Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.

В основе законов сохранения, рассматриваемых в механике, лежат свойства пространства и времени.

Сохранение энергии связано с однородностью времени, сохранение импульса – с однородностью пространства и, наконец, сохранение момента импульса находится в связи с изотропией пространства.

Начинаем с закона сохранения энергии. Пусть система частиц находится в неизменных условиях(это имеет место если система замкнута или подвержена воздействию постоянного внешнего силового поля); связи(если они есть) идеальны и стационарны. В этом случае время в силу своей однородности не может входить явно в функцию Лагранжа. Действительно однородность означает равнозначность всех моментов времени. Поэтому замена одного момента времени другим без изменения значений координат и скоростей частиц не должна изменять механические свойства системы. Это конечно справедливо в том случае, если замена одного момента времени другим не изменяет условий, в которых находится система, то есть в случае независимости от времени внешнего поля(в частности это поле может отсутствовать).

Итак для замкнутой системы находящейся в замкнутом силовом поле, .

Следовательно:

. (8.1)

Здесь ошибка при дифференцировании первого члена!!!!!!!!!!!!!

Если система консервативна, движение частиц подчиняется уравнению Лагранжа 4.16.

Подынтегральное выражение носит название функции Лагранжа

- функция Лагранжа

уравнение Лагранжа.

где i =1,2,…n - номер координат

Комбинация в виде

5.1

равна полной энергии. Это видно если подставить зависимость для лагранжиана

После приведения к каноническому виду получается закон сохранения энергии

- полная энергия.

Обобщенные координаты.

Более удобным в практике считается выбор системы координат исходя из физики задачи

x_i = ( q_ )

в качестве координат могут выступать углы, связи и т.д.

Получим соотношения для представления функции Лагранжа через обобщенные координаты

Из принципа наименьшего действия

=0

Получаем уравнение Лагранжа в обобщенных координатах

Заменим в соответствии с этими уравнениями через

.

Тогда выражению 8.1 можно придать вид из свойств производной произведения

Последнее соотношение можно записать следующим образом:

=0

Согласно формуле 5.1 величина, стоящая в скобках есть энергия системы Е. Таким образом мы пришли к утверждению, что

=0, откуда

Е=const. (8.2)

Итак, из однородности времени вытекает закон: энергия замкнутой или находящейся в стационарном силовом поле консервативной системы частиц остаётся постоянной.

Из определения 5.1 следует что Е есть функция обобщённых координат и обобщённых скоростей , а зависимости, сохраняющие при движении постоянное значение, определяемое начальными условиями, называют интегралами движения. Таким образом, энергия замкнутой системы является интегралом движения.

Сохранение импульса.

Рассмотрим замкнутую систему частиц. Замкнутость означает, что воздействие внешних сил на частицы системы пренебрежимо мало. В силу однородности пространства перемещение всех частиц системы на одинаковый отрезок δr не должно изменить механические свойства системы – функция Лагранжа должна сохранить своё прежнее значение. Для незамкнутой системы такой перенос вызвал бы изменение расположения частиц по отношению к взаимодействующим с ними телам, что отразилось бы на механических свойствах системы. Т. о. только для замкнутой системы частиц можно утверждать, что параллельный перенос системы как целого не сопровождается изменением функции L(δL=0).

Полагая перемещение δr очень малым, можно написать

δL= (9.1)

α – номер частицы

Мы воспользовались тем обстоятельством, что перемещения частиц одинаковы и равны δr.

По предположению δr≠0, поэтому из 9.1 вытекает, что

(9.2)

В соответствии с уравнениями Лагранжа можно написать

=

=

=

Умножив первое из этих уравнений на орт , второе на орт , третье на орт и сложив их вместе получим соотношение

(9.3)

Таким образом, уравнению 9.2 можно придать вид

(9.4)

Величина есть вектор с компонентами

, , .

Согласно 4.17 эти произведения суть проекции на координатные оси обычного импульса р частицы с номером α. Следовательно

(9.5)

С учётом этого обстоятельства уравнение 9.4 запишется следующим образом .

Отсюда вытекает, что

р = = const.

Где р – суммарный импульс системы.

Итак исходя из однородности пространства мы пришли к закону: суммарный импульс замкнутой системы частиц остаётся постоянным. Следовательно, импульс замкнутой системы есть так же интеграл движения.