Относительность одновременности событий

В механике Ньютона одновременность двух событий абсолютна и не зависит от системы отсчёта. Это значит, что если два события происходят в системе K в моменты времени t и t₁, а в системе K’ соответственно в моменты времени t’ и t’₁ , то поскольку t=t’, промежуток времени между двумя событиями одинаков в обеих системах отсчёта

В отличие от классической механики, в специальной теории относительности одновременность двух событий, происходящих в разных точках пространства, относительна: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчёта, не одновременны в других инерциальных системах, движущихся относительно первой.

Системы отсчёта, в которых справедлив закон инерции (первый закон Ньютона) называют инерциальными системами отсчёта На рисунке (см. ниже) расположена схема эксперимента, который это иллюстрирует. Система отсчета K связана с Землёй, система K’ — с вагоном, движущимся относительно Земли прямолинейно и равномерно со скоростью v. На Земле и в вагоне отмечены точки А, М, В и соответственно А’, M’ и В’, причем АМ=МВ и А’M’=M’B’. В момент, когда указанные точки совпадают, в точках А и В происходят события — ударяют две молнии. В системе К сигналы от обеих вспышек придут в точку М одновременно, так как АМ=МВ, и скорость света одинакова во всех направлениях. В системе К’, связанной с вагоном, сигнал из точки В’ придет в точку M’ раньше, чем из точки А’, ибо скорость света одинакова во всех направлениях, но М’ движется навстречу сигналу пущенному из точки B’ и удаляется от сигнала, пущенного из точки А’. Значит, события в точках А’ и B’ не одновременны: события в точке B’ произошло раньше, чем в точке A’. Если бы вагон двигался в обратном направлении, то получился бы обратный результат.

Понятие одновременности пространственно разделенных событий относительно. Из постулатов теории относительности и существования конечной скорости распространения сигналов следует, что в разных инерциальных системах отсчёта время протекает по-разному.

Постулаты Эйнштейна

(принцип относительности)

1й постулат. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета( уравнения, выражающие законы природы инвариантны по отношению к преобразованию координат и времени от одной системы отсчета к другой)

(обобщение механики относительности Галилея на всю природу)

2й постулат. Свет распространяется со скоростью с = сonst, не зависит от состояния движения излучающего тела.

Скорость света во всех системах отсчета постоянна.

c = 3*10⁸ м/c

По Галилею:

x^/ = x + vt ; y = y^/; z = z^/. t = t^/.

Отсчет времени в обеих системах с момента, когда начала систем О и О^/ совпадали. Пусть в момент t = t^/ =0 из совпадающих начал послан световой сигнал по всем направлениям. К моменту t сигнал в К достигнет точек, отстоящих от О на растоянии ct.

Координаты радиуса-вектора в трехмерной системе координат

r² = x² + y² + z²

Если при t = 0 запускаем световой сигнал со скоростью света c; ct – расстояние, которое пройдет свет в системе k и окажется в точки с координатами r.

Квадрат радиуса будет иметь вид

r² = x² + y² + z² = c²t²; координаты точек удовлетворяют уравнению

Аналогично в системе k^/:

(x^/)² + (y^/)² + (z^/)² = c²(t^/)²

Уравнения имеют одинаковый вид в обеих системах отсчета

c²t² - x² + y² + z² = 0

c²(t^/)² - (x^/)² + (y^/)² + (z^/)²=0

если подставить преобразования Галилея в эти уравнения, то убеждаемся, что эти преобразования не совместимы с принципом постоянства скорости света.

Уравнения Ньютона удовлетворяют преобразованиям Галилея(инвариант)

Уравнения Максвелла не удовлетворяют преобразованиям Галилея. Эйнштейн определил преобразования релятивистской механики на основе постулатов.

Интервал

Событие определяется местом(координаты и время)

Если ввести воображаемое четырехмерное пространство(четырех-пространство) с осями ct,x,y,z, то событие характеризуется - мировой точкой

А линия, описывающая положение точки – мировая линия.

x₀² – x₁² – x₂² – x₃² = 0 - четырехмерие.

световой конус будущего

область абсолютно удаленных от А событий

(за пределами конуса

световой конус прошлого

На рис можно отметить конус будущего(вверху) и конус прошлого

Линия, которую описывает частица, называется мировой.

А-событие присшедше раньше В. Событие А является причиной состояния В, а состояние В является следствием состояния А. между этими событиями ---- причинно-следственная связь.

Событие – следствие – это путь в будущее

Событие –причина – это путь в прошлое

Пространство-время – это пространство Минковского.

Верхний конус называется конусом будущего, нижний – прошлого.

Пусть событие – Если свет в момент t₁ из точки с координатами (x₁, y₁, z₁ ), а в момент t₂ частица имеет координаты (x₂, y₂, z₂ ), то в системе между координатами и временем имеем соотношение

c²(t₂ - t₁)² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

расстояние(интервал) между точками

l² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² .

по аналогии можно говорить об интервале в 4-пространстве

(s₁₂)² = c²(t₂ - t₁)² - (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² - 4–интервал - четырех-интервал

Квадрат интервала

ds² = c²d t² – dx² – dy² – dz² = c²d t² - dl²

dl² = dx² + dy² + dz² – inv (инвариант).

Интервал в любой СО является инвариантом.

Для событий испускания света из точки 1 и прихода в т2 интервал равен нулю

ds² = c²d t² – dx² – dy² – dz² = c²d t² - dl² =0

Вследствии с=const любой системе отсчета интервал справедлив для обеих К и К' систем отсчета. Если ds = 0, то и ds' = 0. Поэтому между интервалами в разных системах отсчета имеется связь

В системах k и k^/ интервалы связаны неким линейным соотношением.

ds = ds^/;

Или наоборот

ds^/ = ds;

Перемножая

dsds^/ = ^ ds^/ds; откуда

^_

Поскольку знак интервала во всех системах отсчета должен быть одинаков, то

= 1.

ds = ds^/

- инвариантны, что и требоалось доказать.

Для всех систем отсчета –по аналогии с расстояниями между точками в обычном пространстве. Это логическое следствие из постулатов Эйнштейна.

Используя инвариантность интервала, запишем

ds² = c²d t² - dl² = c²d( t^/) ² – d(l^/)²

Пусть ds² > 0, т.е. интерваль вещественный. Найдем систему К' где dl^/ = 0. в этой системе события, разделенные интервалом ds, произойдут в одной точке. Промежуток времени в системе К' dt^/ = ds/c.

Вещественные интервалы--временеподобные

ds² > 0 - временеподобный интервал.

Если ds² < 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К' , в которой d t^/ = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К'

dl' = is - расстояние между событиями.

Мнимые интервалы называются пространственноподобными.

ds² < 0 – пространственноподобный интервал.S² < 0

События, происходящие с одной частицей, разделены только временноподобным интервалом.

Поскольку

V_част < C

и пройденое расстояние l < ct, отсюда ds² > 0.

Пространственноподобными интервалами могут быть разделены причинно не связанные события.

Частица движется равномерно со скоростью v относительно системы К(лабораторная система). Пусть с этой частицей происходят 2 события разделенные временем в системе К dt. Введем систему К' , относительно которой частица покоится. В этой системе промежуток времени между рассматриваемыми событиями будет

dt' =ds/c.

Где dt' – измерен по часам в системе К', движущейся со скоростью v относительно К вместе с частицей. Время по часам, движущимся вместе с телом – это собственное время –τ. Для этого времени можно записать

d= ds / c

Поскольку ds – инвариант, а с=const, то d - инвариант.

Подставляя в выражение для собственного времени ds, выраженный через координаты и время системы К

d^ c²d t² - dl²/ c² = (c² - dl²/ d t²) d t / c²

Поскольку производная пути по времени представляет собой скорость

(dl /dt ) V

Получим для квадрата времени

d^= (1- V²/c²)dt²

d= dt √(1- V²/c²)

Собственное время частицы всегда меньше промежутка времени в неподвижной(лабораторной) системе.(часы идут медленнее в движущейся системе)

Для неравномерного движения промежутки времени получаются интегрированием.

Связь времен в системах отсчета может быть оценена путем мысленного эксперимента. Представим, что в одной из движущихся систем отсчета послан сигнал. Относительно этой системы сигнал движется как в неподвижной. В это же время наблюдатель, находящийся в исходной системе отсчета будет наблюдать этот сигнал, движущимся со скоростью света и достигающим цели за время Т. По теореме Пифагора при условии одновременности фиксации сигнала в точке назначения имеем соотношение между временами.

c²T² = V² T² + ^ c²

Откуда для собственного времени имеем связь аналогичную рассмотренной выше. В движущейся системе время течет медленнее.

^c²T² - V² T²/ c² = T²( 1 - V²/c²)

V = const

Если же скорость изменяется (V = var ):

_t1∫^t2 ( 1 - V²/c²)^1/2 dt

Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве

2. Многомерный вектор

Квадрат радиус-вектора определяется как

x₁² + x₂² + … + x_n² = x_i² (1)

Если ввести тензор вида

g_ij = _ik = - метрический тензор. (2)

то(1) записываем в виде

для i , k =1,n

 g_ik x_i x_k (3)

В специальной теории относительности и электродинамике уравнения приобретают простой вид, если их представить в виде соотношений между векторами и тензорами в четырехмерном пространстве, метрика которого определяется тензором

Лекция №8

- метрика «псевдоевклидового» пространства (4)

Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым

Индексы пробегают значения μ, ν = 0,1,2,3

Индексы латинские ijk – латинские для векторов в обычном з-х мерном пространстве(в пространстве с эвклидовой метрикой)

(x_o,x_1,x₂,x₃) – 4-прстранство

Обозначения

x_o = ct ; x₁ = x; x₂ = y; x₃ = z

действие матричного оператора на вектор- в результате вектор

- вектор четырехмерного пространства

Выражение для результирующего вектора имеет вид

r = ct – x – y – z

алгебраическая запись действия матричного оператора

x= ^/ = ct^/ - x₁^/ - x₂^/ - x₃^/

Любой вектор можно преобразовать, записывая матрицу преобразования.

Определение квадрата радиуса-вектора в 4- пространстве

- инвариант

- матрица прямого преобразования(обратное-матрица с чертой)

- прямое преобразование (8)

- обратное преобразование

Используя свойство инвариантности квадрата 4-радиус-вектора(интервала) запишем

подставим из(8)

(11)

(12)

после преобразований получим условие для линейного преобразования

(13)

Учитывая, что в отличны от нуля только диагональные члены

(13) препишем в упрощенной форме

,1,2,3 (14)

например при , 1- при , при =1, =2

(15)

(16)

1,2 – следствия из условия неинвариантности

Связь между прямым и обратным преобразованием:

; -прямое преобразование (17)

-обратное преобразование

где =1 коэффициент - символ Кронекера - единичная матрица

(18)

Компоненту можно представить в виде

Тогда можно записать

,1,2,3 (20)

Система справедлива(удовлетворяется) если положить

1. 

2. (21)

3. 

4. 

i,k = 1,2,3,

например, при = уравнение(20) выглядит в виде

(22)

С учетом (21)

a₀₀a₀₀ -∑₁³ a_i0a_i0 =1 (23)

что аналогично (15)

При =1, 2

∑₁³ a_1ρa_ρ2 =0 (24)

Откуда с учетом (21)

-a₁₀a₀₂ +∑₁³ a_i1a_i2 =0 - что похоже на (16)

Условие (21) можно записать в виде

При =0, 0

a'₀₀ = a₀₀ (g₀₀ =g₀₀=1)

При =0, i ≠0 как и при =i≠0, 0

будет выполняться

g_μμ =-g_νν , т.е. -1

Поэтому

a'_0i = -a_i0

и

a'_i0 = -a_0i

А при = i ≠ 0, ≠ 0

Оба множителя равны -1

g_μμ =g_νν = -1

так, что

a'_ik = a_ki

(что в (21))

В теории относительности рассматриваются преобразования, когда координаты x₂=y, x₃ =z остаются неизменными(выбор координат специально по движению вдоль оси x, когда переменными остаются время t и x)

Очевидно, что матрица преобразования, имеет вид

Обратное преобразование имеет вид, аналогичный

В системах отсчета K и K' матрицы отличаются на некий параметр р(например, поворот или относительная скорость V). В пределе при p->0 матрицы совпадут

lim_p->0 a₀₀ =lim _p->0a₁₁ =1

lim_p->0 a₀₁ =lim _p->0a₁₀ =0

Записав(14) для =0, 0

a²₀₀ - a²₁₀ =1 (28)

Для обратного преобразования

a'²₀₀ - a'²₁₀ =1

С учетом взаимосвязи прямого и обратного преобразования(21)

a²₀₀ - a²₀₁ =1 (30)

Из (28) и (30) следует

a²_{10 =} a²₀₁

и извлекая корень

a_{10 =} _+ a₀₁

Теперь(14) при =0, 1 получим

a₀₀ a₀₁ - a₁₀ a₁₁ =0,

откуда при

a_{10 =} a₀₁

1. a₀₀ = a₁₁

2. a₀₀ = -a₁₁, если a₀₁ = a₁₀

a₀₀ = a₁₁

a_{10 =} - a₀₁

Учитывая, что справедливы соотношения

lim_p->0 a₀₀ =lim _p->0a₁₁ =1

то справедлив первый вариант. Тогда следует считать

a₀₀ = a₁₁=γ₀

a₀₁ = a₁₀=γ₁

_{Тогда (26) перепишем в виде}

Отсюда следует:

,

причем

Поскольку

,

только один коэффициент является независимым.

Коэффициенты обратного преобразования связаны соотношениями(21)

a'₀₀ = a₀₀=γ₀

a'₀₁ = -a₁₀=γ₁

То есть координата x меняются; y,z – const

Тогда матрица обратного преобразования может быть представлена в виде

Таким образом, рассмотрены основные свойства преобразований 4-вектров, которые используются при формировании математического аппарата преобразований основных показателей(уравнений движения) для движущихся систем-преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца

Интервал инвариантен при геометрических преобразованиях в 4-пространстве, т.е. подобен модулю вектора в евклидовом пространстве

x_o = ct ; x₁ = x; x₂ = y; x₃ = z

Квадрат интервала

ds² = c²d t² – dx² – dy² – dz² = c²d t² - dl²

dl² = dx² + dy² + dz² – inv (инвариантв евклидовом пространстве) – модуль разности векторов точек.

x_o ; x₁; x₂; x₃ –координаты –компоненты 4-радиуса-вектора мировой точки.

пространство, где события изображаются мировой точкой с такими координатами, обладает псевдоевклидовой метрикой, определяемой тензором

Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым

- метрика «псевдоевклидового» пространства (4)

Преобразование компонент 4-радиус-вектора осуществляется по формуле

где матрица преобразования

,

причем

Поскольку , только один коэффициент является независимым.

Рассмотрим системы отсчета обеих К и К' систем отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью v.

Преобразование нулевого вектора

Для преобразованных величин получаем

или

для нулевой координаты x' =0, x=vt:

из получаем, что

; ; ;

- коэффициент преобразования Лоренца

;

;

Подстановка в формулу преобразования координат 4-вектора дает

; ; где

Формулы обратного преобразования получаются аналогично с учетом, того что перед коэффициентом стоит знак плюс.

Переходя к обычным обозначениям для прямого преобразования

;

; y^/ = y; z^/ = z;

Обратные преобразования реальных координат

; ;

Преобразования Лоренца оставляют интервал инвариантным(проверить!!!) Сокращение размеров и вариация объема

;

Все эти преобразования осуществляются при изменении одной координаты х.

Преобразование скорости

дифференцируя формулу прямогопреобразования

;

- преобразование скоростей

;

Обратные преобразования получаются аналогично

Геометрический смысл преобразования Лоренца

Это линейное преобразование напоминает преобразование поворота в трехмерном евклидовом пространстве. Это преобразование, характеризующее поворот плоскости xy на угол φ в обычном пространстве выглядит в виде

При таком, сравнении получим, что

Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,

Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы

Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,

Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой , или

Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид

Это формулы так называемого гиперболического поворота

Преобразование динамики (уравнения Ньютона) для четырехмерного пространства:

; i = 1,2,3 – для евклидового пространства

В случае релятивистской механики уравнения движения записываются для вектора скорости, полученного после преобразований с учетом инвариантности

Четырехмерное обобщение имеет вид

где  = 0,1,2,3 – релятивистская динамика

Здесь время является собственным временем наблюдателя. Масса-инвариантная величина, характеризующая инертные свойства частицы. Аналог силы-сила Минковского должна быть определена т.о., чтобы при малых скоростях она переходила в обычное уравнение движения.

В нерелятивистской механике dl, dt являются inv поэтому v=dr/dt – скорость, а ускорение a=dv/dt

Релятивистские dl и dt ≠ inv

inv является интервал ds, связанный с dl и dt. При этом

ds² = c² dt²-dl²

Основная задача найти 4-х мерные аналоги 3-вектора –четырехмерную скорость частицы v и ускорение a.

Родственное dt - собственное время dτ =ds/c→ inv

; -свойства 4-вектора для четырехмерной скорости частицы

Для ускорения имеем формулу

Нулевая компонента скорости

;

Остальные компоненты скорости

Векторная запись имеет вид

При скоростях много меньших скорости света получаем обычную скорость.

закон Ньютона для нулевой компоненты запишем

Для остальных компонент

, где i = 1,2,3 – сила Минковского

Сила Минковского связана с Ньютоновской силой соотношением

Иначе закон движения можно записать

Для квадрата 4-вектора справедливо соотношение

где

Для определения временной компоненты силы Минковского умножим уравнение движения на скорость.

Домножая уравнение движения на вектор скорости

Просуммируем

, то есть вектор скорости перпендикулярен направлению. Здесь учтено

,

Подставляем выражение для скорости и силы Минковского и, расписывая сумму, получим

Откуда

Тогда вектор силы Минковского будет представлен компонентами

Скалярное произведение силы на скорость- есть работа совершенная частицей в единицу времени, равная изменению энергии частицы

Интегрируя данное уравнение, получим

, где const = 0;

Константу определил Эйнштейн и экспериментально подтвердил

Для снеподвижного тела справедливо выражение для энергии

E=mc² – уравнение Эйнштейна.

Это уравнение выражает энергию покоя частицы.

∆m = ∆E/c²

Покоящийся электрон и позитрон испускают два γ-кванта с суммарной энергией равной сумме энергий покоя электрона и позитрона.

Импульс и энергия частицы

Представление4- импульса:

;

Подставим выражение для скорости

; ;

Сопоставим выражения для энергии и для нулевой компоненты импульса и можем записать

;

Тогда компонентное предсталение 4-вектора импульса будет иметь вид

Если определить квадрат импульса, то

С другой стороны,

Откуда

Здесь квадрат 4-импульса как и квадрат любого вектора является инвариантом

Разность между полной энергией и энергией покоя равна кинетической энергии частицы

при малых разложение в ряд Тейлора

Тогда приближенное выражение для кинетической энергии запишем

Что совпадает с классической теорией без релятивизма

Полная энергия выражается через импульс функцией Гамильтона

Гамильтониан для свободной частицы

H=√E² = E=c√(p² + m²c²)

Для частицы во внешнем поле гамильтониан имеет вид

H=c√(p² + m²c²) + U

где U – потенциальная энергия частицы в поле