24 Моделювання. Позначений граф станів системи. Рівняння Колмогорова для ймовірностей стану системи. Фінальні ймовірності станів системи.

Рассмотрим пример СМО, представляющего собой технического устройство, состоящее из двух узлов. Система может находиться в одном из четырех состояний:

– оба узла исправны;

– первый узел ремонтируется, второй ‑ исправен;

– второй узел ремонтируется, первый ‑ исправен;

– оба узла ремонтируются.

Если ремонтом каждого из узлов занят отдельный специалист, то время ремонта узла не зависит от того, ремонтируется один узел или два. Интенсивность "потока ремонтов" первого узла обратно пропорциональна среднему времени его ремонта. Обозначим эту интенсивность . Аналогично введем интенсивность "потока ремонтов" второго узла . Интенсивность отказов первого узла обозначим , она обратно пропорциональна среднему времени его безотказной работы. Аналогично интенсивность отказов второго узла обозначим как .

Введя такие обозначения, можно составить размеченный граф состояний системы (рис.4)

И мея размеченный граф состояний системы, можно построить математическую модель процесса функционирования СМО.

Назовем вероятностью -го состояния системы вероятность того, что в момент времени система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента времени функционирования системы сумма вероятностей состояний системы равна единице:

.

Для нахождения вероятностей каждого состояния составляются и решаются уравнения Колмогорова, в которых в качестве неизвестных выступают вероятности состояний.

Пусть – это вероятность того, что в момент система находится в состоянии , а – вероятность, что система в малом промежутке времени оказалась в состоянии , т.е. либо еще не вышла из состояния , либо была в состоянии и перешла в , либо была в и перешла в .

Отметим, что произведение интенсивности потока требований на элементарный интервал времени – есть вероятность попадания в этот интервал хотя бы одного события. В случае потока простейшего (пуассоновского) ; следовательно, ; при получим .

Тогда вероятность того, что система не покидала состояние можно выразить как

или ,

где сумму в скобках можно интерпретировать как суммарный поток, выводящий систему из состояния .

Вероятность того, что система в момент времени была в состоянии и не выходила из него за время можно записать как произведение вероятностей

.

Вероятность второго предположения, что система в момент была в состоянии и оказалась в состоянии благодаря переходу из состояния , будет . Аналогично, вероятность третьего предположения, что система в момент была в состоянии и оказалась в состоянии благодаря переходу из состояния ,будет .

Тогда полная вероятность всех трех предположений, т.е. вероятность, что система за время оказалась в состоянии выразится суммой

.

Приведя подобные члены и разделив обе части на , получим

или в пределе

.

Это уравнение называется уравнением Колмогорова для вероятности состояния системы . Аналогично можно получить уравнения для остальных состояний рассматриваемой системы.

;

;

.

Можно сформулировать правило их составления: в левой части стоят производные вероятностей всех состояний, в правой ‑ сумма произведений вероятностей состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус суммарная интенсивность потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного состояния.

Начальное состояние для решения системы дифференциальных уравнений могут быть известны или заданы, например, естественно предположить, что

, , , .

Финальные вероятности. Уравнения Колмогорова описывают динамику изменения вероятностей состояний системы.

Если существуют пределы, к которым стремятся вероятности состояний системы при , то такие вероятности называются финальными. В теории случайных процессов доказывается положение: если число состояний системы конечно и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое, то финальные вероятности существуют, т.е.

при ,

где ‑ это уже не переменные, а постоянные числа, финальные вероятности.

Если финальные вероятности найдены, то они свидетельствуют о том, сколько времени в среднем система будет находиться в том или ином из перенумерованных состояний.

Чтобы найти финальные вероятности можно воспользоваться уравнениями Колмогорова, решив их для достаточно большого времени. Но если заметить, что в стационарном режиме скорости изменения вероятностей равны 0, т.е. .

Для рассмотренных выше уравнений Колмогорова можно записать:

,

,

,

.

Система, очевидно, имеет решение с точностью некоторой постоянной. Чтобы окончательно получить решение, нужно исключить одно из уравнений и заменить его соотношением