2. Избранные вопросы классической механики

2.1. Некоторые положения механики Ньютона.

Если положение точки на оси в момент времени t характеризуется функцией x(t), то характеристика движения x(t), x'(t), x''(t), x'''(t), ….согласно Ньютону не являются независимыми. При этом справедлив закон

mx''=f(t,x(t),x'(t)), (2.1)

выражающий зависимость вторых производных от x и x'. В этом смысл и основное содержание закона. Очевидно, что дополнив уравнение движения(2.1) начальными условиями x(t₀), x'(t₀), получаем возможность определения x(t), что полностью решает задачу. Однако возможна иная постановка вопроса: каковы общие закономерности, присущие всякому движению, определяемому уравнением(2.1). Или какова иная форма записи универсального закона (2.1), имеющая более широкие рамки, чем (2.1). В простом случае уравнение движения

mx''=F(x(t)), (2.2)

формально вводится потенциал силы

U(x(t))=,

кинетическая Т и полная энергия Е

T(x(t))= mx'²(t)/2,

E=T+U. (2.3)

Производная по времени от полной энергии

dE/dt=dT/dt+dU/dt=(dT/dx')x'' +(dU/dx)x'=(mx'' –F)x'=0.

Таким образом, для уравнения движения (2.2) справедлив закон сохранения энергии Е, согласно которому

dE/dt=0

и E=E₀ =const, хотя кинетическая и потенциальная со временем изменяются. Отсюда следует вывод об эквивалентности задачи отыскания минимума полной энергии (2.3) и задачи Коши для уравнения (2.2). Возникает естественный вопрос о формулировке вариационного принципа для уравнения (2.1) и определения условий, при которых оказываются справедливыми аналоги закона сохранения (2.3), отражающего физический характер уравнения (2.1).

2.2. Принципы механики Лагранжа.

В рассмотрение вводится функция Лагранжа

L(x, x')=T-U

и функционал действия

S=. (2.4)

Вариация S, соответствующая бесконечно малой вариации x:

S ====

=-

Поскольку

d(∂L/∂x')dt-∂L/∂x=(mx')'-F=0, x(t₀)= x(t₁)=0,

то уравнение движения(2.2) является уравнением Эйлера для функционала действия(2.4) и задача отыскания минимума функционала оказывается эквивалентной задаче Коши для (2.2). Итак, первичным в механике Лагранжа является задание лангранжиана L и вычисление действия S. Принцип Лагранжа, состоящий в минимизации S на истинном движении по траектории x(t), приводит к уравнению Лагранжа.

d(∂L/∂x')dt-∂L/∂x=0. (2.5)

Это и есть уравнение второго порядка, определяющее движение объекта.

2.3. Принцип Гамильтона.

Использование формализма, в рамках которого уравнения движения записываются в форме Коши, удобной для использования, рассматривается далее. Для этого вместо определяющих движение частицы параметров x и x' вводятся новые канонические координаты q(t) и импульсы p=∂L/∂q'. Если в качестве q(t) взять x(t) , то получается в качестве p(t) обычный импульс mx' . Но это совсем не обязательно и использование канонических координат q, через которые выражаются координаты x и вариации x, является идеей Лагранжа. При введении функции Гамильтона

H(p,q,t)=pq' – L(q',q,t)| q' →p (2.6)

и вычислении ее дифференциала, получим:

dH= (∂H/∂p)dp + (∂H/∂q)dq +(∂H/∂t)dt =

= pdq' + q'dp –((∂L/∂p)dp + (∂L/∂q)dq +(∂L/∂t)dt)=

=q'dp – (∂L/∂q)dq -(∂L/∂t)dt).

Откуда следуют равенства:

∂H/∂p = q';

∂H/∂q = -∂L/∂q;

∂H/∂t = -∂L/∂t.

В новых переменных уравнение Лагранжа(1.5) принимает форму:

d(∂L/∂x')/dt - ∂L/∂x = p' +∂H/∂q =0;

p' = -∂H/∂q.

Таким образом, в гамильтоновой механике центральное место занимают канонические координаты q, импульсы p, гамильтониан H(p,q,t) и уравнения Гамильтона

q' =∂H/∂p;

p' = -∂H/∂q. (2.7)

имеющие форму Коши, когда левые части являются первыми производными искомых величин, а правые - их функции.

По определению, плоскость переменных p, q называется фазовой. Решение уравнений Гамильтона(2.7) p(t), q(t) образует на фазовой плоскости однопараметрическое семейство кривых - фазовый портрет.

УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА