задачи и методы получения ММЭ и ММС различные.
Библиотека ММЭ для определенной предметной области создается однократно и далее пополняется по мере появления элементов нового типа или необходимости модернизации имеющихся. Для получения новых ММЭ нет строгих формальных правил, эти модели создаются опытными специалистами на основе теоретического и экспериментального изучения свойств элементов. Общая методика получения ММЭ включает в себя выполнение следующих процедур:
Определение свойств объекта (элемента), которые должна отражать модель. Учитываются только основные, определяющие на должном уровне, свойства элемента, которые позволяют принять необходимое решение.
Сбор исходной информации о выбранных свойствах элемента путем изучения соответствующей литературы, справочных и экспериментальных данных.
Получение структуры модели, т.е. математических выражений и уравнений, описывающих в общем виде отношения между входными и выходными переменными. Иногда вместо уравнений удобнее модель представить в виде графов или эквивалентных схем, допускающих однозначный перевод на язык математических формул.
Расчет числовых значений параметров ММЭ для заданного экземпляра или группы экземпляров элемента. Определение соответствующих методик определения параметров.
Оценка точности и области адекватности модели, экономичности и универсальности ее. Доработка модели по результатам оценок.
Погрешность
оценивается так:
;
yim , yip – значение выходных параметров модели и реального объекта
Область адекватности – область в пространстве внешних параметров, в пределах которой погрешность не превышает заданное значение.
Введение модели элемента в соответствующую библиотеку моделей.
Подходы к формализации получения математических моделей систем.
Исходные данные для получения математической модели конкретной системы – библиотека ММЭ и структура системы.
Структура системы задается в виде схемы или списка элементов и их взаимосвязей.
Преобразование этих ИД в систему уравнений и их решение в САПР, как правило, формализованы и выполняются на ЭВМ автоматически.
На микроуровне основой формализации получения ММС являются методы конечных элементов. Для каждого типа решаемых при проектировании краевых задач создается своя библиотека ММЭ.
На макроуровне основой формализации получения ММС является компонентные и топологические уравнения. Компонентные уравнения определяют взаимозависимость входов и выходов элементов, а топологические на основании законов неразрывности и равновесия – взаимосвязь между собой переменных различных элементов.
На верхних иерархических уровнях ММС представлена совокупностью ММЭ и управляющим алгоритмом, реализующим последовательность обращений к ММ элементов, входящих в состав системы. Управляющий алгоритм непосредственно отражает систему заданных взаимосвязей элементов с учетом временных задержек при распространении сигналов.