- •Дисциплина «Физика» список литературы
- •Дополнительная
- •2. Учебные пособия
- •2 Семестр
- •I. Учебная программа
- •2 Семестр
- •Лекция №1
- •1. Современная картина строения физического мира.
- •1.1. Фермионы
- •1.2. Векторные бозоны
- •11.Элементарные частицы
- •11.1. Основные понятия и законы
- •11.1.1.Виды взаимодействий
- •11.1.2.Законы сохранения
- •11.2.Примеры решения задач
- •12.1. Основные свойства элементарных частиц.
- •12.2. Законы сохранения в микромире
- •12.3. Кварковая структура адронов
- •12.4. Электрослабое взаимодействие
- •1.5.Практическое использование элементарных частиц
- •3.Метод размерных оценок в задачах физики
- •3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования
- •3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок
- •1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.
- •2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.
- •3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.
- •5. Работа и энергия. Закон сохранения энергии
- •5.1. Работа и кинетическая энергия
- •5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем
- •5.3. О законе сохранения энергии и непотенциальных силах
- •5.4. Простые примеры
- •5.5. Равновесие и устойчивость
- •6.1. Особенности движения замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек. Приведенная масса
- •6.2. Центр масс системы материальных точек
- •6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения
- •20.2. Движение частицы в поле консервативной силы
- •6.5. Упругие и неупругие соударения
- •Лекция 4
- •2. Избранные вопросы классической механики
- •2.1. Некоторые положения механики Ньютона.
- •2.2. Принципы механики Лагранжа.
- •2.3. Принцип Гамильтона.
- •7.1. Момент импульса и момент силы
- •7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Динамика твердого тела.
- •Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.
- •Сохранение импульса.
- •Сохранение момента импульса.
- •9.1. Принцип относительности Галилея
- •9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета.
- •Некоторые задачи механики. Движение частицы в центральном поле сил.
- •2. Основные физические свойства и параметры жидкости. Силы и напряжения.
- •2.1. Плотность.
- •2.2. Вязкость.
- •2.3. Классификация сил.
- •2.3.1. Массовые силы.
- •2.3.2. Поверхностные силы.
- •2.3.3. Тензор напряжения.
- •8.3. Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности
- •8.4. Архимедова сила. Уравнение Бернулли
- •8.5. Вязкость. Течение Пуазейля
- •1.4.1. Поток векторного поля.
- •2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.
- •Уравнение Эйлера и Навье-Стока.
- •Специальная теория относительности.
- •10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета.
- •10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени
- •10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •Относительность одновременности событий
- •Зависимость массы тела от скорости
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
- •1.3. Фундаментальные взаимодействия
- •1.4. Стандартная модель и перспективы
6.2. Центр масс системы материальных точек
Если бы мы не вычитали, а складывали уравнения (6.1), у нас получился бы просто закон сохранения импульса
Его можно переписать чисто формально как закон постоянства во времени
некоторой скорости Vc:
(6.4)
Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью (6.4). Скорости
частиц 1 и 2 при этом преобразуются следующим образом:
(6.5)
т. е. в новой системе отсчета они выражаются через скорость относительного
движения. Свяжем скорость Vc с радиусом-вектором некоторой точки rс:
Отметим, что определение (6.6) совпадает с известным из школьного курса
физики понятием центра тяжести. Для доказательства перенесем начало
координат в точку rс. Тогда, совершенно аналогично (6.5), получим
Таким образом,
(центр тяжести определяется равенством произведений массы на «плечо»). Но определения (6.4) и (6.6) более корректны и более универсальны, поскольку без каких-либо проблем обобщаются
на любое число материальных точек, а следовательно, и на макроскопиче-
макроскопические тела. Точку С в механике — и вообще в физике — принято называть
центром масс или центром инерции системы материальных точек.
Пусть в некоторой инерциальной системе координат положения взаимодействующих материальных точек с массами m1, m2, ... mN задаются в каждый момент времени t посредством радиусов-векторов r1(t), r2(t), ... rN(t)
(см. рис. 6.3 а). Тогда центром масс рассматриваемой системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой Rc(t) выражается через радиусы-векторы r1(t), r2(t), ... rN(t) материальных точек по
(6.7)
Подчеркнем, что в общем случае положение центра масс не совпадает с
положением какой-либо из материальных точек системы (см. рис. 6.3 б),
хотя иногда такое может и случиться.
Рис. 6.3
Продифференцируем по времени левую и правую части равенства (6.7).
Производная радиуса-вектора по времени есть по определению скорость, так
что в результате мы получаем
(6.8)
где Vc — скорость центра масс, vi, v2,... vN — скорости материальных то-
точек. Величина mivi в (6.8) — импульс первой материальной точки, m2V2 —
импульс второй точки и т. д. Таким образом, в фигурных скобках выражения (6.8) стоит сумма импульсов рассматриваемой системы материальных точек, т. е. импульс Р всей системы. Следовательно, равенство (6.8) можно
переписать в виде
Р = {m1 + m2 + …. + mN}Vc. (6.9)
В системе отсчета, где центр масс покоится,
Р = 0.
Если нас не интересует относительное движение материальных точек, а
интересует движение системы как целого, то тогда всю систему можно рас-
рассматривать как одну материальную точку, движущуюся со скоростью Vc
и обладающую импульсом Р. Вспомним, что масса материальной точки
есть, по определению, коэффициент пропорциональности между импульсом
и скоростью. Поэтому стоящий в равенстве (6.9) коэффициент пропорциональности, заключенный в фигурные скобки, есть масса М рассматрваемой системы:
М = m1 + m2 + …. + mN, (6.10)
т. е. масса системы материальных точек равняется сумме масс этих точек. Соотношение (6.10), согласно которому масса сложного тела равна сумме масс его частей, кажется нам привычным и очевидным. Однако, как мы еще убедимся, в релятивистской механике (т. е. в более общем случае) ситуация будет совершенно иной. В предельном случае ньютоновой механики равенство (6.10) представляет собой частный случай определенного
физического закона — закона сохранения массы.
В отсутствие внешних сил, т. е. для замкнутой системы, сумма импульсов всех тел системы не зависит от времени; тогда из (6.9) следует важное свойство движения центра масс замкнутой системы материальных точек:
Vc = const,
т. е. центр масс замкнутой системы материальных точек неподвижен или
движется равномерно и прямолинейно, хотя каждая из материальных то-
точек может совершать сложное движение. Приведенное выше утверждение
называют иногда теоремой о движении центра масс.
Мы сейчас докажем следующее важное свойство кинетической энергии:
кинетическая энергия Т системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии Т' той же системы в ее относительном движении по отношению к системе отсчета, движущейся вместе с центром масс:
(6.11)
где М = m1+ m2 + … + mN . Vc — скорость центра масс в исходной системе отсчета, vi — скорость i-ой материальной точки относительно системы отсчета, движущейся вместе с точкой С. Такую систему обычно называют «системой центра масс», «системой центра инерции» или просто «ц-системой». (Систему отсчета, в которой поставлена задача, если эта система не совпадает с ц-системой, принято называть лабораторной системой отсчета или л-системой).
Для доказательства получим вначале более общее соотношение, связывающее кинетическую энергию в двух системах отсчета (см. рис. 6.4). Для координат и скоростей точек в старой системе Ri, Vi и в новой системе ri, vi запишем преобразования Галилея:
Рис. 6.4
где R — радиус-вектор перехода из старой системы в новую, а V —соответственно, скорость движения новой системы относительно старой. Тогда кинетическую энергию в старой системе отсчета можно представить в виде
Правую часть (6.12) можно представить в виде трех сумм:
где Р — полный импульс системы материальных точек в новой системе
отсчета. Соотношение (6.13) принято называть теоремой Кенига . Если же
новая система совпадает с ц-системой, то суммарный импульс в ней равен
нулю, V = Vc, а значит, имеет место соотношение (6.11).
В заключение этого параграфа отметим два важных свойства, вытекаю-
вытекающих из определения центра масс. Во-первых, частицы в (6.7) можно объединять в какие угодно группы, например:
Отсюда, как легко сообразить, следует, что центр масс любой системы макроскопических тел может быть найден как центр масс системы материальных точек, в предположении, что масса каждого тела сосредоточена в его собственном центре масс.
И во-вторых, от суммирования в (6.7) нетрудно перейти к интегрированию,
если мы вычисляем положение центра масс тела с непрерывным распреде-
распределением плотности вещества ρ(т):