- •Дисциплина «Физика» список литературы
- •Дополнительная
- •2. Учебные пособия
- •2 Семестр
- •I. Учебная программа
- •2 Семестр
- •Лекция №1
- •1. Современная картина строения физического мира.
- •1.1. Фермионы
- •1.2. Векторные бозоны
- •11.Элементарные частицы
- •11.1. Основные понятия и законы
- •11.1.1.Виды взаимодействий
- •11.1.2.Законы сохранения
- •11.2.Примеры решения задач
- •12.1. Основные свойства элементарных частиц.
- •12.2. Законы сохранения в микромире
- •12.3. Кварковая структура адронов
- •12.4. Электрослабое взаимодействие
- •1.5.Практическое использование элементарных частиц
- •3.Метод размерных оценок в задачах физики
- •3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования
- •3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок
- •1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.
- •2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.
- •3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.
- •5. Работа и энергия. Закон сохранения энергии
- •5.1. Работа и кинетическая энергия
- •5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем
- •5.3. О законе сохранения энергии и непотенциальных силах
- •5.4. Простые примеры
- •5.5. Равновесие и устойчивость
- •6.1. Особенности движения замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек. Приведенная масса
- •6.2. Центр масс системы материальных точек
- •6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения
- •20.2. Движение частицы в поле консервативной силы
- •6.5. Упругие и неупругие соударения
- •Лекция 4
- •2. Избранные вопросы классической механики
- •2.1. Некоторые положения механики Ньютона.
- •2.2. Принципы механики Лагранжа.
- •2.3. Принцип Гамильтона.
- •7.1. Момент импульса и момент силы
- •7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Динамика твердого тела.
- •Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.
- •Сохранение импульса.
- •Сохранение момента импульса.
- •9.1. Принцип относительности Галилея
- •9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета.
- •Некоторые задачи механики. Движение частицы в центральном поле сил.
- •2. Основные физические свойства и параметры жидкости. Силы и напряжения.
- •2.1. Плотность.
- •2.2. Вязкость.
- •2.3. Классификация сил.
- •2.3.1. Массовые силы.
- •2.3.2. Поверхностные силы.
- •2.3.3. Тензор напряжения.
- •8.3. Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности
- •8.4. Архимедова сила. Уравнение Бернулли
- •8.5. Вязкость. Течение Пуазейля
- •1.4.1. Поток векторного поля.
- •2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.
- •Уравнение Эйлера и Навье-Стока.
- •Специальная теория относительности.
- •10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета.
- •10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени
- •10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •Относительность одновременности событий
- •Зависимость массы тела от скорости
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
- •1.3. Фундаментальные взаимодействия
- •1.4. Стандартная модель и перспективы
10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени
Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных с точки зрения ньютоновой механики следствий.
Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х и покоящийся относительно системы отсчета К' (рис. 10.2). Длина его в этой системе равна l0 = x'2 — x'1 гДе x'1 и x'2 — не изменяющиеся со временем t' координаты концов стержня. Относительно системы К стержень движется вместе со штрихованной системой со скоростью v. Для определения его длины в
хх х2 х,х'
Рис. 10.2
этой системе нужно отметить координаты концов стержня х1 и x2 в один и
тот же момент времени t1 = t2 = t. Разность этих координат l= x2 – х1
даст длину стержня, измеренную в системе К. Чтобы найти соотношение между l0 и l, следует взять ту из формул преобразований Лоренца, которая содержит x', х и t, то есть первую из формул (10.9). Согласно этой формуле,
откуда получаем
или окончательно
(10.10)
Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше «собственной» длины l0, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Поперечные размеры стержня в обеих системах одинаковы. Итак, для неподвижного наблюдателя размеры движущихся тел в направлении их движения сокращаются, и тем больше, чем больше скорость движения.
Длительность процессов в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке, неподвижной относительно движущейся системы К', происходит
какой-то процесс, длящийся время At0 = t'2 — t'1. Это может быть работа какого-либо прибора или механизма, колебание маятника часов, какое-нибудь изменение в свойствах тела и так далее. Началу процесса соответствует в этой системе координата х' = а и момент времени t'1, концу — та же самая координата х'2 = х'1 = а и момент времени t'2 Относительно системы К точка, в которой происходит процесс, перемещается. Согласно формулам (10.9),
началу и концу процесса в системе К соответствуют моменты времени
_
откуда получаем
Введя обозначения t2 - t1 = At, получим окончательно:
(10.11)
В этой формуле ∆t0 — длительность процесса, измеренная по часам в движущейся системе отсчета, где тело, с которым происходит процесс, покоится. Промежуток At измерен по часам системы, относительно которой тело движется со скоростью v. Иначе можно сказать, что ∆t определено по часам, которые движутся относительно тела со скоростью v. Как следует из (10.11), промежуток времени ∆t0, измеренный по часам, неподвижным относительно тела, оказывается меньше, чем промежуток времени At, из-
измеренный по часам, движущимся относительно тела.
Заметим, что для релятивистских множителей (Лоренц-факторов) движущейся со скоростью V системы отсчета и/или движущейся со скоростью v частицы приняты обозначения
Г = 1/√(1 - V2/с2)
и соответственно
γ = 1/√(1 - v2/с2).
Если это не приводит к путанице, для обеих величин употребляется обозначение γ
Рассматривая протекание процесса из системы X, можно определить ∆t как его длительность, измеренную по неподвижным часам, a ∆t0 — как длительность, измеренную по часам, движущимся со скоростью v. Согласно (10.11),
∆t0 < ∆t
поэтому можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы (имеется, конечно, в виду, что во всем, кроме скорости движения, часы совершенно идентичны).
Время ∆t0, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется «собственным временем» этого тела. Как видно из (10.11), собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела.
Эффект замедления времени симметричен по отношению к обоим рассматриваемым часам: для обоих наблюдателей из разных систем отсчета часы движущегося относительно него наблюдателя будут идти медленнее. Замедление времени является объективным следствием преобразований Лоренца, которые, в свою очередь, являются следствием постоянства скорости света во всех системах отсчета. Необходимо подчеркнуть то обстоятельство, что релятивистские эффекты отнюдь не умозрительны. На сегодняшний день СТО с очень хорошей точностью подтверждена экспериментально. Разумеется, при V/c —>> 0 формулы (10.10), (10.11) преобразуются к тривиальному
нерелятивистскому пределу. Для наблюдения нетривиальных эффектов необходимо исследовать объекты с V ~ с.
Примерами могут служить явления, наблюдаемые при изучении элементарных частиц. Одним из наиболее наглядных опытов, подтверждающих соотношение (10.11), является наблюдение в составе космических лучей одного из видов элементарных частиц, именуемых мюонами. Эти частицы нестабильны — они самопроизвольно распадаются на другие элементарные частицы. Время жизни мюонов, измеренное в условиях, когда они
неподвижны (или движутся с малой скоростью), равно примерно 2 • 10-6 с. Казалось
бы, даже двигаясь почти со скоростью света, мюоны могут пройти от момента своего рождения до момента распада лишь путь, равный примерно 3 • 108 м/с) (2 • 10-6 с) = 600 м. Однако наблюдения показывают, что мюоны, образуясь в космических лучах в верхних слоях атмосферы на высоте 20-30 км, успевают, тем не менее, в большом количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что 2*10-6 с — собственное время жизни мюона, то есть время, измеренное по часам, которые бы «двигались вместе с
ним». Время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с поверхностью Земли, оказывается гораздо большим из-за того, что скорость мюонов близка к скорости света. Поэтому не удивительно, что экспериментатор наблюдает пробег мюона, значительно превышающий 600 м. Интересно рассмотреть этот эффект с точки зрения наблюдателя, «движущегося вместе с мюоном». Для него расстояние, пролетаемое до поверхности Земли, сокращается до 600 м в соответствии с формулой (10.10), так что мюон успевает
пролететь его за 2 • 10-6 с, т. е. за «собственное время жизни».
Наиболее впечатляющее следствие преобразований Лоренца —относительность одновременности разнесенных в пространстве событий. Если два события А и В произошли одновременно в одной точке пространства, то в любой системе координат tA=tB. Конкретные значения, например, tA и t'A могут быть различными, но в каждой системе останется справедливым равенство t'A = t'B. Если же при tA = tB окажется, что
хА ≠ хв, то в любой другой системе, как это с очевидностью следует из преобразований Лоренца, tA≠tB.
Почему это обстоятельство до Эйнштейна оставалось незамеченным? До Эйнштейна явно или неявно сохранялось представление о существовании абсолютного пространства и абсолютного времени. Но если нет абсолютной системы отсчета, нет и абсолютной одновременности. Исчезает не только абсолютное пространство, исчезает и абсолютное время, которое, по Ньютону, течет «всегда одинаково, безотносительно к чему-либо внешнему». Время СТО зависит от системы отсчета. Зависит от системы отсчета и промежуток времени между двумя событиями, и расстояние между двумя точками. В механике Галилея-Ньютона координаты точек зависят от системы отсчета, но расстояние между точками А и В
(хА - xB)2 + (уА - ув)2 + (zA - zB)2= l2
от системы не зависит. В механике СТО эта величина перестает быть инвариантом. Независимым от системы отсчета становится интервал между событиями, определяемый соотношением
s2AB = c2(tA - tB)2 - (хА - xB)2 + (уА - ув)2 + (zA - zB)2.
Время становится в один ряд с пространственными координатами или, как сказал Г. Минковский, «пространство само по себе и время само по себе погружаются в реку забвения, а остается жить лишь своеобразный их союз». Это проявляется особенно наглядно, если, следуя Минковскому, в качестве четвертой координаты выбрать не t, как таковое, a ict. Тогда интервал запишется в симметричной форме:
He следует, однако, воспринимать четырехмерное пространство Минковского как простой аналог нашего трехмерного мира. Все же четвертая координата сохраняет важнейшее отличие от трех остальных — однонаправленность, которой, в частности, обусловлены
причинно-следственные связи. Путешествие вспять во времени как было, так и остается невозможным.
Ввиду того, что по Лоренцу, в отличие от Галилея, преобразуется, кроме координат, и время, заметно меняется закон сложения скоростей. Если в системе К тело движется со скоростью v, имеющей составляющие по осям координат vx vy vz а система К' движется со скоростью V вдоль оси x, для составляющих скорости тела в системе К' получаем
(10.12)-(10.14)
Хотя координаты у' и z' равны соответственно у и z, составляющие скорости
по этим осям в разных системах различны, так как различаются темпы течения времени.
Не представляется неожиданным факт, что если vx по модулю равна скорости света — с, то эта величина не изменится при переходе в любую другую систему отсчета. Ведь именно инвариантность скорости света является критерием справедливости преобразований Лоренца.