3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок

Физический критерий самоподобия (и самоаффиннантности) ди­намической системы: отсутствие в системе естественного масшта­ба (по которому можно было бы судить, подверглась ли система растяжению или сжатию).

Размерность физической величины принято выражать в опре­деленном классе систем единиц, т.е. предварительно выбрав на­бор основных единиц. Остальные величины имеют размерности, которые представимы в виде мономомов - т.е. произведений сте­пеней основных единиц: L^α M^β T^γ Например, в механике удобно использовать класс систем еди­ниц L M T, в котором за основные единицы выбраны длина (L), масса (М) и время (Т). Частными случаями класса LMT служат системы CGS (сантиметр - грамм - секунда), техническая система (метр- тонна - час). Переход от одной системы в данном классе систем единиц к другой системе осуществляется с помощью аффинного преобразования, так как по каждой из основных единиц коэффициент преобразования «свой», отличный от коэффициентов преобразова­ния подобия по другим единицам.

Выбрав класс систем единиц, можно условиться записывать в виде векторов с компонентами из показателей α ,β, γ : L^α M^β T^γ ↔ (α ,β, γ)

Анализ размерностей позволяет получать соотношения в тех случаях, когда вывод их представляет, казалось бы, неразреши­мую задачу.

Тщет­но было бы искать естественный масштаб длины в классической механике до тех пор пока в 1900 г. Макс Планк выдвинул гипотезу квантов, согласно которой энергия могла излучаться и поглощаться малыми, но конечными порциями - квантами: h ν, где h = 6, 626 • 10^-27гсм²/с - постоянная Планка. В 1913 г. Нильс Бор соединил гипотезу Планка с планетарной моделью атома Резерфорда. Простейший атом (водорода), по Бору, представлял собой положительно заряженное массивное ядро и электрон, обращавшийся вокруг ядра по круговой орбите.

В классе систем единиц LMT характеристики атома водорода имели следующие величины и размерности: m = 9,109 *10^-28г,

e = 4,803*10^-10(г см³/с)^1/2, h = 6,626*10^-27г см²/с, поэтому диаметр атома водорода составлял d_H =(1/2π² )(h²/me²) = 1,058*10^-8см.

Он-то и стал естественным масштабом длины, существование которого нарушило самоподобие.

В основе анализа размерностей лежит П-теорема, согласно которой безразмерная комбинация одних величин есть функция безразмерных комбинаций других величин, число которых зависит от класса систем единиц и раз­мерностей величин, участвующих в изучаемом явлении.

Если имеется зависимость размерной или безразмеpной величины a от n размерных или безразмерных параметров, инвариантная по отношению к выбору системы единиц, то при соответствующем выборе масштабов ее можно представить как зависимость между n+1-k безразмерными параметрами, где k – максимальное число величин, независимых по размерности из a, a₁,…, a_n. Таким образом, теорема устанавливает безусловное преимущество безразмерной постановки задач.

И так, величины с разными размерностями не могут складываться. Размерность слу­жит некоторой специфичной характеристикой физической величины, позво­ляющей отличать ее от других величин. Само понятие раз­мерности вводится после того как выбраны некоторые основные физические величины и установлены единицы для их измерения. Например, в механике мы обычно при­нимаем за основные величины массу, длину и время. В сис­теме единиц СГС эти величины измеряются соответствен­но в граммах - массы, сантиметрах и секундах; в системе СИ - в килограммах - массы, метрах и секундах. Вы­ражение единиц измерения произвольной физической величины через единицы измерения основных величин на­зывается размерностью. Здесь нам будет достаточно при­нять без длинных рассуждений следующие интуитивно ясные утверждения.